1、二次函数的图像与性质专项练习【知识要点】1二次函数：形如 的函数叫做二次函数.2二次函数的图像性质：（1）二次函数的图像是 ；（2）二次函数 通过配方可得),0(2为 常 数cbacbxay为常数） ，其顶点坐标为 。x,4)(22（3）当 时，抛物线开口 ，并向上无限延伸；在对称轴左侧0a时， y 随 x 的增大而减小；在对称轴右侧 时，y 随 x 的)2(b即 )2(abx即增大而增大；当 时，函数有 .b2当 时，抛物线开口 ，并向下无限延伸；在对称轴左侧0a时， y 随着 x 的增大而增大；在对称轴右侧 时，y 随着)2(bx即 )2(abx即x 的增大而减小；当 函数有 。,2时ab
2、3二次函数的图像平移：（1）二次函数 的图像都是抛物线，并且khxayhxy22)(,)(,形状相同，只是位置不同（ 的取值决定抛物线的形状）.将 的图像向2axy右（h0） 、向左（h0)、向下(k 0 时，函数图象截 x 轴所得的线段长度大于 2； 当 m 41时，y 随 x 的增大而减小； 当 m 0 时，函数图象经过同一个点 .其中正确的结论有 A. B. C. D. 变式训练1.已知二次函数 的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）2yaxbcA. B. C. D. 00240bac0abc第（1）题 第（3 ）题2 已知二次函数 ( )的图象如图所示， 有下列结论：（ ）2yaxb
3、c0a ； ； ； 240bc8c930abc3. 已知二次函数 的图象如图所示，有下列 5 个结论：)(2 ； ； ； ； aab24bc32， （ 的实数）其中正确的结论有（ ）A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个)(bm1D. 5 个考点二次函数图像平移例 2. 抛物线 cbxy2图像向右平移 2 个单位再向下平移 3 个单位，所得图像的解析式为 3x，则 b、c 的值为（ ）A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2变式训练1把抛物线 向左平移 1 个单位，然后向上平移 3 个单位，则平移后抛物线的表达式 2yx（ ）2
4、.若把函数 y=x 的图象用 E（x，x）记，函数 y=2x+1 的图象用 E（x，2x+1）记，则E（x， ）可以由 E（x， ）怎样平移得到？12x23 如图，点 A，B 的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线 的顶点在线nmay2)(段 AB 上运动，与 x 轴交于 C、D 两点（C 在 D 的左侧） ，点 C 的横坐标最小值为 ，3第（2）题yxO 1x12Oyx1则点 D 的横坐标最大值为( )A3 B1 C5 D8 考点确定二次函数解析式例 3 如图，在平面直角坐标系中， ，且 ，点 的坐标是 OBA2OA(12)，（1 ）求点 的坐标；B（2 ）求过点 的抛物线的表达式；
5、A、 、（3 ）连接 ，在（2）中的抛物线上求出点 ，使得 PABPOS 变式训练1二次函数 的图象与 轴的交点如图所示，根据图中信息可得到 的值3xmx m是 第 2 题图2已知二次函数 （ 为常数） ，当 取不同的值时，其图象构成一21yaaa个“抛物线系” 下图分别是当 ， ， ， 时二次函数的图象.它们的01顶点在一条直线上，这条直线的解析式是 .y3.如图，已知二次函数 的图象经过 A（2，0 ） 、B（0，6）两点。cbxy21（1 ）求这个二次函数的解析式（2 ）设该二次函数的对称轴与 轴交于点 C，连结 BA、BC，求ABC 的面积。yxO（第 3 题）DC B(4,)A(1,
6、4)yOBAx11（例 3 图）第 1 题图yxCAOB第 3 题A BCDyPxO(第 4 题图)4如图，已知抛物线 yx 2bxc 经过矩形 ABCD 的两个顶点 A、B，AB 平行于 x 轴，对角线 BD 与抛物线交于点 P，点 A 的坐标为(0，2) ，AB4(1)求抛物线的解析式；(2)若 S APO ，求矩形 ABCD 的面积235.将直角边长为 6 的等腰 RtAOC 放在如图所示的平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 C、A 分别在 x、y 轴的正半轴上，一条抛物线经过点 A、C 及点 B(3，0) (1)求该抛物线的解析式；(2)若点 P 是线段 BC 上一动点，过点 P
7、 作 AB 的平行线交 AC 于点 E，连接 AP，当APE 的面积最大时，求点 P 的坐标；(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点 G，使AGC 的面积与（2 ）中APE 的最大面积相等?若存在，请求出点 G 的坐标；若不存在，请说明理由考点确定二次函数与方程、不等式、一次函数、反比例函数例 1. 抛物线 cbxay2图像如图所示，则一次函数 24bacxy与反比例函数 cx在同一坐标系内的图像大致为（ ）第 15 题图变式训练1.若正比例函数 与反比例函数 的图象交于点2ykx0kyx则 的值是（ ）. 1Am， ，yxCB OA第 5 题图x x x x xABxOy考点 5 二次函数
8、与几何的综合题例 5如图，抛物线 yax 2bx c 经过点 A（4，0） 、B（ 2，2） ，连结 OB、AB（1）求该抛物线的解析式；（2）求证：OAB 是等腰直角三角形；（3）将OAB 绕点 O 按顺时针方向旋转 135得到OAB ，写出 AB的中点 P 的坐标，试判断点 P 是否在此抛物线上，并说明理由变式训练1在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A ，B ，C 三点)0,4(),(0,2(（1 ）求抛物线的解析式；（2 ）若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为m，AMB 的面积为 S求 S 关于 m 的函数关系式，并求出 S 的最大值（3 ）若点 P 是抛物线上的动
