1、第七章 常微分方程初步第一节 常微分方程引例 1(曲线方程)：已知曲线上任意一点 M（x,y）处切线的斜率等于该点横坐标 4 倍，且过（-1，3）点，求此曲线方程解：设曲线方程为 ，则曲线上任意一点 M（x,y）处切线的斜率为()yx dyx根据题意有 143xdy这是一个含有一阶导数的模型引例 2(运动方程)：一质量为 m 的物体，从高空自由下落，设此物体的运动只受重力的影响。试确定该物体速度随时间的变化规律解：物体开始下落点为坐标原点，y 轴铅垂向下。设 t 时刻物体的位置为 ，根据题意，()yt只受重力 的影响，力的方向与 y 轴相同，则g2dymagt即 2ydt这是一个含有一阶导数的
2、模型引例 3（火车制动）：一火车在直线轨道上以 的速度行驶，当制动时，火车获得负30/ms加速度为 ，求制动后要经过多少时间才能刹住火车？20./ms解：设火车开始制动后 内行驶了 ，由题意得到ts20.3dt这是一个含有二阶导数的模型定义描述从以上两个例子可以看到，在实际问题中，有时只能从含有未知导数的等式中求未知函数。如引例 1 中，方程 是含有未知函数的导数。于是我们引进微分方程的定义：3dyx含有未知函数的导数（或微分）的等式称为微分方程。未知函数是一元函数的微分方程为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程为偏微分方程。微分方程中，所含未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶。如引例
3、 1 中，方程是一阶微分方程；引例 2 中，方程 是二阶微分方程；引例 3 中，方程3dyx2dygt是二阶微分方程.20st如果微分方程中未知函数及其各阶导数都是一次，且不含这些变量的交叉项如 ，)sin(xy称为线性微分方程。任何满足微分方程的函数都称为微分方程的解。求微分方程的过程称为解微分方程。如果微分方程的解这中含有任意常数，且任意个不相关的常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。在通解中，利用附加条件确定任意常数的取值，得到的不含任意常数的解称为特解，这附加条件称为初始条件。回应任务引例 1 的求解解（1）求通解由题意得（7.1.1）4dyx对式（7.1.1）两
4、边同时对 积分，得（7.1.2）24xydc通 解（2）求特解初始条件将 代入式（7.1.2） ，得13xy，即243(1)c1故所求曲线为21yx特 解引例 2 的求解解：由题意得（7.1.3）2dygt对式（7.1.3）两边同时对 求积分，t（7.1.4）1,dygC是 任 意 常 数再对式（7.1.4）两边同时对 求积分，得t 211212(),tx是 两 个 独 立 的 任 意 常 数引例 3 的求解解：设火车开始制动后 内行驶了 ，由题意得到tssm（7.1.5）20.3dt初始条件 0,stsvt对式（7.1.5）两端同时积分对 积分，得速度方程（7.1.6）1()0.3dttC由
5、初始条件 得，0,3stvt，即1.dt130因为火车刹住时速度为零，即 03svtC解出火车从制动到完全刹住的时间 1.t式（7.1.6）两端再对 积分，得t2121.5( )sCt,是 两 个 独 立 的 任 意 常 数由初始条件 ，得0,ts20C而上面已经得 13故 21.530st新的案例分析案例 1（曲线运动）求一曲线方程，此曲线通过（1，3） ，并且它在任一点处切线的斜率等于该点横坐标倒数的 2 倍。案例 2（球体运动）在离地面高度为 处，以初速 垂直向上抛一小球，若不考虑空气阻0s0v力，求此球的运动规律。案例 3（运动问题）第二节 分离变量法引例 1（人口问题）：两百多年前英
6、国人口学家（Malthus，1766-1834）调查了英国人口统计资料，得出了人口增长率 r 不变的假设，记时刻 t 的人口为 x（t） ，则人口增长速度与人口总量 成正比，从而建立了 Malthus 人口模型dvt()xt0()dxrt这是一个带有初始条件的一阶微分方程。引例 2（招生情况）：某校 1995 年招生人数为 5000 人，如果该校能保持每年 3%的相对增长率，问到 2010 年的招生情况如何？解：设第 t 年该校招生为 y（ t） ，t=0 时代表 1995 年，从 1995 年起，y（t）相对增长率保持为 3%，即 50)(%3)(ytd这是一个带有初始条件的一阶微分方程。引
7、例 3（死亡时间鉴定问题）：设温度为 的物体放置在温度为 的空气中。实验0T)(0T表明，物体温度为时间 的变化率与当时物体和空气的温度之差成正比，比例常数为t)0(k依赖于所给物质的性质。当一起谋杀案发生后，警察中午 12：00 到达现场。依据法医测得尸体温度为 30，室温 20。已知尸体从 37经两小时后变为 35，试推算下谋杀是什么时间发生的？解：建立微分方程：设 从谋杀后计， 时刻尸体温度为 。由题物体冷却速度 与温差 成正tt)(tQdtQ)(20H则 37)0()20(kdt（常数 ，负号表示温度是减少的，即 ）0k )(tQ引例 4（落体问题）：高空跳伞运动员的速度随时间的变化规
