1、一节 高三“ 一题多解 ” 课 的听课感悟 摘要： 要有充分的时间让学生动手做题，让学生自己去摸索，自己去体验，遇到难以解决的问题，教师适当进行点拨，最后自己总结解题经验，让学生体验成功的喜悦 . 笔者认为，题不在多，关键在精，不讲究面面俱到，但要有代表性 . 教师在课堂上要尽量少讲，甚至闭嘴，要做到学生能完成的事情让学生自己去完成，要让学生在课堂上当家作主，充分体现学生的主体作用，将课堂真正还给学生 . 关键词： 少讲，多练，将课堂 真正 还给学生 . 高 三数学课，以复习课为主， 为了达到复习效果，为了攻克重点 、 难点，教师大多采用 一题多解、一题多变的形式教学 . 笔者也经常采用这两种
2、形式上课 . 但是，在一题多解课上，一道题有很多种解法，是不是每种解法都要讲，讲到什么程度，怎样取舍，对学生更好，在课堂上怎样体现学生的主体地位，怎样把握好这个度，一直是笔者在思考的问题 . 前一阶段，笔者听了一堂一题多解课，颇有感触 . 1 课堂 1.1问题的提出 ： 给定两个长度为 1的平面向量 OA和 OB ，它们的夹角为 120，如图 1所示，点 C 在以 O 为圆心的弧 AB 上变动，若 OByOAxOC ， x， y R，求 x+y的最大值 . 1.2 问题的解决： 教 师：请同学们思考，并解题 学生都积极思考，教师下来 巡视 学生 的解题 情况 . 3 分钟过后，有学生甲给出了解
3、法 1： OBOAxyyxOC 2222 xyyxxyyx 3)(1 222 12313)(22 yxxyyx图 1 4)( 2 yx 2yx 当且仅当 x=y=1时取等号 . 讲解完毕 评说：向量与数量的转化，最基本的方法是将式子两边平方，利用向量的平方等于模的平方将向量关系转化为数量关系，这是解决向量问题最基本的转化思想，在这点上， 学生 能 很快想到，并且给出正确解答，说明教师平时在这方面花的 功夫 不少 . 接下来 教师询问 还有没有不同的解法 ，很快 学生乙 给出了如下解答： 解法 2： 如图 2建立平面直角坐标系，则 OA =（ 1， 0）， )2 3,21( OB ， )2 3,
4、2()2 3,2()0,( yyxyyxOByOAxOC 22 )23()2(1 yyx xyyxxyyx 3)(1 222 12313)(22 yxxyyx 4)( 2 yx 2yx 当且仅当 x=y=1时取等号 . 教 师：很好 . 投影 评说：对于向量问题，如能建立坐标系，用坐标 将 向量问题 转化为数量问题 ，也是经常采用的方法，学生掌握不错 . 教 师：还有其它解法吗？ 过了一会，见学生没有什么反应，教师就给出了提示，设 COA=，则会有什么等量关系呢？ 一会儿 ，学生丙给出了如下解答： x y 图 2 解法 3： 如图 3， 设，则 )s in,(c o s OC ， )32,0(
5、 ，由解法 2得 yyx23sin2coss in32s in31c o syx2)6s in (2s in3c o s yx 当且仅当 3 取等号 . 教 师：还有 其他解法 吗 ？ 学生丁： 解法 4： 如图 4，过 C 作 CD/OB， CE/OA，分别交 OA， OB于点 D， E两点，则 OD=x， OE=CD=y， OC=1， ODC=60， OCD=120，由正弦定理得： 3260s in 1s in)120s in ( yxs in32)120s in (32yx，以下解法同上 评说：利用解三角形的思想来解决向量问题，想法新颖，让学生开阔思路，且比较精炼，学生容易想到，非常不错
