1、1排列与组合考纲要求：1、 掌握乘法原理、排列与排列数、组合与组合数、加法原理的概念及其计算，涉及简单问题情境的分析和计算。注意：排列组合是概率统计，以及新增的“独立事件、互斥事件”的基础。【知识点回顾】（合上书本简单描述）乘法原理：做 一 件 事 ， 完 成 它 需 要 分 成 n 个 步 骤 ， 做 第 一 步 有 种 不 同 的 方 法 ， 做 第 二1m步 有 不 同 的 方 法 ， ， 做 第 n 步 有 不 同 的 方 法 .那 么 完 成 这 件 事 共 有2mm种 不 同 的 方 法 .13nN（ 默 写 ）排列和排列数： !(1), !()m nn nPnPP 另 外 通 常
2、 写 成 ，公 式 P 是 指 排 列 ， 从 n 个 元 素 取 m 个 进 行 排 列 (即 排 序 )。 (P 是 旧 用 法 ， 现 在 教 材 上多 用 A， Arrangement)（ 默 写 ）组 合 和 组 合 数 ： ，!,!()mmnnPCC1mmnnC公 式 C 是 指 组 合 ， 从 n 个 元 素 取 m 个 ， 不 进 行 排 列 （ 即 不 排 序 ） 。注意：要理解掌握公式，像今年的高考中就出现了一道考组合公式的选择题。（合上书本简单描述）加法原理：做一件事情，完成它有 n 类办法，在第一类办法中有 种不同的方法，在第二类1m办法中有 种不同的方法，在第 种类办
3、法中有 种不同的方法，那么完成这件事情2mn共有 种不同的方法。1n【排列数和组合数公式】 排列数公式 = = .( ， N *，且 )注:规定 .mnA)1()n ！ )(mnmn1!02 排列恒等式 （1） ;1()mmnnA（2） ;（3） ; 1nn（4） ;（5） .11mmnnA（6） .!23!()!1 组合数公式 = = = ( N *， ，且 ).mnCA1)() ！ ！ )nmn 组合数的两个性质（1） = ;mn（2） + = .1mn（3） kC注：规定 .0n 组合恒等式（1） ;1mmnn（2） ;1C（3） ; mnn以下公式都和二项式定理相关：（4） =nrC0
4、n2（5） .11rnrC(6) .1420531 nnnn (7) .132(8) .rnmrnrmnr 010(9) .C2222 )()()( 排列数与组合数的关系.mnnA！3【 排 列 组 合 问 题 解 题 技 巧 归 纳 汇 总 】1）特殊元素和特殊位置优先策略例 1.由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求 ,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有 然后排首位共有 最后排其它位置共有13C14C34A由分步计数原理得 3428A例 2. （2009 北京卷理）用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成没
5、有重复数字的三位偶数的个数为 （ ）A324 B328 C360 D648解：首先应考虑“0”是特殊元素，当 0 排在末位时，有 （个） ，2897P当 0 不排在末位时，有 （个） ，148256P于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有 563（个）.故选 B.2）相邻元素捆绑策略例 3. 7 人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有种不同的排法52480A乙甲 丁丙例 4. 记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老
6、人拍照，要求排成一排，2 位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）A.1440 种 B.960 种 C.720 种 D.480 种解：首先两位老人不站在两端，那么在 5 名志愿者中挑 2 位站两端，有 种；两位老人要相25P邻，用捆绑法把他们看成一位，和剩下的 3 名志愿者一起排，有 种；两位老人内部排列，4有 种，则总共有 种。故选 B。2P254960P3）不相邻问题插空策略例 5.一个晚会的节目有 4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排 2 个相声和 3 个独唱共有 种，第二步将 4 舞蹈插入第一步排好的 65A个元
7、素中间包含首尾两个空位共有种 不同的方法,节目的不同顺序共有 种46 546A4提示：不相邻问题通常用插空法：把要求不相邻的元素放在一边，先排其他元素，再将不相邻的元素插在已经排好的元素之间的空位上。4）定序问题倍缩空位插入策略例 6.7 人排队,其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法) 对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是： 73/A(空位法) 设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 种方法，其余的三个位置甲乙47A丙共有 1 种坐法，则共有 种方法。 （实际类似捆
