1、第二章 解析函数1-6 题中:(1)只要不满足 C-R 条件,肯定不可导、不可微、不解析(2)可导、可微的证明:求出一阶偏导 ,只要一阶偏导yxvu,存在且连续,同时满足 C-R 条件。(3)解析两种情况:第一种函数在区域内解析,只要在区域内处处可导,就处处解析;第二种情况函数在某一点解析,只要函数在该点及其邻域内处处可导则在该点解析,如果只在该点可导,而在其邻域不可导则在该点不解析。(4)解析函数的虚部和实部是调和函数,而且实部和虚部守 C-R 条件的制约,证明函数区域内解析的另一个方法为:其实部和虚部满足调和函数和 C-R 条件,反过来,如果函数实部或者虚部不满足调和函数或者 C-R 条件
2、则肯定不是解析函数。解析函数求导: xivuzf)(4、若函数 在区域 D 上解析,并满足下列的条件,证明 必为)(zf常数。(1) 0fz证明:因为 在区域上解析,所以。)(zf令 ,即 。),(),()yxivufxvyux, 0yviuzf)(由复数相等的定义得: 。00xvyuvx,所以, (常数), (常数),即1Cyxu,( 2C,(为常数。21iCzf)(5、证明函数在 z平面上解析,并求出其导数。(1) (cosin)(cosin).x xeyeyy证明:设 ,fzuxyiv= (cosin)(cosin).x xeyeyy则 ,(cosn)e, ,xv(cosin)x xue
3、yy; cosincosxxxeyeyscs)x; (in)xv满足 。xvyu,即函数在 z平面上 可微且满足 C-R 条件,故函数在 z平面上),(解析。 ()(cosincos)(cosins)x xuvfzieyyieyy8、 (1)由已知条件求解析函数 , ,vuzf( x2。iif)(解: 2,xyux由于函数解析,根据 C-R 条件得 yxvuyx2于是 )(xxyv2其中 是 x 的待定函数,再由 CR 条件的另一个方程得)(,xyuxyvx )(所以 ,即 。)( c2)(于是 cxyv2又因为 ,所以当 ,时 , 得iif1)( 10x,u12cv2所以。)()( 2122
4、2 xyixyzf9、提示:解析函数的实部和虚部为调和函数,只要该函数不是调和函数则它就不能做为解析函数的实部或虚部。10、提示:求出实部和虚部对 x,y 的一阶偏导,若不满足 C-R 条件则肯定不是解析函数,若满足 C-R 条件,同时满足一阶偏导存在且连续则为解析函数。14.若 ,试证:(1) 。iyxz xshyiczosin证: sin()sincoxiyxy=()i22iyiiieex=()sincosyiyixixhi18、解方程(1) 3iez解: 其中)(kize2,.210k则 )(ln)( kieLnzki 323(2) 。2izln解: lnarg02iziz即 1,arg
5、2z设zxiy21x, arg2得 0,1xy,即 zi。20、(2) 试求 及 。)sin(l)co(lln333eiiLi iiie231,)( )(iLn1解:(1) )(iLiLi e11因为 )(ln)()( kieniki 24214所以 )(ln)(ln)()( kkiiLni ee242421 ,.0k(3) iLnie )()( kiLneiki 22)(kini2,.10k(4) )si(co122eeii (5) )(ln)()( kiLniki 241422,求证 10zsilm证: zxiy(x,y,均为实数),所以 ,sinsi()lmlzxy当 0x则极限趋近于 z 轴,有sinlm1iyiyez当 y时,则极限趋于 z 轴,有 ,0xil故 。10zsinlm