8、律（设运动员所受空气的阻力与降落速度成正比）解：建立微分方程假设跳伞运动员开始降落的速度为零，设降落速度为 ，降落时，受重力 与阻力)(tvmg有关，负号表示阻力与 方向相反。则所受合力)0(kv)(tv kvF由牛顿第二定律 及加速度 得maFdtkvmg初始条件为 0t定义描述形如 )(ygxfd的微分方程，称为可分离变量的微分方程。可分离变量微分方程的特点是：等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个是只含有的函数，另一个是只含有 的函数。xy可分离变量的微分方程通过分离变量为 )0(,)(ygdxfg对上式两边积分得 dxfyg)()(上式左端对 求积分，右端对 求积分，即可得到方程的解
9、。yx把这种求解过程称为分离变量法，求解步骤：第一步，分离变量；第二步，两边分别积分。回应任务引例 1 求解解：（1）建立了 Malthus 人口模型（7.2.1）0()dxrt（2）求通解：式（7.2.1）分离变量得（7.2.2）rdtx式（7.2.2）两边同时积分，得 crtxtln0l即通解为（7.2.3）rtcrte（3）求特解将 代入式（7.2.3） ，即0)(xtx0故特解为 rte引例 2 求解解：（1）建立微分方程（7.2.4）50)(%3)(ytd（2）求通解式（7.2.4）分离变量得（7.2.5）dtyt3)(式（7.2.5）两边同时积分，得 ctt%)(ln即通解为（7.
10、2.6）tety350)(（3）求特解将 代入式（7.2.6） ，即50)(y c0故特解为 tet%3将 代入192t 15%30)(ety引例 3 求解解：（1）建立微分方程（7.2.7）37)0()20(Qkdt（2）求通解对式（7.2.7）分离变量得（7.2.8）kdt20对式（7.2.8）两边积分得cktQ)20ln(得通解（7.2.9）kte（3）求特解将初始条件 代入（7.2.9） ，得37)0(Q17c故特解为 20kteQ（4）实际问题求解根据已知条件 代入35)2(Q得2017ke63.故 时刻尸体温度为t )(063.ttQ题目已知法医检验当时温度，即 ，即 302170
11、63.te得 4.8t即经过了 8 小时 24 分，故谋杀发生在 3 点 36 分引例 4 求解解：（1）建立微分方程（7.2.10）0tvkvmgd（2）求通解对式（7.2.10）分离变量（7.2.11）cmtkvgd对式（7.2.11）两边积分 t)ln(1即tmkcegv（3）求特解将初始条件 代入通解得0tvkc故特解为 )1(tkmgtmeegv新的案例分析案例 1（曲线方程）设一曲线上任意一点切线垂直于该点与原点的连线，求此曲线方程。案例 2（冷却问题）将一个温度为 80的物体放在 20的恒温环境中冷却，已知物体冷却速度与温差成正比，求该物体温度变化规律。案例 3（混合问题）：容器
12、内有清水 100 ，今以 3 的速度从一管放进纯净水，以 2l/minl的速度从另一管抽出盐水，设容器内盐水浓度始终是均匀的，求容器内含盐量随时/minl间变化的规律。案例 4（时间推算）当一起谋杀案发生之后，警察上午 10：00 到达现场，法医测得测得尸体温度为 30 度，室温 20 度，已知尸体在最初 2 小时降低 2 度，谋杀是什么时间发生的？案例 5（衰变规律）求放射性元素质量衰变规律（已知衰变速度与它现存量成正比）第三节 一阶线性微分方程的解法引例 1（利润函数）已知某产品利润 L 与广告支出 x 的函数关系为 Lxd2当 时， 求该产品的利润函数。0x5L解：题目已知 xd2可以写
13、成 x引例 2（混合问题）：容器内有盐水 100 ，内含盐水 10 ，今以 3 的速度从一管lkg/minl放入每升含盐 的盐水，以 2 的速度从另一管抽出盐水，设容器内盐水浓度kg0/1/min始终是均匀的，求容器内含盐量随时间变化的规律。解：设时刻 容器内含盐量 ，tkgtx)(盐流入容器的速度= min/203in/201kgL盐流出容器的速度= i/1txkt 容器中含盐量变化率 =盐流入容器的速度- 盐流出容器的速度=dx tx1023即 2031txt定义描述一阶微分方程的标准形式如 )()(xQyP（其中 均为已知的连续函数）,x当 时， ，称为一阶线性齐次微分方程。0)(xQ0)(yP当 时， ，称为一阶线性非齐次微分方程。)(xQ（一）一阶线性齐次微分方程的解法对于 0)(yx变形为 yxPd)(分离变量 y)(两边积分 dxPyd)(得 c)(ln即（7.3.1）dxPCey)(（二）一阶线性非齐次微分方程的解法