8、绑法）47A5）排列问题求幂策略例 7.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有 7 种分依此类推,由分步计数原理共有 种不同的排法66）环排问题线排策略例 8. 8 人围桌而坐,共有多少种坐法?解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人 并从此位4A置把圆形展成直线其余 7 人共有（8-1）！种排法即 ！ 7HFDCABDEEGHGF一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从 n 个不同元素中取出 m 个元素作圆形排列共有 1mnA7
9、）多排问题直排策略例 9.8 人排成前后两排,每排 4 人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解:8 人排前后两排,相当于 8 人坐 8 把椅子,可以把椅子排成一排.前排右 2 个特殊元素有 种,24A再排后 4 个位置上的特殊元素丙有 种,其余的 5 人在 5 个位置上任意排列有 种,则共有14A5215A58）排列组合混合问题先选后排策略例 10.有 5 个不同的小球,装入 4 个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从 5 个球中选出 2 个组成复合元共有 种方法.再把 4 个元素(包含一个复合元25C素)装入 4 个不同的盒内有 种方法，根据 分步计数原理装球
10、 的方法共有4A245CA9）平均分组问题除法策略例 11. 6 本不同的书平均分成 3 堆,每堆 2 本共有多少分法？解: 分三步取书得 种方法 ,但这里出现重复计数的现象, 种分法。264C2364/例 12. 把 10 人平均分成 2 组，每组 5 人，问共有多少种不同的分法？解：先确定第 1 组，有 种方法，再确定第二组，有 种方法。这样确定两组共510C5C有 种方法。因为是等分组，第一、二组次序可交换，同一种分法被重复了 次，所以510c 2P共有 种分法2P例 13：把 10 人分成 3 组，一组 2 人，一组 3 人，一组 5 人，问有多少种不同的分法？解：按人数的多少，可把各
11、组划分为第一组，第二组，第三组。先确定第 1 组，有 种；再210c确定第二组，有 种法；最后确定第三组，有 种，共有 种。8c5c21038c5例 14：把 10 分成 3 组，一组 2 人，其余两组各 4 人，问有多少种不同的分法？解：先确定第 1 组，有 种方法;再确定第二组，有 种方法; 最后确定第三组，有 种方法。10 8 4因第二、三组次序可交换，故同一分法被重复了 次，所以共有 2P24810CP(1)对于等分组问题：分法数= 等 分 组 数 的 阶 乘按 序 分 组 的 总 数(2)对于不等分组问题：分法数=按序分组的总数(3)对于混合分组问题：分法数= 相 等 组 数 的 阶
12、 乘按 序 分 组 的 总 数平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以 ( 为均分的nA组数)避免重复计数。6【练习】1、某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务，如果要求至少有 1 名女生，那么不同的选派方案种数为( )A.14 B.24 C.28 D.48解法一：从正面看，至少有 1 名女生，可以分为有 1 名女生的情况和有两名女生的情况，分别为 和 种，所以总共有 种。1324C24324C解法二：从反面看，6 人中选 4 人的方案 种，没有女生的方案只有一种，所以满足要65求的方案总数有 14 种。思路：解法一，用分类计数原理直接解
13、题；解法二为间接法2、某城市的汽车牌照号码由 2 个英文字母后接 4 个数字组成，其中 4 个数字互不相同的牌照号码共有（ ）A. B. 个 C. 个 D. 个21460CP2461021460C24610P解：乘法原理，先排英文字母，没要求两个字母不同，所以英文字母有 种；接下来 4 个2C数字要求互不相同，有 种，所以总共有 个牌照。选 A。41021460P思考：如果要求字母互不相同，或数字可以相同，则要怎么解呢？排列问题求幂策略3、从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有 2 人参加，星期六、星期日各有 1 人参加，则不同的选派方法共
14、有（ ）A40 种 B60 种 C100 种 D120 种解：乘法原理，5 位同学中选 4 位参加活动，有 种，在这 4 位中选 2 为星期五去，有 种，45 24C剩下的两位安排星期六和星期日，有 种，所以总共有 种。选 B。2P260P思路：排列组合混合问题先选后排策略4、甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有（ ）A. 20 种 B. 30 种 C. 40 种 D. 60 种解：分类计数：甲在星期一有 种安排方法，甲在星期二有 种安排方法，甲在星241P236P期三有 种安