9、点，点 Q 是直线 上的动点，判断有几个位置能够使得xy点 P、 Q、 B、 O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点 Q 的坐标MCBA O xy第 1 题第 2 题2.在平面直角坐标系中，已知 A、 B、 C 三点的坐标分别为 A（2，0） ，B（6 ，0） ，C（0，3）.(1)求经过 A、B 、C 三点的抛物线的解析式；(2)过 点作 CD 平行于 轴交抛物线于点 D，写出 D 点的坐标，并求 AD、BC 的交点 Ex的坐标；(3)若抛物线的顶点为 ，连结 C、 D，判断四边形 CEDP 的形状，并说明理由.PACDEBox1基础演练1. 若二次函数 配方后为 则 、 的值分别
10、为（ ）52bxy kxy2)(b2.在直角坐标系中，若解析式为 的图像沿着 轴向左平移两个单位，再542x沿着 y 轴向下平移一个单位，此时图像的解析式为（ ）3二次函数 yax 2bxc 的图象如图所示，反比例函数 y 与正比例函数 y（b c ）axx 在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）A B C D4如图，两条抛物线 、 与分别经过点 , 且平行于121xy12xy02轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（ ）8 6 10 4 y5. 如图，小明的父亲在相距 2 米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是 2.5 米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高 1
11、 米的小明距较近的那棵树 0.5 米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米.第 7 题6.二次函数 ，当 时， 的取值范围是1)(2xy2yx_7图为二次函数 abc的图象，给出下列说法：(4 题图)xyOx1第 3 题ACB 0ab；方程 20axbc的根为 123x， ； 0abc；当1x时， y 随 x 值的增大而增大； 当 y时， x其中，正确的说法有 （请写出所有正确说法的序号）8已知点 A（1，1）在二次函数 图像上。2xab（1 ）用含 的代数式表示 ；ab（2 ）如果该二次函数的图像与 轴只有一个交点，求这个二次函数的图像的顶点坐标。9一开口向上的抛物线与 x
12、 轴交于 A(m2，0)，B(m2，0) 两点，记抛物线顶点为 C，且ACBC(1)若 m 为常数，求抛物线的解析式；(2)若 m 为小于 0 的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？(3)设抛物线交 y 轴正半轴于 D 点，问是否存在实数 m，使得BCD 为等腰三角形？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由第 9 题图BDACOxy能力提升1方程 x2+2x 1=0 的根可看成函数 y=x+2 与函数 的图象交点的横坐标，用此方法1yx可推断方程 x3+x1=0 的实根 x 所在范围为（ ）A B C D010222已知实数 的最大值为 yyy则满 足 ,3,
13、23如图，已知抛物线 yax 2bxc(a0)的对称轴为 x1 ，且抛物线经过 A（1，0 ） 、B（0 ， 3）两点，与 x 轴交于另一点 B（1 ）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2 ）在抛物线的对称轴 x1 上求一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，并求出此时点 M 的坐标；（3 ）设点 P 为抛物线的对称轴 x1 上的一动点，求使PCB90 的点 P 的坐标4已知二次函数 中，函数 与自变量 的部分对应值如下表：2yxbcyx 10234 515（1 ）求该二次函数的关系式；（2 ）当 为何值时， 有最小值，最小值是多少？xy（3 ）若 ， 两点都在该函数的
14、图象上，试比较 与 的大小1()Am， 2()B， 1y25已知平面直角坐标系 xOy，抛物线 yx 2bxc 过点 A(4,0)、B(1,3) .（1 ）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2 ）记该抛物线的对称轴为直线 l，设抛物线上的点 P(m,n)在第四象限，点 P 关于直线 l的对称点为 E，点 E 关于 y 轴的对称点为 F，若四边形 OAPF 的面积为 20，求 m、n的值.6已知抛物线 yx 22x 2（1 ）该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标 ；（2 ）选取适当的数据填入下表，并在图 7 的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；x y （3 ）若该抛物线上两点
15、A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）的横坐标满足 x1x 21，试比较 y1与 y2 的大小 -54321O45x7 如图，抛物线 y = ax2 + bx + 4 与 x 轴的两个交点分别为 A（4，0） 、B（2 ，0） ，与y 轴交于点 C，顶点为 DE（1 ，2 ）为线段 BC 的中点， BC 的垂直平分线与 x 轴、y 轴分别交于 F、 G（1 ）求抛物线的函数解析式，并写出顶点 D 的坐标；（2 ）在直线 EF 上求一点 H，使CDH 的周长最小，并求出最小周长；（3 ）若点 K 在 x 轴上方的抛物线上运动，当 K 运动到什么位置时，EFK 的面积最大？并求出最大面积CEDGAxyO BF
