1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标 II)数学理 1.已知集合 A=-2， -1， 0， 1， 2， B=x|(x-1)(x+2) 0，则 A B=( ) A.-1， 0 B.0， 1 C.-1， 0， 1 D.0， 1， 2 解析 ： B=x|-2 x 1， A=-2， -1， 0， 1， 2， A B=-1， 0. 故选： A 2.若 a 为实数，且 (2+ai)(a-2i)=-4i，则 a=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析 ：因为 (2+ai)(a-2i)=-4i，所以 4a+(a2-4)i=-4i， 4a=0，并且 a2-4=-4，所以 a=0. 故选：
2、B 3.根据如图给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量 (单位：万吨 )柱形图，以下结论中不正确的是 ( ) A.逐年比较， 2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 C.2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 解析 ： A 从图中明显看出 2008 年二氧化硫排放量比 2007 年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故 A 正确； B2004-2006 年二氧化硫排放量越来越多，从 2007 年开始二氧化硫排放量变少，故 B 正确； C 从图中看出， 2006
3、年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故 C 正确； D2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故 D 错误 . 故选： D 4.已知等比数列 an满足 a1=3， a1+a3+a5=21，则 a3+a5+a7=( ) A.21 B.42 C.63 D.84 解析 ： a1=3， a1+a3+a5=21， a1(1+q2+q4)=21， q4+q2+1=7， q4+q2-6=0， q2=2， a3+a5+a7=a1(q2+q4+q6)=3 (2+4+8)=42. 故选： B 5.设函数 f(x)= ，则 f(-2)+f(log212)=( ) A.3 B.6 C.9 D
4、.12 解析 ：函数 f(x)= ， 即有 f(-2)=1+log2(2+2)=1+2=3， f(log212)= 21212log =12 12 =6，则有 f(-2)+f(log212)=3+6=9. 故选 C 6.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ( ) A.18 B.17 C.16 D.15 解析 ： 设正方体的棱长为 1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为以棱锥， 正方体切掉部分的体积为 13 12 1 1 1=16 ， 剩余部分体积为 1-16 =56 ， 截去部分体积与剩余部分体积的比值为 15 . 故选： D 7.过三
5、点 A(1， 3)， B(4， 2)， C(1， -7)的圆交 y 轴于 M， N 两点，则 |MN|=( ) A.2 6 B.8 C.4 6 D.10 解析 ：设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0，则 ， D=-2， E=4， F=-20， x2+y2-2x+4y-20=0， 令 x=0，可得 y2+4y-20=0， y=-2 2 6 ， |MN|=4 6 . 故选： C 8.如图程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术” .执行该程序框图，若输入 a， b 分别为 14， 18，则输出的 a=( ) A.0 B.2 C.4 D.14 解析 ： 模拟执行程序框图
6、，可得 a=14， b=18， 满足条件 a b，不满足条件 a b， b=4， 满足条件 a b，满足条件 a b， a=10， 满足条件 a b，满足条件 a b， a=6， 满足条件 a b，满足条件 a b， a=2， 满足条件 a b，不满足条件 a b， b=2， 不满足条件 a b，输出 a 的值为 2. 故选： B 9.已知 A， B 是球 O 的球面上两点， AOB=90， C 为该球面上的动点，若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为 ( ) A.36 B.64 C.144 D.256 解析 ：如图所示，当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时，
7、三棱锥 O-ABC 的体积最大，设球O 的半径为 R，此时 VO-ABC=VC-AOB=13 12 R2 R=16R3=36，故 R=6，则球 O 的表面积为 4 R2=144 . 故选 C 10.如图，长方形 ABCD 的边 AB=2， BC=1， O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC， CD与 DA 运动，记 BOP=x.将动点 P 到 A， B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x)，则 y=f(x)的图象大致为( ) A. B. C. D. 解析 ： 由对称性可知函数 f(x)关于 x=2 对称， 且当 0 x 4 时， BP=tanx， AP= ， 此时 f(x)= +tan
