1、带电粒子在电场中的运动知识点精解1带电粒子在电场中的加速这是一个有实际意义的应用问题。电量为 q 的带电粒子由静止经过电势差为 U的电场加速后，根据动能定理及电场力做功公式可求得带电粒子获得的速度大小为可见，末速度的大小与带电粒子本身的性质(q/m)有关。这点与重力场加速重物是不同的。2带电粒子在电场中的偏转如图 1-36 所示，质量为 m 的负电荷-q 以初速度 v0 平行两金属板进入电场。设两板间的电势差为 U，板长为 L，板间距离为 d。则带电粒子在电场中所做的是类似平抛的运动。(1)带电粒子经过电场所需时间(可根据带电粒子在平行金属板方向做匀速直线运动求)(2)带电粒子的加速度(带电粒
2、子在垂直金属板方向做匀加速直线运动)(3)离开电场时在垂直金属板方向的分速度(4)电荷离开电场时偏转角度的正切值3处理带电粒子在电场中运动问题的思想方法(1)动力学观点这类问题基本上是运动学、动力学、静电学知识的综合题。处理问题的要点是要注意区分不同的物理过程，弄清在不同物理过程中物体的受力情况及运动性质，并选用相应的物理规律。能用来处理该类问题的物理规律主要有：牛顿定律结合直线运动公式；动量定理；动量守恒定律。(2)功能观点对于有变力参加作用的带电体的运动，必须借助于功能观点来处理。即使都是恒力作用问题，用功能观点处理也常常显得简洁。具体方法常用两种：用动能定理。用包括静电势能、内能在内的能
3、量守恒定律。【说明】 该类问题中分析电荷受力情况时，常涉及“重力”是否要考虑的问题。一般区分为三种情况：对电子、质子、原子核、(正、负)离子等带电粒子均不考虑重力的影响；根据题中给出的数据，先估算重力 mg 和电场力 qE 的值，若 mgqE，也可以忽略重力；根据题意进行分析，有些问题中常隐含着必须考虑重力的情况，诸如“带电颗粒”、“带电液滴”、“带电微粒”、“带电小球”等带电体常常要考虑其所受的重力。总之，处理问题时要具体问题具体分析。【例 1】 空间有一区域宽广的电场，场强大小始终不变且处处相等，但方向可以改变。第 1 秒内场强方向如图 1-37 所示，=37。有一个带电质点以某一水平初速
4、度从 A 点开始沿 x 轴运动，1 秒末场强方向突然改为竖直向上，此时 A 质点恰好达到坐标原点 O。已知 AO=3.75 米，求第 2 秒末该质点所达位置的坐标(g取 10 米/秒 2)。【分析思路】 带电质点第 1 秒内沿 x 轴作直线运动，由直线运动的条件可知，第 1 秒内该质点所受合外力一定与 x 轴在同一直线上，由此可判断出该质点带正电，且其所受电场力的竖直分量与重力平衡，水平分力提供加速度，故质点做匀减速运动。到达 O 点时，由于电场变为竖直向上，则知此时合力变为竖直向上，质点将开始做匀加速直线运动或类似平抛运动。到底做何种运动取决于质点到这 O 点时的速度。【解题方法】 物体做直
5、线运动的条件、牛顿第二定律及运动学公式。【解题】 第 1 秒内质点沿 x 轴做直线运动，质点所受重力与电场力的合力与 x 轴在一条直线上，质点只有带正电荷。其受力如图 1-38，则Fsin=maFcos-mg=0由以上两式解得第 1 秒内的加速度a=gtg37=7.5m/s2A 点的速度 vA=7.5m/s。由 vt-v0=at 得质点在 O 点速度v0=vA-at=7.5-7.51=0所以从 1 秒末开始质点必沿 y 轴向上做匀加速直线运动。第 2 秒内物体的加速度质点向上运动的距离即第 2 秒末物体的坐标为(0，1.25m)。【例 2】 在真空中质量为 m、电量为 q 的带电粒子束连续地射
6、入相距为 d 的两平行金属板之间，当两板不带电时，粒子束将沿极板中线射出，通过两极板的时间为 T。现将如图 1-39 所示的随时间而变化的电场加在极板上，电场强度的最大值为 E，变化周期也为 T。求这些粒子离开电场时，垂直于两极板方向位移的最大值和最小值。【分析思路】 带电粒子在电场中平行两极板的方向做匀速直线运动，故带电粒子在两金属板间的运动时间与是否存在电场无关，总等于 T。在电场力作用下，带电粒子沿电场力方向做匀加速直线运动，由电场随时间的变化规律可知，不管粒子在什么时刻进入，加速时间总等于向的分速度总是相同的，垂直于两极板方向的位移大小仅取决于匀速运动时垂直极板方向的分速度的大小。显然
