1、 城区学校分配学生 摘要 随着城市经济社会发展及人口变化，城市中小学布局结构不合理的问题日益突出，学校布局结构是否科学合理，直接关系到教育资源的利用效率和学校的教育教学质量。本 题 旨在研究考虑学校利益、学生管理、学生安全等因素下实现学生的最佳分配问题。在理解题意的基础上深入分析， 我们运用线性规划模型 和层次分析模型 来建模， 在问题一二中 建立线性规划模型实现校方利益的最大化以及在保证校方利益的基础上进一步满足在学生管理和安全的要求 ， 运用 lingo 软件 编程 求解。 在问题三上以为 学校提供一个最合理的策略 为目 标层，以学校利益、学生管理和学生安全为准则层，以题目中提供的六种决策
2、为措施层 建立层 次 分析模 型，运用 matlab 软件 编程 求解。 问题四，根据前三问综合分析我国现行学生入学现象。 关键词：城区小学 学生分配 线性规划及层 次 分析 第 1章 问题重述 城市各城区小学 学校的布局结构和学生的分配是否科学合理，直接关系到教育资源的利用效率和学校的教育教学质量。下面就某城区的学校和学生信息根据要求对学生进行适当合理的分配。 由于城区旧城改造、新居建设以及人口流动等因素，现需将城区的六个街区小学生重新分配至该城区的三所学校 A、 B、 C 中去。经统计已知六个街区的小学生总人数以及低、中、高年级的比例（见表 1）。同时考虑到可能出现夸街区上学的可能，为了保
3、证学生的安全，每个学校将提供一定的上下课接送服务，由此产生的交通成本费用由上学的远近决定。具体数据见表 2，其中 0表示不用提供接送服务， 短线表示无法提供接送服务。另一方面，学校为了保证教学质量，规定每个学校的低、中、高年级学生的比例都应在 30%-36%之间。 1.如果从校方利益的角度考虑，为了节省接送的交通成本，所有学生应如何分配到各个学校去，同时又必须保证各年级的比例在规定的范围内。 2.另一方面，教育部门从学生管理和安全的角度考虑，希望每个街区的学生应尽可能的就近入学，而且同一个街区的学生能在同一所学校上学，那么在保证学校利益的基础上又应如何分配学生。 3.随着社会公共交通事业的发展
4、，学校考虑是否应降低接送交通成本，分析制定了如下备选策略：（ 1）取 消成本为 200 元 /年的接送范围，其他保持不变；（ 2）取消成本为 300 元 /年以下的接送范围，其他保持不变；（ 3）保持原方案。根据问题 1 的模型，再次考虑在各个策略下学生如何分配，比较各分配方案的差别。同时，结合问题 2，在考虑学校利益、学生管理和学生安全等因素下，为学校提供一个合理的策略。 4.我国现行的学生入学分配政策基本以学区内入学为主，但很多家长为了让小孩进入教学效应较好的学校，不惜夸学区入学，而且学校也为此提供一定的入学名额，试就目前的入学情况谈谈你的想法，并提出你的建议。 表 1.1 学校和学生信息
5、 地区 学生数量 低年级 中年级 高年级 1 450 32 38 30 2 600 37 28 35 3 550 30 32 38 4 350 28 40 32 5 500 39 34 27 6 450 34 28 38 表 1.2 学校接送交通成本费用和容量 学校 A 学校 B 学校 C 每个学生的公交成本（元/年） 300 0 700 - 400 500 600 300 200 200 500 - 0 - 400 500 300 0 学校容量 900 1100 100 第 2 章 问题的分析 在现实教育部门的统筹规划中， 学校的布局结构和学生的分配不仅直接关系到教育资源的利用效率和学校的教
6、育教学质量，同时还牵涉到学生管理、学生上下学的路途安全以及学校的经济利益。为保证教学质量，要求每个学校的低、中、高年级学生的比例都应在 30%-36%之间。考虑到学生管理的便利，希望每个街区的学生应尽可能的就近入学，而且同一个街区的学生能在同一所学校上学。 为确保学生上下学安全，学校提供一定的上下课接送服务。由于交通成本费有上学的远近决定，学生就近上学的的希望已经在最小交通成本中体现。 由 题意 可 知，目的在于建立一种模型，解决学生的分配地点和分配数量，从而使交通成本，学生管理和安全达到所需目标。问题一中，根据学校容量，学校低、中、高年纪比例，小区学生人数的约束条件以及要得到学校最小交通成本
7、的最优目标很容易想到线性规划模型。问题二与问题一的不同只在于安全问题需重点考虑，因此题目表二（学校接送交通成本费用和容量）中短线线路应理解为交通成本无穷大，仍然采用线性规划模型。 问题三有 6个被选策略：（ 1）在问题 1 的基础上，取消成本为 200元 /年的接送范围，其他保持不变；（ 2）在问题 1的基础上，取消成 本为 300 元 /年以下的接送范围，其他保持不变；（ 3）保持问题 1原方案。（ 4）在问题 2 的基础上，取消成本为 200元 /年的接送范围，其他保持不变；（ 5）在问题 2 的基础上，取消成本为 300元 /年以下的接送范围，其他保持不变；（ 6）保持问题 2原方案。在