8、x， 0 x4，此时单调递增，排除 A， C(不是直线递增 )， D. 故选： B 11.已知 A， B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上， ABM 为等腰三角形，顶角为 120，则 E 的离心率为 ( ) A. 5 B.2 C. 3 D. 2 解析 ：设 M 在双曲线 的左支上， 且 MA=AB=2a， MAB=120， 则 M 的坐标为 (-2a， 3 a)， 代入双曲线方程可得 ， 可得 a=b， c= ，即有 e=ca = 2 . 故选： D 12.设函数 f (x)是奇函数 f(x)(x R)的导函数， f(-1)=0，当 x 0 时， xf (x)-f(x) 0，则使
9、得 f(x) 0 成立的 x 的取值范围是 ( ) A.(-， -1) (0， 1) B.(-1， 0) (1， + ) C.(-， -1) (-1， 0) D.(0， 1) (1， + ) 解析 ：设 g(x)= fxx ，则 g(x)的导数为： g (x)= ， 当 x 0 时总有 xf (x) f(x)成立， 即当 x 0 时， g (x)恒小于 0， 当 x 0 时，函数 g(x)= fxx 为减函数， 又 g(-x)= =f(x)x=g(x)，函数 g(x)为定义域上的偶函数 又 g(-1)= =0，函数 g(x)的图象性质类似如图： 数形结合可得，不等式 f(x) 0 x g(x)
10、 0 或 ， 0 x 1或 x -1. 故选： A 13.设向量 a ， b 不平行，向量 a +b 与 a +2b 平行，则实数 = . 解析 ：因为向量 a ， b 不平行，向量 a +b 与 a +2b 平行 ，所以 a +b = (a +2b )， 所以 ，解得 = =12 . 故答案为： 12 14.若 x， y 满足约束条件 ，则 z=x+y 的最大值为 . 解析 ： 不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过 D 点时， z 最大， 由 得 D(1， 12 )， 所以 z=x+y 的最大值为 1+12 =32 . 故答案为： 32 15. (a+x)(1+x)4的展开式中 x
11、 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a= . 解析 ：设 f(x)=(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+ +a5x5， 令 x=1，则 a0+a1+a2+ +a5=f(1)=16(a+1)， 令 x=-1，则 a0-a1+a2- -a5=f(-1)=0. -得， 2(a1+a3+a5)=16(a+1)， 所以 2 32=16(a+1)，所以 a=3. 故答案为： 3 16.设 Sn是数列 an的前 n 项和，且 a1=-1， an+1=SnSn+1，则 Sn= . 解析 ： an+1=SnSn+1， an+1=Sn+1-Sn=SnSn+1， =1，即 =-1， 又 a1=-1，即
12、 =-1，数列 1nS是以首项和公差均为 -1 的等差数列， 1nS=-1-1(n-1)=-n， Sn=-1n . 故答案为： -1n 17. ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分 BAC， ABD 面积是 ADC 面积的 2 倍 . (1)求 ； (2)若 AD=1， DC= 22 ，求 BD 和 AC 的长 . 解析： (1)如图，过 A 作 AE BC 于 E，由已知及面积公式可得 BD=2DC，由 AD 平分 BAC 及正弦定理可得 ， sin C= ，从而得解 . (2)由 (1)可求 BD= 2 .过 D作 DM AB于 M，作 DN AC 于 N，由 AD 平分 BA
13、C，可求 AB=2AC，令 AC=x，则 AB=2x，利用余弦定理即可解得 BD 和 AC 的长 . 答案： (1)如图，过 A 作 AE BC 于 E， =2， BD=2DC， AD 平分 BAC， BAD= DAC， 在 ABD 中， ， sin B= ； 在 ADC 中， ， sin C= ； . (2)由 (1)知， BD=2DC=2 22 = 2 . 过 D 作 DM AB 于 M，作 DN AC 于 N， AD 平分 BAC， DM=DN， =2， AB=2AC， 令 AC=x，则 AB=2x， BAD= DAC， cos BAD=cos DAC， 由余弦定理可得： ， x=1，
14、AC=1， BD 的长为 2 ， AC 的长为 1. 18.某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A， B 两地区分别随机调查了 20 个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A 地区： 62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区： 73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度 (不要求计算出具体值，给出结论即可 )； (2)根据用
15、户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级： 记事件 C：“ A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的频率，求 C 的概率 . 解析： ( )根据茎叶图的画法，以及有关茎叶图的知识，比较即可； ( )根据概率的互斥和对立，以及概率的运算公式，计算即可 . 答案 ： (1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下 ： 通过茎叶图可以看出， A 地区用户满意评分的平均值高于 B 地区用户满意评分的平均值； A地区用户满意度评分比较集中， B 地区用户满意度评分比较分散； ( )记 CA1表示事件“ A 地区用户满意度等级为满意或非常满意”， 记 CA2表示事件“ A 地区用户满意度等级为非常满意”，
