1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学理 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 .在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.(5 分 )已知全集 U=1， 2， 3， 4，集合 A=1， 2， B=2， 3，则 U(AB )=( ) A. 1， 3， 4 B. 3， 4 C. 3 D. 4 解析 ： A=1 ， 2， B=2， 3， AB=1 ， 2， 3， 全集 U=1， 2， 3， 4， CU(AB)=4. 答案： D 2.(5 分 )命题 “ 对任意 x R，都有 x20” 的否定为 ( ) A. 对任意 x R，都有 x2
2、0 B. 不存在 x R，都有 x2 0 C. 存在 x0 R，使得 x020 D. 存在 x0 R，使得 x02 0 解析 ： 因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题 “ 对任意 x R，都有 x20” 的否定为 .存在 x0 R，使得 x02 0. 答案： D. 3.(5 分 ) (-6a3 )的最大值为 ( ) A. 9 B. C. 3 D. 解析 ： 令 f(a)=(3-a)(a+6)=- + ，而且 -6a3 ，由此可得函数 f(a)的最大值为 ， 故 (-6a3) 的最大值为 = ， 答案： B. 4.(5 分 )以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩 (
3、单位：分 ).已知甲组数据的中位数为 15，乙组数据的平均数为 16.8，则 x， y 的值分别为 ( ) A. 2， 5 B. 5， 5 C. 5， 8 D. 8， 8 解析 ： 乙组数据平均数 =(9+15+18+24+10+y)5=16.8 ； y=8 甲组数据可排列成： 9， 12， 10+x， 24， 27.所以中位数为： 10+x=15， x=5. 答案： C. 5.(5 分 )某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( ) A. B. C. 200 D. 240 解析 ： 如图所示，该几何体是棱长分别为 4， 8， 10 的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，由图知 V=
4、 =200. 答案： C. 6.(5 分 )若 a b c，则函数 f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间 ( ) A. (a， b)和 (b， c)内 B. (- ， a)和 (a， b)内 C. (b， c)和 (c， +) 内 D. (- ， a)和 (c， +) 内 解析 ： a b c， f(a)=(a -b)(a-c) 0， f(b)=(b-c)(b-a) 0， f(c)=(c-a)(c-b) 0， 由函数零点存在判定定理可知：在区间 (a， b)， (b， c)内分别存在一个零点； 又函数 f(x)是二次函数，最多有两个零
5、点， 因此函数 f(x)的两个零点分别位于区间 (a， b)， (b， c)内 . 答案： A. 7.(5 分 )已知圆 C1： (x-2)2+(y-3)2=1，圆 C2： (x-3)2+(y-4)2=9， M， N 分别是圆 C1， C2上的动点， P 为 x 轴上的动点，则 |PM|+|PN|的最小值为 ( ) A. 5 -4 B. 1 C. 6-2 D. 解析 ： 如图圆 C1关于 x 轴的对称圆的圆心坐标 A(2， -3)，半径为 1， 圆 C2的圆心坐标 (3， 4)，半径为 3， |PM|+|PN|的最小值为圆 A 与圆 C2的圆心距减去两个圆的半径和，即： =5 -4. 答案：
6、A. 8.(5 分 )执行如图所示的程序框图，如果输出 S=3，那么判断框内应填入的条件是 ( ) A. k6 B. k7 C. k8 D. k9 解析 ： 根据程序框图，运行结果如下： S k 第一次循环 log23 3 第二次循环 log23log 34 4 第三次循环 log23log 34log 45 5 第四次循环 log23log 34log 45log 56 6 第五次循环 log23log 34log 45log 56log 67 7 第六次循环 log23log 34log 45log 56log 67log 78=log28=3 8 故如果输出 S=3，那么只能进行六次循环
