1、三铰拱合理轴线的验证中国市政工程西南设计研究院2007 年 10 月目 录第 1 部分：圆弧拱 11.1 圆弧拱的竖向坐标 11.2 合理轴线的验证 21.2.1 几何特性 21.2.2 材料特性 31.2.3 截面特性 31.2.4 荷载 31.2.5 分析工况 31.2.6 分析结果 31.3 注意的问题 4第 2 部分：抛物线拱 52.1 抛物线拱的竖向坐标 52.2 合理轴线的验证 52.2.1 几何特性 62.2.2 材料特性 62.2.3 截面特性 62.2.4 荷载 72.2.5 分析工况 72.2.6 分析结果 7第 3 部分：悬链线拱 93.1 悬链线拱的竖向坐标 93.2
2、合理轴线的验证 103.2.1 几何特性 103.2.2 材料特性 113.2.3 截面特性 113.2.4 荷载 113.2.5 分析工况 123.2.6 分析结果 121第 1 部分：圆弧拱1.1 圆弧拱的竖向坐标拱的跨径为 L，矢高为 f，拱脚 A、B 点的坐标分别为 A(-L/2，0)，B(L/2， 0)，线段 AB 的中点 D 为坐标原点。 Ryx2(0,)COBA图 1.1设圆弧的半径为 R，OA=R，0D=R-f，AD=L/2，在三角形 OAD 中有：（式 1-1）22()(LRf由（式 1-1）可得：（式 1-2）28f因此 O 点的坐标为：2(0,)fL圆弧 ACB 的方程为
3、：（式 1-3）222()()8fLfxy由（式 1-3）可得：（式 1-4）22()88Lffyx2圆弧 ACB 上各点均在圆心 O 点上，其纵坐标大于 O 点的纵坐标 ，28fL因此其上各点的纵坐标为：（式 1-5）22()88LfLfyx1.2 合理轴线的验证采用 sap2000 程序验证在静水压力作用下圆弧为三铰拱的合理拱轴线。sap2000 有限元模型见本目录下“01_50m 圆弧三铰拱 .SDB”文件。1.2.1 几何特性 q=10KN/mOA(-25,0) B(25,0)C(,)xy图 1.2如图 1.2 所示，圆弧 3 铰拱 ACB 的跨径为 L=50m，矢高为 10m，受q=
4、100KN/m 的静水压力作用。将模型划分为 201 个节点和 200 个单元。其中，A 、B 、C 点分别对应于 1号、101 号和 201 号节点，其余各节点坐标均由（式 1-5）求得，各关键截面的坐标见表 1.1。表 1.1 关键节点编号节点位置 节点编号 x 坐标 y 坐标左支点 1 -25 0.00L/8 26 -18.75 4.77L/4 51 -12.5 7.78L3/8 76 -6.25 9.46跨中 101 0 10.003L5/8 126 6.25 9.46L3/4 151 12.5 7.78L7/8 176 18.75 4.77右支点 201 25 0.001.2.2 材
5、料特性假定该拱采用 C50 混凝土，弹性模量为 E=3.45107KN/m2，泊松比为0.2。1.2.3 截面特性1200 号单元的截面特性如图 1.4 所示。图 1.3 1200 号单元截面图（单位： cm）1.2.4 荷载在 1200 号单元上作用垂直于单元的均布荷载 q=-100KN/m。1 号节点和 201 号节点分别约束 u1 和 u3，101 号节点分别与 100 号单元和101 号单元相邻，将 100 号单元的右端和 101 号单元左端的弯矩释放掉。1.2.5 分析工况对均布荷载 q=-100KN/m 进行线性分析，分析的有效自由度限定在 XOZ 平面内。1.2.6 分析结果表
6、1.2 支点及拱顶点反力表节点位置 节点编号 Fx(KN) Fy(KN) 弯矩(KN-m)左支点 1 2625 2500 0拱顶点 101 3625 0 0右支点 201 -2625 2500 04表 1.3 各关键截面计算结果表节点位置 节点编号 轴力(KN) 剪力(KN) 弯矩(KN-m)左支点 1 -3624.971 14.428 4.55E-13L/8 26 -3624.623 -11.833 12.98L/4 51 -3625.239 -23.447 -11.42L3/8 76 -3624.895 -52.966 -10.205跨中 101 -3625 -1.746E-10 0L5/