8、考虑学校利益、学生管理和学生安全等因素下，比较这 6个策略为学校提供一个合理的策略 ， 顺其自然想到采用层次分析法建模。 第 3 章 建模过程 3.1模型假设 1. 各地区学生选择到各学校的概率相互独立且相等。 2. 模型 1、 2、 3中各学校的教学效应均相等。 3. 在问题一中，因为只考虑学校利益，对于表 2 中无法提供接送服务的学校，我们不考虑是否存在安全因素。 4. 对于高、中、低年级的学生我们不考虑年龄因素，在进行分配时我们假设高中低年级学生具有相同的安全系数。 5. 在问题二中，表二短横线表示无法提供接送服务，对于此我们假设安全系数极低，学生上学时无法保证安全，短横线的学校应为不可
9、达的分配途径。 6. 问题三中，对于取消接送的学校范围，我们假设那些原本需要接送的学生为自费乘坐公共交通工具上学 。 7. 我们假定乘坐公共交通工具安全系数低于乘坐校车的安全系数。 3.2定义与符号说明 ja :分别为 A,B,C 三所学校的学生容量（ j =1,2,3） id :第 i个区内的低年级学生人数（ i =1,2， 3,4,5,6） iw ：第 i 个小区的中年级学生人数（ i =1,2， 3,4,5,6） ig ：第 i个小区的高年级学生人数（ i =1,2， 3,4,5,6） ijx ：第 i 个小区去 j学校的低年级学生人数 ijy ：第 i 个小区去 j学校的中年级学生人数
10、 ijz ：第 i个小区去 j学校的高年级学生人数 ijc ：第 i个小区去 j学校所需的交通成本费用 3.3模型的建立与求解 3.3.1 问题一 如果从校方利益的角度考虑，为了节省接送的交通成本，所有学生应如何分配到各个学校去，同时又必须保证各年级的比例在规定的范围内。把短线表示无法提供接送服务的地区与 0表示不用提供接送服务的地区同等看待成校方不需要交通成本费。用线性规划来建立模型。 目标函数： 6311m in * * *ij ij ij ij ij ijij c x c y c z cij=300 0 7000 400 500600 300 200200 500 0000500 300
11、 0约束条件： 1、各区低年级的人数限制： 31 ( ) , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6ijj x d i i d(i)=144 222 165 98 195 153 2、各区中年级的人数限制 31 ( ) , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6ijj y w i i W(i)=171 168 176 140 170 126 3、各区中年级的人数限制 31 ( ) , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6ijj z g i i g(i)=135 210 209 112 135 171 4、学校容量的限制 61 ( ) , 1 , 2 , 3ij ij iji x
12、y z a j j a(i)=900 1100 1000 5，学校构成的比例限制 610.3 0.3 6 , 1 , 2 , 3ijiij ij ijxjx y z （ 低年级 ） 610.3 0.3 6 , 1 , 2 , 3ijiij ij ijyjx y z （ 中年级 ） 610.3 0.3 6 , 1 , 2 , 3ijiij ij ijzjx y z （ 高年级 ）采用 lingo 软件编 辑程序（见附录一）求解得学校最低交通成本为 145000 元，具体学校分配 结果见表 3.1。 表 3.1问题一的实验结果 地区 学校 一 二 三 四 五 六 总数 所占的比例 A 低 222
13、102 324 36% 中 168 104 272 30.2% 高 210 94 304 33.8% B 低 144 109 93 346 34.6% 中 171 115 66 352 35.2% 高 135 126 41 302 30.2% C 低 56 98 153 307 31% 中 61 140 126 327 33% 高 83 112 171 366 36% 3.3.2 问题二： 问题二仍然要考虑校方利益，但学生上下学安全成为主要考虑因素。同时必须保证各年级的比例在规定的范围内。此问中把短线表示无法提供接送服务看待成校方需提供无穷大的交通成本费。在此前提下，为了节省接送 的交通成本，
14、所有学生应如何分配到各个学校去，仍用线性规划来建立模型。 目标函数： 6311m in * * *ij ij ij ij ij ijij c x c y c z 其中 cij= 30 0 0 70 010 00 0 40 0 50 060 0 30 0 20 020 0 50 0 10 00 00 10 00 0 050 0 30 0 0约束条件：与问题一一样。 采用 lingo 软件编辑程序（见附录二）求解得学校最低交通成本为 427400 元，具体 学校分配 结果见表 4.2。 表 3.2问题二实验结果 地区 学校 一 二 三 四 五 六 总数 所占的比例 A 低 98 195 293 3