7、，故判断框内应填入的条件是 k7. 答案： B. 9.(5 分 )4cos50 -tan40= ( ) A. B. C. D. 2 -1 解析 ： 4cos50 -tan40=4sin40 -tan40= = = = = = . 答案： C 10.(5 分 )在平面上， ， | |=| |=1， = + .若 | | ，则| |的取值范围是 ( ) A. (0， B. ( ， C. ( ， D. ( ， 解析 ： 根据条件知 A， B1， P， B2构成一个矩形 A， B1PB2，以 AB1， AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设 |AB1|=a， |AB2|=b，点 O 的坐标为 (x，
8、 y)，则点 P 的坐标为 (a， b)， 由 =1，得 ，则 ， | | ， ， ， ， (x -a)2+y2=1， y 2=1-(x-a)21 ， y 21 ， 同理 x21 ， x 2+y22 ， 由 知 ， | |= ， | | 答案： D. 二、填空题：本大题共 3 小题，考生作答 5小题，每小题 5 分，共 25 分 11.(5 分 )已知复数 z= (i 是虚数单位 )，则 |z|= . 解析 ： |z|= = = . 答案： . 12.(5 分 )已知 an是等差数列， a1=1，公差 d0 ， Sn为其前 n 项和，若 a1， a2， a5成等比数列，则 S8= . 解析 ：
9、 a n是等差数列， a1， a2， a5成等比数列， =a1(a 1+4d)，又 a1=1， d 2-2d=0，公差 d0 ， d=2. 其前 8 项和 S8=8a1+ d=8+56=64. 答案： 64. 13.(5 分 )从 3 名骨科、 4 名脑外科和 5 名内科医生中选派 5 人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有 1 人的选派方法种数是 (用数字作答 ). 解析 ： 直接法： 3 名骨科、 1 名脑外科和 1 名内科医生，有 C33C41C51=20种， 1 名骨科、 3 名脑外科和 1 名内科医生，有 C31C43C51=60种， 1 名骨科、 1 名脑外科
10、和 3 名内科医生，有 C31C41C53=120种， 2 名骨科、 2 名脑外科和 1 名内科医生，有 C32C42C51=90种， 1 名骨科、 2 名脑外科和 2 名内科医生，有 C31C42C52=180种， 2 名骨科、 1 名脑外科和 2 名内科医生，有 C32C41C52=120种， 共计 20+60+120+90+180+120=590 种 答案： 590. 14， 15， 16 三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分： 14.(5 分 )如图，在 ABC 中， C=90 ， A=60 ， AB=20，过 C 作 ABC 的外接圆的切线CD， BDCD ，
11、 BD 与外接圆交于点 E，则 DE 的长为 . 解析 ： 在 ABC 中， C=90 ， A=60 ， AB=20， BC=ABsin60= . CD 是此圆的切线， BCD=A=60. 在 RtBCD 中， CD=BCcos60= ， BD=BCsin60=15. 由切割线定理可得 CD2=DEDB ， ，解得 DE=5. 答案： 5. 15.(5 分 )在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 .若极坐标方程为 cos=4 的直线与曲线 (t 为参数 )相交于 A， B 两点，则 |AB|= . 解析 ： 将直线极坐标方程 cos=4 化成直角坐标
12、方程为 x=4，代入曲线 (t 为参数 )中得 A， B 两点的直角坐标为 (4， 8)， (4， -8)，则 |AB|=16. 答案： 16. 16.若关于实数 x 的不等式 |x-5|+|x+3| a 无解，则实数 a 的取值范围是 . 解析 ： 由于 |x-5|+|x+3|表示数轴上的 x 对应点到 5 和 -3 对应点的距离之和，其最小值为 8， 再由关于实数 x 的不等式 |x-5|+|x+3| a 无解，可得 a8 ， 答案： (- ， 8. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17.(13 分 )设 f(x)=a(x-5)2
13、+6lnx，其中 a R，曲线 y=f(x)在点 (1， f(1)处的切线与 y 轴相交于点 (0， 6). (1)确定 a 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间与极值 . 解析 ： (1)先由所给函数的表达式，求导数 f(x) ，再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由曲线 y=f(x)在点 (1， f(1)处的切线与 y 轴相交于点 (0， 6)列出方程求 a 的值即可； (2)由 (1)求出的原函数及其导函数，求出导函数的零点，把函数的定义域分段，判断导函数在各段内的符号，从而得到原函数的单调区间，根据在各区间内的单调性求出极值点，把极值点的横坐标代入函数解析式求得函数的极值 .
