1、排列组合的常见题型及其解法一. 特殊元素（位置）用优先法把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。例 1、6 人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。解法 1：（元素分析法）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有 种站法；第二步再让其余的 5 人站在其他 5 个位置上，有 种站法，故站法共有： 480（种）解法 2：（位置分析法）因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的 5 个人中任选两人站在左右两端，有 种；第
2、二步再让剩余的 4 个人（含甲）站在中间 4 个位置，有 种，故站法共有： （种）例 2、某台小型晚会由 6 个节目组成，演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位。该台晚会节目演出顺序的编排方案共有多少种？24 例 3、某单位 7 位员工在 10 月 1 日至 10 月 7 日值班，每天一人，若 7 位员工中的甲乙排在相邻两天，丙不排在 10月 1 日，丁不排在 10 月 7 日，则不同的安排方案有多少种？ 1008二. 相邻问题用捆绑法对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”：即将这几个元素看作一个整体，视为一个元素，与其他元素进行排
3、列，然后相邻元素内部再进行排列。例 4、5 个男生和 3 个女生排成一排，3 个女生必须排在一起，有多少种不同排法？解：把 3 个女生视为一个元素，与 5 个男生进行排列，共有 种，然后女生内部再进行排列，有 种，所以排法共有： （种）。三.合并元素法 例 5、4 名大学生到 3 工厂实习，每个工厂去至少一人，则不同的分配方案有多少种？ 234CA四. 相离问题用插空法元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。例 6、7 人排成一排，甲、乙、丙 3 人互不相邻有多少种排法？解：先将其余 4 人排成一排，有 种，再往 4 人之间及两
4、端的 5 个空位中让甲、乙、丙插入，有 种，所以排法共有： （种）五. 定序问题用除法（缩倍法）对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。解题方法是：先将 n 个元素进行全排列有 种， 个元素的全排列有 种，由于要求 m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到调序的作用，即若 n 个元素排成一列，其中 m 个元素次序一定，则有 种排列方法。例 7、由数字 0、1、2、3、4、5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数有多少个？解：不考虑限制条件，组成的六位数有 种，其中个位与十位上的数字一定，所以所求的六位数有：（个）例 8、7 人排队，A 必须在
5、 B 的后面，可以不相邻，那么不同的排法有多少种？例 8、7 人排队,其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是： 73/A(空位法)设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1 种坐法，则4共有 种方法。4A思考:可以先让甲乙丙就坐吗?例 9、古都西安的名胜古迹“兵马俑”的管理者，为了既方便游人与“兵马俑”拍照留念，又防止毁坏文物 特意作了三尊以假乱真的兵马俑，固定在一起排成一排供人留念。现在一个 4
6、 人旅游团来到这里并且想与兵马俑合影留念，请问当这 4 人与三尊兵马俑排成一排留影时，有多少种不同的站法？ 假设每两尊之间有足够的空隙站 4 人 。 840六. 分排问题用直排法对于把几个元素分成若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一成一排的方法求解。例 10、 9 个人坐成三排，第一排 2 人，第二排 3 人，第三排 4 人，则不同的坐法共有多少种？解：9 个人可以在三排中随意就坐，无其他限制条件，所以三排可以看作一排来处理，不同的坐标共有 种。七. 复杂问题用排除法对于某些比较复杂的或抽象的排列问题，可以采用转化思想，从问题的反面去考虑，先求出无限制条件的方法种数，然后去掉不符合
7、条件的方法种数。在应用此法时要注意做到不重不漏。例 11、 四面体的顶点和各棱中点共有 10 个点，取其中 4 个不共面的点，则不同的取法共有（ ）A. 150 种 B. 147 种 C. 144 种 D. 141 种解：从 10 个点中任取 4 个点有 种取法，其中 4 点共面的情况有三类。第一类，取出的 4 个点位于四面体的同一个面内，有 种；第二类，取任一条棱上的 3 个点及该棱对棱的中点，这 4 点共面，有 6 种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的 4 个点共面，有 3 种。以上三类情况不合要求应减掉，所以不同的取法共有： （种）。例 1
8、2、4 人接力，甲不跑第一棒，乙不跑最后一棒，共有多少不同的参赛顺序安排方法？ 432A例 13、某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前 7 为数字固定，后四位为 0000 到 9999 共 10000 个，公司规定，凡卡号后 4 为带有数字“4”或“7”的一律作为优惠卡，则这组号码中优惠卡的个数为多少个? 5904 八. 多元问题用分类法按题目条件，把符合条件的排列、组合问题分成互不重复的若干类，分别计算，最后计算总数。例 14、已知直线 中的 a，b，c 是取自集合3，2，1，0，1，2，3中的 3 个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数。解：设倾斜角为 ，由
