1、第一章习题参考解答1第一章习题参考解答3等式 成立的的充要条件是什么？)()(CBA解： 若 ，则 .ACBA)()(即， .AC反过来, 假设 , 因为 . 所以, . 故, B)(.B)()(C最后证， A事实上， , 则 且 。若 ，则 ；)(BxxCBxCBA)(若 ，则 ，故 . 从而 , . Cx)( )(. 即 .ACA)()(反过来，若 ，则 因为 所以 又因为 ，B)(CBA所以 故 )(BC)()(另一方面， 且 ，如果 则 AxCAxx；如果 因为 ，所以 故 . 则 x)(,BBA. 从而BC)()(于是， )(AC4对于集合 A，定义 A 的特征函数为 ， 假设AxA
2、,01)(是一集列 ，证明： nA,21（i） )(inflm)(iflmxxn AA（ii） supsupli nnn证明：（i） ， ， 时， .)(iflnmNxN00nmmAx所以 ，所以 故1)(mA)0xmAn 1)(ifsup)(ifl xnbA第一章习题参考解答2，有NnAxniflmnkAxnm有 ，故 ，即 =0 0)(if0nkk 0)(ifsupxmANb)(inflxA，从而 l)(iflmxxnn AA5设 为集列， ， 证明 1B)1(1ijii（i） 互相正交n（ii） iniAN1,证明：（i） ；不妨设 nm，因为 ，又m, mninnAAB1因为 ，所以
3、，故 ，从而 相互mBmnnAm1B正交.（ii）因为 ，有 ，所以 ，现在来证：)1(iiiBiniAB1iniA1当 n=1 时， ；A当 时，有：nini1则 )()()()()( 111111 ininininini BA 事实上， ，则 使得 ，令inAx1iixiii|m0且则 ，其中，当 时， ，从而， iniii Bx110010iiiA10iniBA16设 是定义于 E 上的实函数，a 为常数，证明：)(f（i） =|x)(1nxfn(ii) =)(|f 1证明：（i） 且)(|axfExEaxf)(1|1)(, nnfNn 且使 得x )(|1 xfxn )(|1xfn第一
4、章习题参考解答3反过来， ，使NnaxfExn ,1)(|1 1)(|naxfE即 故 af且)( )(|axfE所以 故|)(|1xfn 1)(|1nafEafxEn7设 是 E 上的实函数列，具有极限 ，证明对任意常数 a 都有：)(fn )(xf 1)(|inflm1)(|iflm|1 kxfEkaxfaxfE nnnk 证明： ，即 ，且NxfE,)(| kaf1)(因为 ，使 ，有 ，故nxfn，)(li nxn所以，)(1|mkam )(|kfEm= ，由 k 的任意性：)|xfExnN 1|iflaxn，反过来，对于 ，(|il1 knk 1)(|infl1 kaxfEnk ，有
5、 = ，即)(|iflxfExm|mnN时，有： 且 ，所以， 且mNn， ka1Ekxff)(li. ，故 从而Exk又 令 xf且)( )(|axx故 =)(|af)(|inl1 kfEnk8 设 是区间（a，b）上的单调递增的序列，即xn )()(21xfxffn若 有极限函数 ，证明： ，)(xfn Ra)(1axfEafEn证明： ，即： 且 ，因为)(xfEx)( )(limf所以 ，恒有： ，从而， 00,nN)(fn且 )(0xfn第一章习题参考解答4)(1axfEn反过来， ，使 ，故 ，因此，Nnaxfn01,)( )(0axfEn0n且 ,即， ，fxffnn)()(li
