1、课例分析 2:空间中的角与距离教学目标：知识与能力：系统梳理出棱柱中垂直、平行关系的论证及空间角与距离的常用求解方法。过程与方法：通过对典型例题的剖析，培养和发展学生空间想象能力，推理论证能力以及善于发现、敢于探索的创造性思维能力。情感、态度、价值观：学生在问题的提出、分析、解决过程中，形成审慎的思维习惯，树立克服困难的信心，同时培养学生的合作意识与创新精神。教学重点：棱柱中垂直、平行关系的论证及空间角与距离的求解教学难点：隐蔽条件的挖掘及距离之间的转化关键：正棱柱的概念、平行、垂直（线线、线面、面面）的定义、定理及空间角与距离概念的熟练掌握教学模式：问题式探究教学模式在比较了其他教学模式的优
2、劣后，我尝试着利用问题式探究教学模式让学生自己去看书复习，自己归纳总结，自己设计复习题，自己讨论解答。为了充分调动全班同学的积极性，我让同学们自由组合成六个小组开展竞赛，并让学习成绩好的同学主动找较差同学组成一组，再把立体几何内容划分为几个单元，每一单元由一个小组同学负责全面地总结归纳，其他小组同学通过自行复习设计出有关本单元内容的问题，并要求每个小组经过讨论确定一个有新意的复习题，然后把各组复习题融会贯通到一起。本节课而以棱柱为载体，进一步研究线、面关系中的平行、垂直的论证、距离和角的求解问题就是其中的案例之一。学生归纳出必备知识点：1、 正棱柱定义2、 直线与平面平行的判断依据3、 直线与
3、平面垂直的判断依据4、 平面与平面垂直的判断依据搜集六组同学自己设计复习题，教师与同学一起筛选、分类、编辑成如下三组例题，学生通过分析、讨论，自主给出解答，成果如下：第一组：如图，正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 a，侧棱长为 a ，D 1为 A1 C1 中点，（1）求证：BC 1平面 AB1D1（2）求证：平面 AB1D1平面 AA1C1C分析： （1）线面平行：方法一：依据线面平行的判定定理，证出 D1E BC 1得出结论；方法二：依据面面平行的性质，构造平面 BC1 D平面 AB1D1，得出结论。（2）面面垂直：依据面面垂直的判定定理，由正三棱柱证得 B1D1平面 AA1C1C，
4、进而证得平面 AB1D1平面 AA1C1C。例题小结：第一组问题为线面关系中的论证问题，突出体现了转化思想，在论证过程中，其一般规律为根据判定定理，欲证面面平行只须转证为线面平行，欲证线面平行只须2B1ACA1BC1D1转证为线线平行，在已知面面平行的前提下，可根据性质定理，将面面平行转化为线面平行，再进一步转化为线线平行；同理，对于垂直问题，根据判定定理，欲证面面垂直只须转证为线面垂直，欲证线面垂直只须转证为线线垂直，在已知面面垂直的前提下，可根据性质定理，将面面垂直转化为线面垂直，再进一步转化为线线垂直。第二组：（3）求直线 A1B1与平面 AB1D1所成角大小（4）求二面角 A1AB1D
5、1的大小（5）求异面直线 B1D1 与 BC1所成角分析：（3）直线与平面所成角：关键直线上某点在平面上的垂足位置，其依据主要是面面垂直的性质定理；由(2)知，作 ASAD 1即可；（4）二面角：关键是在做出二面角的平面角，其依据主要是三垂线定理；由(3)知，继续做 STAB 1，问题即可解决；（5）异面直线所成角运用平移法，做出平行线，方法一：构造三角形中位线；方法二：构造平行四边形；方法三：补形法；例题小结：求空间角基本步骤：一作、即做出平面上的角，二证、即证它符合定义，三计算，即归到某一三角形中计算。（6）求点 D1到直线 AB 的距离（7）求点 B 到平面 AB1D1的距离（8）求异面