9、为锐角，得 ，即 a，b 异号。（1）若 c0，a，b 各有 3 种取法，排除 2 个重复（ ， ， ），故有：3327（条）。（2）若 ，a 有 3 种取法，b 有 3 种取法，而同时 c 还有 4 种取法，且其中任意两条直线均不相同，故这样的直线有：33436（条）。从而符合要求的直线共有：73643（条）九. 排列、组合综合问题用先选后排的策略处理排列、组合综合性问题一般是先选元素，后排列。例 15、将 4 名教师分派到 3 所中学任教，每所中学至少 1 名教师，则不同的分派方案共有多少种？解：可分两步进行：第一步先将 4 名教师分为三组（1，1，2），（2，1，1），（1，2，1），共
10、有：（种），第二步将这三组教师分派到 3 种中学任教有 种方法。由分步计数原理得不同的分派方案共有： （种）。因此共有 36 种方案。十. 均匀分堆法例 16、5 人分到 3 所学校调研，要求每所学校至少一人，共有多少分配方案？150 例 17、6 本不同的书，平均分给甲乙丙三人，有多少种不同的分法？9十一.隔板模型法常用于解决整数分解型排列、组合的问题。例 18、 有 10 个三好学生名额，分配到 6 个班，每班至少 1 个名额，共有多少种不同的分配方案？解：6 个班，可用 5 个隔板，将 10 个名额并排成一排，名额之间有 9 个空，将 5 个隔板插入 9 个空，每一种插法，对应一种分配方
11、案，故方案有： （种）例 19、有 10 个运动员名额，分给 7 个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ 解：因为 10 个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法共有 种分法。69C一班 二班 三班 四班 五班 六班 七班练习题：1 10 个相同的球装 5 个盒中,每盒至少一有多少装法？ 49C2 . 求这个方程组的自然数解的组数 10xyzw310十二.环排问题线排策略例 20、 8 人围桌而坐,共有多少种坐法?解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人 并从此
12、位置把圆形展成直线其余4A7 人共有（8-1）！种排法即 ！ 7HFDCABDEEGHGFex：6 颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120十三.实际操作穷举法例 21、设有编号 1,2,3,4,5 的五个球和编号 1,2,3,4,5 的五个盒子,现将 5 个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法解：从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有 种还剩下 3 球 3 盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下 3,4,5 号球, 25C3,4,5 号盒 3 号球装 4 号盒时，则 4,5 号球有只有 1 种装法，同理 3 号球装 5 号盒时,4,
13、5 号球有也只有 1 种装法,由分步计数原理有 种 53 号盒 4 号盒 5 号盒 练习题：1.同一寝室 4 人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9)2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有 4 种可选颜色,则不同的着色方法有 72 种521十四.住店法策略解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店” ，再利用乘法原理直接求解.例 22、七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有 .分析：因同一学生可以同时夺得 n
14、项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作 7 家“店”，五项冠军看作 5 名“客”，每个“客”有 7 种住宿法，由乘法原理得 7 种.5一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从 n 个不同元素中取出 m 个元素作圆形排列共有 1mnA将 n 个相同的元素分成 m 份（n，m 为正整数）,每份至少一个元素,可以用 m-1 块隔板，插入 n 个元素排成一排的 n-1 个空隙中，所有分法数为 1mn对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果十五.化归策略例 23、25 人排成 55 方阵,现从中选 3 人,要求 3 人不
15、在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？解：将这个问题退化成 9 人排成 33 方阵,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有 1 人从其中的一行中选取 1 人后,把这人所在的行列都划掉，如此继续下去.从 33 方队中选 3 人的方法有32C种。再从 55 方阵选出 33 方阵便可解决问题.从 55 方队中选取 3 行 3 列有 5C选法所以从 55 方阵选不在同一行也不在同一列的 3 人有 3152C选法。练习题:某城市的街区由 12 个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从 A 走到 B 的最短路径有多少种？( 375C) B处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题