14、答案： (1)因 f(x)=a(x-5)2+6lnx，故 f(x)=2a(x -5)+ ， (x 0)， 令 x=1，得 f(1)=16a， f(1)=6 -8a， 曲线 y=f(x)在点 (1， f(1)处的切线方程为 y-16a=(6-8a)(x-1)， 由切线与 y 轴相交于点 (0， 6).6 -16a=8a-6， a= . (2)由 (I)得 f(x)= (x-5)2+6lnx， (x 0)， f(x)=(x -5)+ = ，令 f(x)=0 ，得 x=2 或 x=3， 当 0 x 2 或 x 3 时， f(x) 0，故 f(x)在 (0， 2)， (3， +) 上为增函数， 当 2
15、 x 3 时， f(x) 0，故 f(x)在 (2， 3)上为减函数， 故 f(x)在 x=2 时取得极大值 f(2)= +6ln2，在 x=3 时取得极小值 f(3)=2+6ln3. 18.(13 分 )某商场举行的 “ 三色球 ” 购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有 3个红球与 4 个白球的袋中任意摸出 3 个球，再从装有 1 个蓝球与 2 个白球的袋中任意摸出 1个球，根据摸出 4 个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下： 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级 . (1)求一次摸奖恰好摸到 1 个红球的概率； (2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 x 的分布列与期望
16、 E(x). 解析 ： (1)从 7 个小球中取 3 的取法为 ，若取一个红球，则说明第一次取到一红 2 白，根据组合知识可求取球的种数，然后代入古典概率计算公式可求 (2)先判断随机变量 X 的所有可能取值为 200， 50， 10， 0 根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值 答案： (1)设 Ai表示摸到 i 个红球， Bi表示摸到 i 个蓝球，则 Ai 与 Bi 相互独立 (i=0， 1， 2，3)， P(A 1)= = (2)X 的所有可能取值为 0， 10， 50， 200， P(X=200)=P(A3B1)=P(A3)P(B1)= ， P(X=50)=P(A
17、3)P(B0)= = ， P(X=10)=P(A2)P(B1)= = ， P(X=0)=1- = ， X 的分布列为 ， EX= =4 元 . 19.(13 分 )如图，四棱锥 P-ABCD 中， PA 底面 ABCD， BC=CD=2， AC=4， ACB=ACD= ， F为 PC 的中点， AFPB . (1)求 PA 的长； (2)求二面角 B-AF-D 的正弦值 . 解析 ： (I)连接 BD 交 AC 于点 O，等腰三角形 BCD 中利用 “ 三线合一 ” 证出 ACBD ，因此分别以 OB、 OC 分别为 x 轴、 y 轴建立空间直角坐标系如图所示 .结合题意算出 A、 B、 C、
18、 D 各点的坐标，设 P(0， -3， z)，根据 F 为 PC 边的中点且 AFPB ，算出 z=2 ，从而得到 =(0，0， -2 )，可得 PA 的长为 2 ； (II)由 (I)的计算，得 =(- ， 3， 0)， =( ， 3， 0)， =(0， 2， ).利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出 =(3， ， -2)和 =(3， - ， 2)分别为平面 FAD、平面 FAB 的法向量，利用空间向量的夹角公式算出 、 夹角的余弦，结合同角三角函数的平方关系即可算出二面角 B-AF-D 的正弦值 . 答案： (I)如图，连接 BD 交 AC 于点 O， BC=CD ， AC 平分角
19、 BCD， ACBD ， 以 O 为坐标原点， OB、 OC 所在直线分别为 x 轴、 y 轴，建立空间直角坐标系 O-xyz， 则 OC=CDcos =1，而 AC=4，可得 AO=AC-OC=3. 又 OD=CDsin = ， 可得 A(0， -3， 0)， B( ， 0， 0)， C(0， 1， 0)， D(- ， 0， 0)， 由于 PA 底面 ABCD，可设 P(0， -3， z)， F 为 PC 边的中点， F(0 ， -1， )，由此可得 =(0， 2， )， =( ， 3， -z)，且 AFPB ， =6- =0，解之得 z=2 (舍负 )， 因此， =(0， 0， -2 )，
20、可得 PA 的长为 2 ； (II)由 (I)知 =(- ， 3， 0)， =( ， 3， 0)， =(0， 2， )， 设平面 FAD 的法向量为 =(x1， y1， z1)，平面 FAB 的法向量为 =(x2， y2， z2)， =0 且 =0， ，取 y1= 得 =(3， ， -2)， 同理，由 =0 且 =0，解出 =(3， - ， 2)， 向量 、 的夹角余弦值为 cos ， = = 因此，二面角 B-AF-D 的正弦值等于 = 20.(12 分 )在 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，且 a2+b2+ ab=c2. (1)求 C； (2)设 cosAc
21、osB= ， = ，求 tan 的值 . 解析 ： (1)利用余弦定理表示出 cosC，将已知等式变形后代入求出 cosC 的值，由 C 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出 C 的度数； (2)已知第二个等式分子两项利用两角和与差的余弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切，利用多项式乘多项式法则计算，由 A+B 的度数求出 sin(A+B)的值，进而求出 cos(A+B)的值，利用两角和与差的余弦函数公式化简 cos(A+B)，将 cosAcosB 的值代入求出 sinAsinB 的值，将各自的值代入得到 tan 的方程，求出方程的解即可得到 tan的值 . 答案：
22、(1)a 2+b2+ ab=c2，即 a2+b2-c2=- ab， 由余弦定理得： cosC= = =- ， 又 C 为三角形的内角，则 C= ； (2)由题意 = ， (cosA -tansinA)(cosB -tansinB)= ， 即tan2sinAsinB -tan(sinAcosB+cosAsinB)+cosAcosB=tan 2sinAsinB -tansin(A+B)+cosAcosB= ， C= ， A+B= ， cosAcosB= ， sin(A+B)= ， cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB= -sinAsinB= ，即 sinAsinB= ， tan2 - tan+ = ，即 tan2 -5tan+4=0 ，解得： tan=1 或 tan=4.