6、直线 B1D1与 BC1的距离（9）求异面直线 B1D1与 AC1的距离分析：求空间距离，关键是做出各自垂线段。 6）点到直线距离：依据三垂线定理，做出垂线段；7）点到平面距离：其主要依据是面面垂直的性质定理，当直接做垂线，垂足不容易找到时，注意距离这间的转化，常用的转化有以下几种，(1)转化为平行线面距离，(2)转化为平行面面间距离的(3)线异面直线段与平面相交，交点若恰为中点，则两个端点到平面距离可相互转化。8）异面直线距离：异面直线距离要求不高，但注意特殊 情况的处理，若异面直线中的一条垂直于另一条所在的平面，则过垂足直接做面内线的垂线； 9）异面直线距离：若异面直线中的一条平行于另一条
7、所在的平面，则转化为平行线面间的距离。例题小结：突出距离之间的相互转化，关键是运用三垂线定理及面面垂直的性质定理作出垂线段。学生小结：通过本节课的学习，我们可以感悟到：以棱柱为载体，进一步处理线面之间的问题，综合性较强，在能力方面的要求还是很高的。因此，在熟练掌握直棱柱、正棱柱定义、性质的同时，更要注重对垂直关系的识别、判断、论证、巧用与挖掘，同时注意转化思想的运用，待到对以上规律进一步深化和完善时，克服解证线面关系这个重点问题的难点也就水到渠成。教师小结：本节课所涉及到的线面关系中的垂直、平行的论证、空间角和距离的求解已分别讲过，但学生愿意以题解题，而不习惯对其规律进行总结，本节课以棱柱为载
8、体，帮助学生更好地理解基本规律，并灵活地运用于几何体，学生在学会解题的同时，更注重规律、方法的总结及数学思想的渗透， 通过本节课的问题探究，学生自觉参与了复习的全过程，变被动的接受为主动的探索。评析：这是一节开放的问题式探究模式复习课。它试图在教学过程中实现“两主”作用的有机结合。教师的主导作用体现在创设最佳的教学环境，激发学生自主探索、解决问题的积极性和创造性上；学生的主体作用体现在知识的归纳总结和问题的发现、设置、探究和解决上。它使学生的学习自觉延伸到了课外，并由学生自主控制和完成，让每个学生都能用自己内心的体验和主动参与去学习数学。变“被动接受”为“主动探索”，培养了学生的探究能力，一个
9、恰到好处的问题提出，一种巧妙的解法，一次全面准确的总结无疑都有助于学生问题意识和探索精神的培养；变“教师讲解”为“学生主讲”，从根本上解决了“以学生为主体”这一课堂教学的基本问题，变“划框定调”为“自由思考”，在质疑答辩阶段和求解复习题阶段，学生的思维是自由的、多角度的，可以充分发表自己的意见和见解，可以讨论、可以争辩、可以补充，学生的发散思维得到了充分的训练和培养；另外，学生在组题、编辑、探索、发现最佳解题方法的过程中，通过独立的思考与合作加深对知识的理解和掌握;并通过小组交流了解其他同学的学习方法和思路，发现自身学法上的不足，因而取长补短，学会学习，注重了学法的培养。在此案例中，整个教学以
10、学生自主活动为主，包括思考与表达、交流与反省、思维与推理，都是以主体的主动参与为目标进行设计的。虽然细节并不确定，但却是随着学生的思维活动的进展而进行的发展性预设，而这也正是体现了把学习的主动权交给学生的关键所在，也反映了问题探究教学活动中的一种动态生成与发展的规律。虽然在这种类似设计的过程中会碰到很多难题：如何帮助学生有效地观察问题情境；如何使他们通过问题探究过程更能有效地促进数学化思维的发展；如何对待探究活动中所出现的种种“意外”情形等等。但是对于这些类似问题的回答，却正是教师在实施问题探究教学时所必需追求的目标。只有努力实现这种追求，才会使问题探究式的教学模式更具有生命力。大多数科学探究活动往往都以结论的得出而告终的，而数学日常教学中的探究教学则并未完结。相反，一次探究的“结局”往往都会变成下一次探究的“开端”或“延续” 。这就是说，在进行探究教学的实施过程中，我们不但要教会学生学会对整个学习过程的反思和理解，更重要的是要使他们形成一种“科学是永无止境”的探究精神，并认识到在任何真正科学里都没有封闭性的结论。 20