7、8 126 -3624.895 52.966 -10.205L3/4 151 -3625.239 23.447 -11.42L7/8 176 -3624.623 11.833 12.98右支点 201 -3624.971 -14.428 -3.3E-14从表 1.3 中可看出，各关键截面的弯矩相对于轴力均比较小，均不到轴力的 1%，只要单元划分足够精确，各截面的弯矩值均可降为 0。1.3 注意的问题1竖向分布荷载作用于斜杆，如图 1.3 所示，线段 AB 上的竖向荷载为：（式 1.6）/cos0()()LABFqxdqxdq(x)aBA图 1.4理想加载情况是在 的情况下得出的，因此若采用当
8、时加载需用00来代替 ，或者使用节点加载。()cosqx()qx5第 2 部分：抛物线拱2.1 抛物线拱的竖向坐标拱的跨径为 L，矢高为 f，拱脚 A、B 点的坐标分别为 A(-L/2，0)，B(L/2， 0)，线段 AB 的中点哦 O 为坐标原点，拱顶 C 点坐标为 C(0，f)。2y=ax +bcABO(0,)图 2.1设抛物线 ACB 的方程为：(式 2-1)2yaxbc因为 A、B 两点关于原点对称，因此有：(式 2-2)0将 A、C 两点的坐标代入（式 2-1）中，有：(式 2-3)24aLcf由（式 2-3）可得：(式 2-4)24faLc因此抛物线 ACB 的方程为：(式 2-5
9、)24fyxL2.2 合理轴线的验证采用 sap2000 程序验证在均布荷载作用下抛物线为三铰拱的合理拱轴线。6sap2000 有限元模型见本目录下“02_50m 抛物线三铰拱 .SDB”文件。2.2.1 几何特性 yxOB(25,0)C(0,1)A(-25,)q=KN/m图 2.2如图 2.2 所示，抛物线 3 铰拱 ACB 的跨径为 L=50m，矢高为 10m，受q=100KN/m 的均布荷载作用。将模型划分为 201 个节点和 200 个单元。其中，A 、B 、C 点分别对应于 1号、101 号和 201 号节点，其余各节点坐标均由（式 2-5）求得，各关键截面的坐标见表 2.1。表 2
10、.1 关键节点编号节点位置 节点编号 x 坐标 y 坐标左支点 1 -25 0L/8 26 -18.75 4.375L/4 51 -12.5 7.5L3/8 76 -6.25 9.375跨中 101 0 10L5/8 126 6.25 9.375L3/4 151 12.5 7.5L7/8 176 18.75 4.375右支点 201 25 02.2.2 材料特性假定该拱采用 C50 混凝土，弹性模量为 E=3.45107KN/m2，泊松比为0.2。72.2.3 截面特性1200 号单元的截面特性如图 2.3 所示。图 2.3 1200 号单元截面图（单位： cm）2.2.4 荷载在拱 ACB
11、上作用竖直向下的 q=-100KN/m 的均布荷载，相当于在 1 号节点和 201 号节点上作用竖直向下的集中荷载，其值为 F=-12.5KN，2200 号节点上竖直向下的集中荷载为 F=25KN。1 号节点和 201 号节点分别约束 u1 和 u3，101 号节点分别与 100 号单元和101 号单元相邻，将 100 号单元的右端和 101 号单元左端的弯矩释放掉。2.2.5 分析工况对均布荷载 q=-100KN/m 进行线性分析，分析的有效自由度限定在 XOZ 平面内。2.2.6 分析结果表 2.2 支点及拱顶点反力表节点位置 节点编号 Fx(KN) Fy(KN) 弯矩(KN-m)左支点
12、1 3125 2500 0拱顶点 101 3125.025 0 0右支点 201 -3125 2500 0表 2.3 各关键截面计算结果表节点位置 节点编号 轴力(KN) 剪力(KN) 弯矩(KN-m)左支点 1 -3994.156 -1.858E-10 4.547E-13L/8 26 -3650.792 -1.164E-10 1.094E-09L/4 51 -3370.39 -2.91E-11 1.416E-09L3/8 76 -3189.362 2.037E-10 1.098E-098跨中 101 -3125.025 5.821E-11 -1.164E-16L5/8 126 -3189.362 2.91E-11 -3.965E-10L3/4 151 -3370.39 0 -1.015E-09L7/8 176 -3650.792 -1.164E-10 -5.421E-10右支点 201 -3994.156 -3.251E-11 -5.245E-13从表 2.3 中可看出，各关键截面的弯矩相对于轴力均比较小，均不到轴力的 1%，只要单元划分足够精确，各截面的弯矩值均可降为 0。