6、m0E)(fx从而， )(1afaEn10证明： 中坐标为有理数的点是不可数的。3R证明： 设 Q 为有理数集，由定理 6：Q 是不可数的。现在证： 可数 ，因为 zyx,|),(都 是 有 理 数 Qx是可数个有理数集的并，故可数，)(Qx又因为 并且 ，所以)(Qxx，可数 x故 可数14证明：可数集的有限子集的全体仍是可数证明： 设 Q 为可数集，不妨记为： ,321 nrrQ,令 则 为有限集（ ） ，则Nn,|321n nraAAn2为正交可数集，即0C又因为 ，所以 ，故Qx|Q0CA 是 Q 上一切有限子集的全体。15设是两两不相交的集所组成的集列，证明： nnElimli证明：
7、 因为 两两不相交，所以， ，故,21 mnEN,11)(linmnn另一方面，若 ，我们取)(li1mnnEnExli0第一章习题参考解答5则 ，使得 .特别的，当 时， ，当knNk, knExNk1nExn有,1时： （ 从而，1 21122, Ex， 有 )221nEx这与 矛盾，故21 nElim从而 nnlili16若集 A 中每个元素由相互独立的可列个指标所决定，即 A= ，而每个指标21xaix在一个势为 C 的集中变化，则集 A 的势为 C。证明：设 在势为 C 的集合中变化，即 A=ix 121),(|21 iixBa因 是既单又满的映射，RBii :,定义 , 1211
8、),(;: iiii Bx ),()(,()2121 xx故 得既单又满的映射,从而，RBii到是 1 RAii1从而 CA17设 的势是 C，证明至少有一个 的势也是 C。n1n证明：因为 ，所以nnAN1,Ann1如果 ，则 ，即， 正交可数，从而， 正交可n, , nA1数.这与 矛盾.CAn1故， ,使 .n18证明：0,1上的实函数全体具有势 C2证明：设 ，则1,0|A第一章习题参考解答6记0，1上全体是函数所构成的集合为 对于 ，定义函数x,即 是集合 A 的特征函数。AA.0,1)(,|C2另一方面， ，定义 f 1,0|)(,xfBf则 ， ，则2RBf|RC2，所以 ，从而
9、，|f C220证明： 中孤立点集市有限或可数集n证明： 中， 是 的一些孤立点所构成的集合ExnR由定义， ，使得 .现在令 ，0x),(xExO |)2,(ExO则 中任意二领域是不相交的事实上，若 ，有yxE, )2,(),(yx取 ，并且不失一般性设： ，则)2,(),(yxOzyx.故 ，这推出yxzyx ),(),(),( )2,(),(yOx，这与 矛盾.y，取一个有限点 ，则，当， ,所以Ex)2,(xxOryxr，故 .E 正交可数.|rx |Ex19设 称为 E 的内点集，证明： 是开集。|0Rn， 的 内 点是 0E证明： ，因为 x 为 E 的内点， 使得： ，现在证：
10、x0x),(0),(第一章习题参考解答7事实上， ，取),(xy 0|y-x|则 ，故 ，从而， ，即E,),(0),(Ex中每个点都是 得内点0E0因此， 为开集021假设 是a,b上唯一有限实函数，证明：它的第一类间断点的全体是可数的。f(x)证明：a,b中右极限存在的间断点是至多可数的 .令 有限 ， ，)0()lim|), xffbaSx Nn作： ,时，使得|,En ),(, bax则：（1） 上连续点的集合),(1baxfn在是事实上， ，取00)1(n即因 ，故 有nEx0 ,0baxx |)(|0xf即， 在 点连续。)(f（2） ，因 有限，故 使得nSN, )()lim0x
11、ffx x， ，故， 有),(bax n21| ),(,x，从而， .现在证：nff1|)| nxE),( |)(nxESA是两两不相交的开区间集不妨设 ，如果, 2121xESxn， 21，取),()(21xx ),(),(212xxx则 即， ，这与 矛盾，故 A 两12 nE21 nES两不相交，从而 可数nES故 至多可数。)(1n即， 中第一类间断点至多可数。),ba20证明 中孤立点集是至多可数集nR第一章习题参考解答8证明：设 F 是点集 E 中一些孤立点所构成的集合，有0,x),(xxO现在先证： 是两两不相交的|)2,(Fx事实上， ，如果 ，则2121,)2,(),(1xx
