1、练习一 复数及其代数运算、复数的几何表示一、填空题1 4 i2 Arg = arg i i1i13.已知 z= ，则 = argz= i13z4.将 z=cos + isin 表示成三角形式为 表示成指数形式为 5Argz= argz= 5. i 的三角表示形式为 ，指数表示形式为 3二分别就 0 与- - 两种情形将复数 z=1 - cos + isin 化成三角形式与指数形式，并2求它的辐角主值。三利用复数表示圆的方程 a 2+y2 + bx + cy + d = 0，其中 a , b , c , d 是实常数。0x四求下列方程所表示的曲线 z + = 1i1izz z = 42五证明若
2、z1 + z2 + z3 = 0 且 1 = 2 = 3 =1，则点 z1 , z2 , z3为一内接单位圆的等边三角形的顶点。z若 z1 + z2 + z3 + z4 = 0 且 1 = 2 = 3 = 4 ，则点 z1 , z2 , z3 , z4或者为一矩形的顶点，或者两两重合。练习二 复数的乘幂与方根、区域一、填空题1 （1i） 3（1i） 3 2 3z 11),又若封闭曲线 C 不通过每一点 z ,则积n1nij i分 能取 个不同的值。cnzfd)(4 dz 21z5 3sinzdzdz 2siz二求积分 dz 其中 C 为正向圆周：czie)( 43iz三求函数 沿正向圆周 C：
3、 的积分值，设圆周 C 的圆心分别在：12z10z（1）z =1; (2) z = ; (3) z =-1; (4) z =-i0000四设 f(z)= 213dz(1)试证 f(1)=4 i(2)当 时，试求 f(z)之值2z练习八 解析函数的高阶导数 解析函数与调和函数的关系一填空题1 2)(zzde2 12sinz3如果二元实变函数 f(x,y)在区域 D 内具有二阶连续偏导数，并且满足 ，那么称 f(x,y)为区域 D 内的调和函数。4区域 D 内的解析函数的虚部 （是，不是）实部的共轭调和函数，实部 （是，不是）虚部的共轭调和函数。二设 C 是不通过 z 的简单闭曲线，试求 g(z
4、)= 的值。0 0cz3024)(三求积分 的值，若 C 为正向圆周：dzc2)1(sin（1） （2） （3）z2z312z四已知 为调和函数，求满足 f(2)=-i 的解析函数 f(z)=u+ivyxu)1(练习九 复数项级数 幂级数一选择题1下列数列极限不存在的是（ ）A B. C. D.ni1nni)21(ine2inne212下列结论正确的是（ ）A每一个幂级数在它的收敛圆内与收敛圆上收敛B每一个幂级数收敛于一个解析函数C每一个在 z 连续的函数一定可以在 z 的领域内展开成幂级数0 0D在收敛圆内，幂级数的和函数是解析函数3下列级数绝对收敛的是（ ）A B. C. D.1ni2ln
5、i08)56(nni12)(nni4.下列级数收敛半径为 的是（ ）e1A B. C. D.0)1(nnzi1niz0)(cosnzi1)(nz5 =（ ）nlimA0 B. C.1 D. 为 0 为 为 1 时不存在11二下列级数是否收敛？是否绝对收敛？（1） （2） （3） （4）1nni1)(nni12cos)(nni1ni三设级数 收敛，而 发散，证明 的收敛半径为 10nC0n nzC0练习十 泰勒级数 洛朗级数一将函数 f(z)= 展开成 z 的幂级数，写出它的收敛圆周。32z二求函数 在点 z -1 处的泰勒展开式，并指出它的收敛半径。210三 （1）求函数 f(z)= 在以 z
6、0 为中心，由它的奇点互相隔开的各个不同圆环域内的洛朗展开式。21z（2）求函数 f(z)= 在以 z1 为中心的圆环域：2 内的洛朗展开式。310z练习十一 孤立奇点一选择题1Z0 是函数 的（ ）zsinA可去奇点 B.一级极点 C.本性奇点 D.解析点2z1 是 f(z)= 的（ ）32)1(zA可去奇点 B.三级极点 C.本性奇点 D.二级极点3z1 是 f(z) 的（ ）13zA一级零点 B.三级零点 C.一级极点 D.三级极点4z0 是函数 f(z)= 的 级极点zsinA一级 B.二级 C.三级 D.四级5 是 f(z)= 的（ ）1zA可去奇点 B.一级极点 C.本性奇点 D.