15、排方法，总共有 种。特殊元素优先策略，以甲的位置为分2P6207类基础，看乙丙的排列。5.（2009 浙江卷理）甲、乙、丙 3人站到共有 7级的台阶上，若每级台阶最多站 2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答） 解：对于 7 个台阶上每一个只站一人，则有 种；若有一个台阶有 2 人，另一个是 1 人，则37P共有 种，因此共有不同的站法种数是 336 种w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 123CP思路：分类计数原理（加法原理）6、12 名同学合影，站成前排 4 人后排 8 人，现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调
16、整方法的总数是( )A B C D 283CP268P286 285CP解法一：从后排 8 人中选 2 人共 种选法，这 2 人插入前排 4 人中且保证前排人的顺序不变，则先从 4 人中的 5 个空挡插入一人，有 种插法；余下的一人则要插入前排 5 人的空挡，15有 种插法，故为 ；综上知选 C。16156解法二：从后排 8 人中选 2 人共 种选法，这 2 人插入前排 4 人中且保证前排人的顺序不变，28如果两个人相邻，则有 种；如果两个人不相邻，则有 种，由加法原理得15CP25P。答案与解法一相同。12225 6CP这里用到公式： 1rrnn思路：排列组合混合问题先选后排策略。解法三：不
17、相邻问题插空策略7、用数字 0，1，2，3，4，5 可以组成没有重复数字的四位数中，不能被 整除的数共 5。解：正面解法：先排末位，不为 0 或 5，则有 种，紧接着排最高位，最高位不为 0，有14C种，中间两位 种，则总共有 种。14C24P1249P思路：特殊元素优先策略8、用 1，2，3，4，5，6 组成六位数（没有重复数字） ，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且 1 和 2 相邻，这样的六位数的个数是 （用数字作答)。解：本小题主要考查排列组合知识。依题先排除 1 和 2 的剩余 4 个元素有 种方案，28P8再向这排好的 4 个元素中插入 1 和 2 捆绑的整体，有 种插法，不同的
18、安排方案共有15P种。2150P奇 奇偶 偶1、21、21、22、12、1思路：特殊元素优先策略，不相邻元素插空法（此题要注意的是捆绑元素因为顺序是固定的，所以可以看做一个元素） 。9、 （2009 四川卷）2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是A. 60 B. 48 C. 42 D. 36解：第一步，先排女生：从 3 名女生中任取 2 人“捆”在一起记作 A， （A 共有 种不同236CP排法） ，剩下一名女生记作 B，两名男生分别记作甲、乙；第二步，排男生甲，男生甲必须在A、B 之间（若甲在 A、B 两端。则为
19、使 A、B 不相邻，只有把男生乙排在 A、B 之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有 6212 种排法（A 左 B 右和 A 右 B 左） ；第三步：再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有 12448 种不同排法。思路：特殊元素位置优先，捆绑法+插空法10、将 13 个球队分成 3 组,一组 5 个队,其它两组 4 个队, 有多少分法？（ ）542138/CA思路：平均分组问题除法策略11、 （2009 重庆卷理）将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答） 解：分两步完成：第一步将 4 名大学生按，2，1，1 分成
20、三组，其分法有 ；第二步将214CP分好的三组分配到 3 个乡镇，其分法有 所以满足条件得分配的方案有3P21346思路：平均分组问题除法策略+乘法原理12.10 名学生分成 3 组，其中一组 4 人，另两组 3 人。但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法 （1540）9思路：平均分组问题除法策略+间接法13.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入 4 名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排 2 名，则不同的安排方案种数为（ ）246/90CA思路：平均分组问题除法策略【真题演练】排列组合及概率论初步高考真题演练（2007 年上海文科数学试卷）9在五个数字 中，若随机取出三个数字
21、，则剩下两个数字都是奇数的概率是12345， ， ， ，（结果用数值表示） （2008 年）10已知总体的各个体的值由小到大依次为 2，3，3，7， ， ，12，13.7，18.3，20，且总ab体的中位数为 10.5若要使该总体的方差最小，则 、 的取值分别是 （2009 年）11.若某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 3 人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于 1 名的概率是 （结果用最简分数表示） 。(2010 年)10从一副混合后的扑克牌(52 张) 中随机抽取 2 张，则“ 抽出的 2 张均为红桃”的概率为_（结果用最简分数表示）（2011 年）11. 随机抽取的 9 位同学中，至少有 2 位同学在同一月份出生的概率为 （默认每个月的天数相同，结果精确到 0.001）