6、 . 教 师：还有其它解法吗？ 教室里学生已没有先前的踊跃，没有其它思路 . 教 师：如果分别在等式 OByOAxOC 两边同乘 OA， OB ，这样构造一下 ， 大家看看会怎样 .22OByOBOAxOBOCOAOByOAxOAOC . 让学生思考片刻，有同学恍然大悟 . 学生戊：两式相加，右边变成 21 （ x+y），将 x+y又一次构造出来，后 面的 解 法 同前 . 评说：此解法是一个特例，技巧性较强，学生不容易想到，是一个“巧解”，但并没有多“巧”，笔者认为，这个解法可以不讲 . 此例讲解完毕 . 此时离下课已不足 2分钟 . 紧接着教师又给出了一个变式：给定两个长度为 1 的平面向
7、量 OA和 OB ，它们的夹角为 120，如图 5 所示，点 C 在 OAB 的内部（包括边界），若OByOAxOC ， x， y R，求动点 M(x， y)所构成的区域面积 .（约 5分钟） 提示：先考虑点 C 在线段 AB上 . 学生思考片刻，教师 见学生没什么反应便 开始讲解：若点 C 在 AB上，则 x+y=1，则由点 C 在三角形内部可得10 yx ，又由平面向量基本定理可得 10 10 yx ，再由线性规划即可得解 . 2评说 2 1 亮点 2 1 1精炼 选题 ，让 学生有了充分的发挥空间 整个课堂只有一个例子，后面这个也是这个题的变式， 此例虽然是一个老题，但 非常有分量， 有
8、代表性， 基本上 能 将向量当中要体现的思想与方法都体现了出来， 体现了转化与化归思想， 做到了少而精 . 2 1 2学生 参与度高 学生积极参与，能力较强，向量的基本方法（ 两边平方与 坐标法）掌握的不错，教师在这方面下的功夫得到体现，作为一个 省 二级重高的 中等学生 来说，非常难得 . 2 1 3教学环节流畅自然 课堂 内容 饱满，学生思维活跃，教师讲解到位，精 讲 ， 精炼， 废话很少， 能将大部分时间 还 给学生， 使 学生有充分时间思考，解题 . 课堂衔接自然，流畅，整节课下来，教师没有多余的话语， 让学生多动，多想，多写， 学生的活动充斥整个课堂，思路清晰，课堂效果不错 . 2
9、2 缺憾 2 2 1 没有 小结 没有课堂小结，笔者认为，并不是每堂课都要有小结，但对于这节课来讲，小结是必要的，如果能在讲完例子以后，直接让学生进行自我小结，让学生发表自己的看法或者心得体会， 课堂效果 会更好一些 . 2 2 2 拖堂 在讲完例子以后，只剩 2分钟，教师给出了后面的变式，时间花去 5分钟，这个题对学生而言，是个 难题，学生很难自己完成，与其解决不了，还不如不讲，如果一定要让学生见识一下，可以将其作为思考题，让学生课后去思考，等到下次再讲解 . 做为年轻教师，在时间把握上有待加强 . 2 2 3细节的处理 不够 精准 ，形成误解 画图相对要准一些，特别是平行线，一定要平行，如
10、果画平行了 （如图 6） ，会发现 其变式的解答有问题， 限制条件有待商榷，应将条件 10 10 yx改为320320yx才对 . 3 感悟 3.1一题多解，一题多变 要 合理运用，通性通法要重点讲解，不能 含糊 习题课，概念理解课 ， 复习课 ， 教师经常会用一题多解，一题多变的形式上课，这样可以激发学生思维，可以层层递进，突破难点，达到课堂的高潮 . 但是对于一题多解，笔者认为教师一定要有侧重，不能几种解法同等地位， 应侧重于通性 通法 地讲解 ， 对于那些所谓的“巧解”，只需让 了解 一下即可， 有的甚至可以不讲， 比如在 本 课例中，解法 1与解法 2是通法，要着重讲，要讲透彻，而最后
