1、恒成立问题（2009）1. （1）若关于 x的不等式 02ax的解集为 ),(，求实数 a的取值范围；（2）若关于 的不等式 3的解集不是空集，求实数a的取值范围2 三个同学对问题“关于 x的不等式 2325xxa在 1,上恒成立，求实数 a的取值范围”提出各自的解题思路甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”乙说：“把不等式变形为左边含变量 x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”丙说：“把不等式两边看成关于 的函数，作出函数图像”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，求 a的取值范围.3. 已知向量 2(,1)(,)axbxt若函数 bxf在区间 1,上是增函数，求
2、t 的取值范围.4. 已知函数 3, 5fxgxfax，其中 fx是 f的导函数.（1）对满足 1a的一切 的值，都有 0，求实数 的取值范围；（2）设 2m，当实数 在什么范围内变化时，函数yfx的图象与直线 3y只有一个公共点.5. 求与抛物线 2:Eax相切于坐标原点的最大圆 C的方程.6. 设 R，二次函数 2().fax若 ()0fx的解集为 A， |13,BxAB，求实数 的取值范围 .7. 已知函数 xfln， bxg21， .若 2b，且 h存在单调递减区间，求 a 的取值范围；8. 设 3x是函数 23()()xfxabeR的一个极值点.（）求 a与 b的关系式（用 表示 ）
3、，并求 f的单调区间；（）设 0， 25()4xgxe,若存在 12,0,4使得12()fg成立，求 a的取值范围.9. 已知函数 .1,0274)(xxf（1）求 f的单调区间和值域；（2）设 a，函数 1,023xaxg,若对于任意 1x,0,总存在 ,0x使得 )(10f成立，求 a 的取值范围.10. 求实数 a的取值范围，使得对任意实数 x和任意 2,0，恒有：81cossincosin2322 axx。11. 已知 1是函数 32()()1fmxxn的一个极值点，其中,0mnR。（I）求 与 n的关系式；（II）求 (f的单调区间；（III）当 1,x时，函数 ()yfx的图象上任
4、意一点的切线斜率恒大于 3m，求的取值范围.12. 设数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 a11， a26， a311，且1(58)(52),2,3nSSAB其中 A,B 为常数.（）求 A 与 B 的值；（）证明数列 an为等差数列；（）证明不等式 51mnna对任何正整数 m、 n 都成立.13. 对于满足|a| 2 的所有实数 a,求使不等式 x2+ax+12a+x 恒成立的 x的取值范围。14. 已知函数 ()fx是定义在 1,上的奇函数，且 (1)f，若 ,1,ab，0ab，有 0ab，（1）证明 ()fx在 ,上的单调性；（2）若2()fxm对所有 ,恒成立，求 m的取值范围。
5、15. 若函数 268yxm在 R 上恒成立，求 m 的取值范围。16. 已知函数 2()3fa，在 R 上 ()0fx恒成立，求 a的取值范围。17. 若 2,x时， ()0fx恒成立，求 a的取值范围。18. 若 ,x时， ()2fx恒成立，求 的取值范围。19. 若对任意的实数 ， 2sincos20kx恒成立，求 k的取值范围。分析：这是有关三角函数的二次问题，运用到三角函数的有界性。20. 已知函数 ()lg)xfab，常数 10ab，求（1）函数()yfx的定义域；（2）当 ba、 满足什么条件时 ()fx在区间 1,上恒取正。答案：1.（1）设 axf2.则关于 x的不等式 02
6、ax的解集为),(0在 ,上恒成立 minf,即 ,42minxf 解得 04a（2）设 axf2.则关于 x的不等式 32ax的解集不是空集 3xf在 ,上能成立 3minf,即 ,342minaxf 解得 6a或 2.2. 关键在于对甲，乙，丙的解题思路进行思辨，这一思辨实际上是函数思想的反映.设 2325,fxxgxa.甲的解题思路，实际上是针对两个函数的，即把已知不等式的两边看作两个函数，设 2325,fxxgxa其解法相当于解下面的问题：对于 12,1,若 12f恒成立,求 a的取值范围.所以，甲的解题思路与题目 ,x, fxg恒成立,求 的取值范围的要求不一致.因而, 甲的解题思路
7、不能解决本题.按照丙的解题思路需作出函数 2325f的图象和gxa的图象,然而,函数 x的图象并不容易作出.由乙的解题思路,本题化为 fa在 1,2x上恒成立,等价于1,2x时, minfx成立.由 5fx在 51,2x时,有最小值 10,于是, 10a.3. 依定义 ,)()1() 232 txtf .3(xxf则 在区间 ,上是增函数等价于 0xf在区间 1,上恒成立;而 0xf在区间 1,上恒成立又等价于 xt23在区间 ,上恒成立;设 1,23xxg进而 t在区间 上恒成立等价于 1,maxgt考虑到 1,23xxg在 3,上是减函数,在 ,3上是增函数,则 51max. 于是, t