7、二级极点二求出函数 f(z)= 的奇点，如果是极点，指出它的级。ze1三函数 f(z)= 在扩充复平面内有些什么类型的奇点？如果是极点，指出它的级。21cos)4(27zz练习十二 留数 留数在定积分计算上的应用一填空题1 设 f(z)= ，则 Res = ze10),(zf2 Res = ,2z3 Res = 1,cosz4 Res = ,32z5 Res = 0,sin6z二求函数 f(z)= 在各有限孤立奇点处的留数。)1(2ze三利用留数计算 ，其中 C 为一正向圆周czd)(3（1）C 的中心在 0 点，半径为 21（2）C 的中心在 0 点，半径为 2四计算积分 dz，C 为正向圆
8、周： 5cz)4(1z五计算下列积分（1） （2） （3）20sin4ddx2)1(dx21sin六如果 f(z)在 解析，证明在 时等式zz成立。12 )()(1(dzfifz练习十三 共形映射的概念 分式线性映射一填空题1设函数 在 z 的领域内有定义，且在 z 具有 ，那么称映射 在 z)(f0 0 )(f是共形的，或称 在 z 是共形映射。02 在 z=i 处伸缩率为 ，旋转角为 。2z3一个解析函数所构成的映射在 条件下具有伸缩率和旋转角的不变性。4映射 是第 类共形映射。z5映射 把上半个圆域： ，Im(z) 0 映射成 2Rz二证明：映射 把圆周 映射成椭圆：z1ccos)1(u
9、sin)(v三如果函数 将 z 平面上的单位圆 映射成 平面上的直线，试求 a,b,c,d 应满足的条件。dba1z四区域 在映射 下映射成什么？21)Im(0zz1练习十四 唯一决定分式线性映射的条件 几个初等函数所构成的映射一选择题1下面几个映射中，能将上半平面映射成上半平面的映射为（ ）A ,a,b,c,d 为实常数dczbaW0cB ,a,b,c,d 为实常数C ， 为实数)(zei ,D zW2指数函数 将水平的带形域 映射成（ ）ze)()Im0azA角形域 B.角形域arg0 2rgWC角形域 D.圆域Wae3能将点 z1,i,-i 分别映射成点 w1,0,-1 的分式线性映射为
10、（ ）A B.iz )(1izWC. D. )1(3)(ziW )1()(zi4.下面几个映射中，能将右半平面 映射成单位圆 的映射为（ ）0)Re(zwA B. 其中 为任意实数2z)(zi ,0)e(C D. 其中 为任意实数zW)(zei ,0)Re(二已知分式线性变换 将上半平面变到上半平面，且满足 f(0)=0,f(i)=1+i，求 f(z)(f三求把区域 变到上半平面 的一个映射。2,iziz 0)Im(W复变函数单元练习（一）一、 判断题（正确打，错误打 ）1.复数 . ( )ii31672.若 为纯虚数，则 . ( )zz3. 。 （ ）处 不 连 续在函 数 )arg(zw4
11、. 在 点连续的充分必要条件是 在()fuiv00iyx(,),uxyv点连续。 （ ）0,xy5.参数方程 （ 为实参数）所表示的曲线是抛物线 . ( ) tiz2 2xy二、填空题 1.若等式 成立，则 _, _.)()75(iyxixy2.方程 表示的曲线是_.3Imz3.方程 的根为_.0234.复变函数 的实部 _,虚部 _.1zw),(yxu),(yxv5.设 , ，则 = _ _.iz1i2 21zArg6.复数 的三角表示式为 _，指数表示式为_.三、计算、证明题 1求出复数 的模和辐角。4)31(iz2设 满足 求 与 的关系式。iyxz,4)3Re(2zxy3求 = 将 平
12、面上的直线 所映射成 平面上的曲线方程。)(zf11yw4求角形域 在映射 下的象。3/)arg(0zzw5将直线方程 化为复数形式。132yx复变函数单元练习（二）一、 判断题（正确打，错误打 ）1.若 在区域 D 内处处为零，则 在 D 内必恒为常数。 （ ）)(zf )(zf2.若 可导，则 也可导。 （ ）),yxvu和 ivuf3.若 在 点不解析，则 在 点必不可导。 （ ）)(zf0)(z04. . （ ）1sin5.函数 在点 可微等价于 在点 可微。 ),(),()yxivuzf00iyxz),(),(yxvu和 ),(0y（ ）6.函数 是周期函数。 （ ）ze二、填空题1
13、.设 , 则 _iz43)Re(iz2. _.i3. _.i)1(4. _.2cosi5.方程 的解为 _.izize6.设 , 则 的模为_.iyxzi27.函数 在 点连续是 在该点解析的_条件。()fzuv00iyx)(zf三、计算、证明题1问 取何值时, 在域 内是解析函数。k xyiyxkzf arctn)ln()(202讨论函数 在何处可导，何处解析，并求其可导点处的导数。iyxzf )(2)()3若函数 解析 ,且 ,求证 为一个常数。ivuzf)(2vu)(zf4若函数 解析 ,且 ，试求 .ivuzf)( )4)(22yxyxvu ),(),(yxvu和5求方程 的全部解。0chz复变函数单元练习（三）