11、的一个解法，只是正好凑巧，是个案，对普通学生来讲是可讲可不讲的，而且可能 讲多了，反而会冲 淡前面通法的意义 . 因此笔者认为对于中等生来讲， 要着重对 通性通法的讲 解， 将讲解“巧解”的时间空出来，让学生自己来寻求通性通法，自己来掌握通性通法，培养最基本的数学素养与思维能力， 同时 还可以 培养学生不焦不躁的解题作风，不紧不慢的思维作风，让学生 真正 静下心来 . 3 2让学生 真正 做课堂的主人，构建有效课堂 杭州市教研室李老师将数学题大致分为三大类：可做题、可动题与可怕题 . 对于可做题要 求 做得 准 而 快 ，可动题要多得分，可怕题要能得分 . 那么对于教师来讲， 选择课堂例题，应
12、在可动题里面选择，要有充分的时间让学生动手做题，让学生自己去摸索，自己去体验，遇到难以解决的问题，教师适当进行 点拨 ，最后自己总结解题经验，让学生体验成功的喜悦 . 笔者认为，题不在多，关键在精，不讲究面面俱到，但要有代表性 . 教师在课堂上要尽量少讲，甚至闭嘴，要做到学生能完成的事情让学生自己去完成，要让学生在课堂上当家作主，充分体现学生的主体作用 . 要将课堂真正还给学生，笔者认为，必须要做到以下几点： （ 1） 例题要少而精，要有代表性，象上例这样一题多解的，基本上一题足矣 . （ 2） 提倡先做，后讲，甚至可以不讲，将学生的解法通过适当的修正即可，要让学生有充分的时间思考，动笔，让学
13、生形成自己的思想，自己的思路，不要想牵着学生的 鼻子走，要学会放手，保姆式的教学是最要不得的 . （ 3） 要回归课本，充分体现数学思想 . 很多课本上的习题与例题是很典型的，它的典型性与示范性不是参考资料上 的题所能取代的 . 当然回归课本，并不是简单地将课本中的例题、习题重做一遍，而是要让学生从教材基础题中自己提炼出解题方法、解题思想以及从中蕴含着的数学思想，思维模型 . （ 4） 要落实训练，让学生有充分的时间进行 思考 . 在学生训练的过程中，教师应统观全局，注意每个学生，走下讲台，密切关注学生的训练，对学生出现的好方法及时加以肯定，多讲几个好字，多竖竖大拇指，让 学生切实感受成功的喜
14、悦；对学生出现的不应错的东西及时指出，并加以引导，让学生感受到 教 师的密切关注，让学生切实体会到 教师 真的在乎他，并且一视同仁，让学生信服， 这样 才能让学生真正地喜欢做题，喜欢数学课，从而做到事半功倍，真正主动地、有效地去做题 . 只有 这样教师才能 在第一时间了解学生， 及时地纠正学生的错误，分析错因，帮助学生找出错误的根源，解决学生真正的困惑 ，从而做到真正的理解学生。 要怎样构建有效课堂，真可谓是教学有法，教无定法，新课程 倡导积极主动，勇于探索的学习方式 ， 这就要求教师 主动将时间还给学生， 努力引导 学生自己发现知识间的联系，努力提高 学生 对知识内涵与外延的理解，尽可能在数学方法，数学思想层面上进行指导，去揭示问题的本质 ， 要重视对通性通法的讲解 与分析 . 让学生自己 去 发现问题，解决问题，让学生有更深层次的理解 . 总之，揭示数学的本质、如何让学生自己去发现问题的本质，是一个永恒不变的话题，在这个话题上，唯有努力、努力再努力，只有更好，没有最好 . 惟有让学生自己去思考，自己去做，才能真正理解学生、理解教学 ， 才能让教师、学生真正理解数学，揭示本质 . 参考文献： 1 向立政 曹超 立足“三个理解”，构建有效课 堂 数学通讯 （ 下半月 ） 2011（ 10） ：1-5.