8、的取值范围是 5t.4. 解法 1.由题意 23gxa，这一问表面上是一个给出参数a的范围，解不等式 0的问题，实际上，把以 x为变量的函数 gx，改为以 为变量的函数，就转化为不等式的恒成立的问题，即令 235xa， 1a，则对 1a，恒有 0，即 0a，从而转化为对 ， 0恒成立，又由 是 a的一次函数，因而是一个单调函数，它的最值在定义域的端点得到.为此只需 10 即23,80.x解得 23x.故 ,1时，对满足 1a的一切 的值，都有 0gx.解法 2.考虑不等式 2350gx.由 1a知, 260a,于是,不等式的解为2 23366x.但是,这个结果是不正确的,因为没有考虑 a的条件
9、,还应进一步完善.为此,设 2 2360360,agh.不等式化为 ,1xa恒成立,即maxmin,gh.由于 2360ag在 1a上是增函数,则max1,2360ah在 1a上是减函数,则 min1.ha所以, 213x.故 ,时，对满足 1a的一切 的值，都有 0gx.5. 因为圆 C与抛物线 2:Eyx相切于坐标原点 ,所以,可设22:Cxyr.由题意, 抛物线 上的点 ,Pxy除坐标原点 0,之外,都在圆的外边.设 P和圆心 0,Cr的距离为 d,则本题等价于22dxy在 0y的条件下,恒成立.整理式得 12yra 于是,本题又等价于式在 0的条件下,恒成立.即 min12yra,由
10、min0y得 r,即 2.所以,符合条件的最大圆的半径是 1ra,最大圆 C的方程为2221xya6.解法一：由题设, 0.0fx的两个根为 12,xa21,xa显然, 120,x.(1) 当 a时, 1A,21ABx21a2.a(2) 当 0时, 12Axx,232a637a.于是,实数 a的取值范围是 ,.解法二:(1) 当 0时,因为 fx的图象的对称轴 10a，则对 1,3x， f最大，max120.2.ffa(2) 当 时, mx,13f在 f或 3f实现,由 76f,则 6707a于是,实数 a的取值范围是 ,2,.这个解法的关键是用函数思想指导,学会用函数和变量来思考.7. 只研
11、究第（I）问. xaxhb21ln)(,2时 ，则 .1)(axh因为函数 存在单调递减区间，所以 ()0hx有解.由题设可知, xh的定义域是 ,0 ,而 0在 ,上有解,就等价于 x在区间 ,能成立,即 xa21, ,成立, 进而等价于 xuamin成立,其中xu2.由 x1212得, 1minxu.于是, 1a,由题设 0,所以 a的取值范围是 ,0,18. 本题的第（） “若存在 24使得 12()fg成立，求a的取值范围.”如何理解这一设问呢？如果函数 x在 0,4的值域与gx在 0,4的值域的交集非空，则一定存在 12,使得12()f成立，如果函数 fx在 04的值域与 gx在 ,
12、的值域的交集是空集，只要这两个值域的距离的最小值小于 1 即可.由（）可得,函数 f在 ,的值域为 32,6ae,又 gx在 0,4的值域为 2245,4a,存在 12,使得 12()fg成立，等价于 maxin1fgx或maxingfx，容易证明, 54a6.于是, 2561,30420.9. （1）对函数 )(xf求导，得 22)(71)(7164) xxxf 令 0)(xf解得 .271或可以求得，当 ),(时， )(xf是减函数；当 )1,2(x时， )(xf是增函数.当 1,x时， f的值域为 4,3.（2）对函数 )(xg求导，得 ).()2axg因为 a，当 ,0时， 01因此当
13、 )1,(x时， )(x为减函数，从而当 时有 ).(,g又 ,2)0(,321)( agag即 ,0x时有 x的值域为是 213,.a如何理解“任给 ,1， 4)(xf，存在 1,0x使得)(10xfg”，实际上，这等价于 )(xf值域是 ()gx值域的子集，即23,4,3.a这就变成一个恒成立问题， )(xf的最小值不小于()gx的最小值， )(xf的最大值不大于 ()x的最大值即 .32,12a解式得 5或 ；解式得 .2又 1a，故 a 的取值范围为 .231a10. 提示：原不等式 41cossincosin232答案： 6a或 711. 分析一：前面两小题运用常规方法很快可以得到，(I) 36nm（II）当0m时， ()fx在 2,1m单调递减，在 2(1,)单调递增，在 (1,)上单调递减.（III）为 3f对 ,x恒成立，即 3 (x1) (1+ 2)3 m29，而此式对任何正整数 m、 n都能成立。通过等价转化，将原来恒成立不等式得到大大简化，从而将复杂问题简单化。13. 分析：在不等式中出现了两个字母：x 及 a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将 a 视作自变量，则上述问题即可转化为在-2，2内关于 a 的一次函数大于 0 恒成立的问题。