15、4% 中 140 170 310 36% 高 12 112 135 259 30% B 低 144 222 366 35.3% 中 171 149 320 30.8% 高 123 210 19 352 33.9% C 低 165 153 318 32% 中 19 176 126 321 32% 高 190 171 361 36% 3.3.3 问题三： 随着社会公共交通事业的发展，学校考虑是否应降低接送交通成本，分析制定了 6个 被选策略 分别为 ： P1:在问题一模型下取消成本 200 元 /年的接送范围，其他不变。 P2:在问题一模型下取消成本 300 元 /年的接送范围，其他不变。 P3:
16、保持问题一原方案。 P4:在问题二模型下取消成本 200 元 /年的接送范围，其他不变。 P5:在问题二模型下取消成本 300 元 /年的接送范围，其他不变。 P6:保持问题二原方案。 在考虑学校利益、学生管理和学生安全等因素下，比较这 6个策略为学校提供一个合理的策略。顺其自然想到采用层次分析法建模。因此以选择策略为目标层，学校利益、学生管理以及学生安全为准则层，六种策略为措施层建立分层分析模型如图 3.1。 图 3.1 层次结构模型 准则层的判断矩阵如表 3.3所示。 表 3.3准则层的判断矩阵 方案层 得判断矩阵如表 3.4所示。 表 3.4方案层的判断矩阵 A B1 B2 B3 B1
17、1 1 1/5 B2 1 1 1/5 B3 5 5 1 B1 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P1 1 1/2 2 4 3 5 P2 2 1 3 5 4 6 P3 1/2 1/3 1 3 2 4 P4 1/4 1/5 1/3 1 1/2 1/3 P5 1/3 1/4 1/2 2 1 2 P6 1/5 1/6 1/4 3 1/2 1 B2 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P1 1 1 1 1/3 1/3 1/3 P2 1 1 1 1/3 1/3 1/3 P3 1 1 1 1/3 1/3 1/3 P4 3 3 3 1 1 1 P5 3 3 3 1 1 1 P6 3 3 3 1 1 1 选择
18、策略 学校利益 学生管理 学生安全 P1 P2 P5 P3 P4 P6 准则层 措施层 目标层 层次总排序的结果如表 3.5所示。 表 3.5层次总排序的结果 根据层次总排序权值可以知道，第六个决策的权值最大，即在学生如何分配以及考虑学校利益、学生管理和学生安全等因素下，第六个决策为合理的。 B3 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P1 1 3 1/3 1/5 1/4 1/8 P2 1/3 1 1/4 1/6 1/5 1/9 P3 3 4 1 1/3 1/2 1/5 P4 5 6 3 1 3 5 P5 4 5 2 1/3 1 1/7 P6 8 9 5 5 7 1 准则 校方利益 学生管理 学
19、生安全 总排序权值 准则层权值 0.143 0.143 0.714 方案层排序权值 P1 0.2504 0.0833 0.0451 0.0799 P2 0.3796 0.0833 0.0277 0.0860 P3 0.1614 0.0833 0.0869 0.097 P4 0.0495 0.25 0.2026 0.1875 P5 0.093 0.25 0. 1158 0.1317 P6 0.0661 0.25 0.5229 0.4186 3.4.4 问题四 本文问题一、二、三针对学校利益、学生管理和学生安全等因素对城区学生分配进行了研究。从一二问的经济成本对照以及问题三的最优策略选择的结果表明
20、学生分配一学区内入学为宜。因此，各级教育行政部门要依据人口分布、地理状况、地段内学校规模和生源情况，根据免试就近入学原则，合理划定片区学位，确定每所学校招生服务范围，逐步减小跨服务区招生比例。同时学校不得拒绝片区内符合就读条件的适龄儿童少年就读，不得擅自跨片区招生。但是现今由于教育资源的不合理分配，很多家长不惜夸学区入学。因此，实现教育资 源的合理分配是解决本问题重要举措。 第 4章 参考文献 1 数学建模分析法 2 邱菀花 冯允成 魏法杰 周泓，运筹学教程，北京：机械工业出版社， 2004 年 3 张志涌， 精通 MATLAB6.5 版， 北京 ：航空航天大学出版社 2002年 4 姜启源
21、谢金星 叶俊 ，数学 模型（第三版） ， 高等教育出版社 2003年 第 5 章 附件 3.1问题一 model: sets: rongliang/1.3/:a; xiaoqu/1.6/:b,d,w,g; yunfei(xiaoqu,rongliang):c,x,y,z; endsets data: a=900 1100 1000; b=450 600 550 350 500 450; d=144 222 165 98 195 153; w=171 168 176 140 170 126; g=135 210 209 112 135 171; c=300 0 700 0 400 500 600 300 200 200 500 0 0 0 400 500 300 0; enddata min=sum(yunfei:x*c+y*c+z*c); for(xiaoqu(i):sum(yunfei(i,j):x)=d(i);!各区低年级 ;