12、Oy（不妨设 ） ，故),(),(),(2121xyx221xx21x,这与 矛盾.,2EOxx21所以， 是两两不相交的.|),(F,取有理点 ，故 ，从而，x)2,(xxOrQFxr|0CF22证明： 中直线上每个闭集必是可数个开集的交，每个开集必是可数个闭集的并.nR证明：设 F 是 中的一个闭集，先证： ， = | 0),(ORx是 R 中的开集，其中),(x |inf),(FyxFx，则 ，取 ，故),(O),(),(),(,F事实上， ，所以 是开集),(xt ),(FO现在证： 、1nn事实上， ， ，所以 .N),()1,(nFn反过来， ，有 .故 .),(1FOxnx10,
13、x,即 . ，使 .所以 .故，R0),(OR),(xO，这与 矛盾.所以 ，从而 .)(x),(xFx1nFn再来证：每个开集必是可数个闭集的并.事实上，若 是开集，则 是闭集.所以存在可数个开集 ，使得GRNn第一章习题参考解答9，所以 .即 是可数个闭区间集nOGR )(11nnnQRORG的并.1)(Q23.假设 是一列开区间，如果 ，证明 是一个开区间iI iI1iI1证明： ，记 ， ，其中NNi|nfNi|sup，因为 ，所以可取),(iiIinI1),(10iinIx现在我们证： i),(因为 ， ，故Ni),(),iiI ),(1iI反过来， ，即 ，当 时，因为 ，所以 ，
14、,(xx0xxN1i有 .所以 . 如果 ，110iix iii II1),(1 0，使 ，故 ，从而N2 22iixiii21,iI1),(24.设 ， 是 E 的一个开覆盖，证明： 中必存在RE|AB |AB至多可数个 ，使得 .|NiiBiN证明：不妨设 中每一个元都是开区间. ，存在 ，有| Exx，故有： 端点的开区间 ，使得 .即， .xBR),(RrxxBixE又因为 |),(Exrx Q|所以 可数.不妨设 = ，又记|Ex |x|Nnx|n.其中，|NnB nB(故 nnxNNE25.已知：可数集 ，开区间列 ，,21, )1,(，)21,(，覆盖了它，这里 ，从此覆盖中能否
15、选出集 的有限 ,n 0E第一章习题参考解答10子覆盖.答：不能，证明如下：证明：（反正）如果 ， ，使得 （*） ，不kn,21N)21,(nkiE妨设，因为 ， ，则knn21 )(ki1221kkki nn1kn.这与 矛盾.所以（*）不真.),(kkiEkn1226.设 是一簇集合，如果 ，有 ，则称|AFAn,21 iFni1集合簇 具有有限交性质.|证明：如果 是具有有限交性质的非空有界闭集簇，那么 .| A证明：取 ，令 ，其中A0 1),(|0FxRGn ),(0Fx， ，则 是 中开集.且 ，|),(inf0Fyxiiiyyx12),(GnRG0如果 ，则 .A )(0 AA
16、由 Borel 有限覆盖定理（P27 定理 9） ，存在 ，使得m,21 0F.从而， ，这与 具有imimi FGi 11)( iimiF01)(0 |有限交性质矛盾.27.试用 Borel 有限覆盖定理证明：Bolzano-Weiestyass 定理（P24 定理 4，若 是E是一个有界无穷点集，则 ）.E证明：设 是 中的有界无穷点集，如果 ，则 ， ，使nREx0x得，则 .由 Borel 有限覆盖定理，),(xxO),(xExO，有 ，从而 =n,21 ,1ixmi ),(1ixmiOE= =)(ixmiE1i，这与 为无穷集矛盾，从而 .,21nx E29.可数个开集的交称为 型集，可数个闭集的并称为 型集.证明：有理数集GF