7、，当带电粒子于 nT 时刻进入电场时，匀速运动时垂直极板方向分速度最大，从而在垂直极板方向位移n 为非负整数)。【解题方法】 运动的合成与分解、牛顿第二定律及匀变速直线运动的位移公式。【解题】 带电粒子在电场中平行两极板的方向作匀速直线运动，故带电粒子在两金属板中运动时间与电场存在无关，均为 T。况下出电场时在垂直于极板方向位移最小。最小位移当带电粒子恰在 nT(n=0，1，2，)时刻进入电场，此种情况下出电场时垂直两极板方向位移最大。最大位移【例 3】 如图 1-40 所示，质量为 m、带电量为+q 的小球从距地面高 h 处以一定的初速度 v0 水平抛出，在距抛出点水平距离为 l 处，有能无
8、碰撞地通过管子，可在管子上方整个区域里加一场强方向向左的匀强电场。求：(1)小球的初速度 v0；(2)电场强度 E 的大小；(3)小球落地时的动能。【分析思路】 带正电的小球逆着电场线方向进入匀强电场，其在水平方向作匀减速直线运，在竖直方向做自由落体运动。当小球离开电场恰能无碰撞地通过管子，意味着小球刚进入管口的瞬间水平方向的速度为零。小球从开始到落地，整个过程中在竖直方向上一直做自由落体运动，可用运动学或动能定理求小球落地时的动能。【解题方法】 运动的合成与分解、自由落体运动的规律及动能定理。【解题】 在电场中小球的运动可看成水平方向的匀减速运动和竖直方向自由落体运动的合成。(1)从抛出点到
9、管口小球运动的时间可由竖直方向的分运动自由落体运动求出。设时间为 t，则有水平方向上小球做匀减速运动，则有(2)在水平方向上应用牛顿第二定律有Eq=ma(3)解法一：在全过程中对小球应用动能定理得所以小球落地时的动能解法二：小球在竖直方向上一直做自由落体运动，且小球着地时的速度是竖直向下的，由自由落体运动的规律知所以物体落地时的动能【例 4】 如图 1-41(a)所示，长为 l、相距为 d 的两平行金属板与一电压变化规律如图 1-41(b)所示的电源相连(图中未画出电源)。有一质量为 m、带电荷为-q 的粒子以初速度 v0 从板中央水平射入电场，从飞入时刻算起，A、B 两板间的电压变化规律恰好
10、如图(b)所示，为使带电粒子离开电场时的速度方向平行于金属板，问：(1)交变电压周期需满足什么条件？(2)加速电压值 U0 的取值范围是什么？【分析思路】 带电粒子离开电场时，速度方向平行于金属板，这说明带电粒子活电场力方向未获得速度。由题意可知，它在电场中的运动时间只能是电压变化周期的整数倍，即在一个周期内，前半个周期粒子竖直方向的速度从零增加至vy，后半个周期再从 vy 减少至零，但必须注意到粒子在竖直方向一直朝着一个方向运动，先加速后减速，再加速【解题方法】 运动的合成与分解、牛顿第二定律及运动学公式。【解题】 (1)带电粒子穿越电场所需时间由于粒子出电场时速度方向平行于金属板所以t=n
11、T(2)竖直方向上带电粒子在一个周期内的位移带电粒子在 n 个周期内的位移【例 5】 如图 1-42(a)所示，真空室中电极 K 发出的电子(初速度为零)经过U0=1000V 的加速电场后，由小孔 S 沿两水平金属板 A、B 间的中心线射入，A、B 板长 l=0.20m，相距 d=0.020m，加在 A、B 两板间的电压 u 随时间 t 变化的 u-t 图线如图 1-42(b)所示。设 A、B 两板间的电场可以看作是均匀的，且两板外无电场。在每个电子通过电场区域的极短时间内，电场可视作恒定的。两板右侧放一记录圆筒，筒的左侧边缘与极板右端距离 b=0.15m，简绕其竖直轴匀速转动，周期T=0.2
12、0S，筒的周长 S=0.20m，筒能接收到通过 A、B 板的全部电子。(1)以 t=0 时( 见图(b)此时 u=0)电子打到圆筒记录纸上的点作为 xy 坐标系的原点，并取 y 轴竖直向上，试计算电子打到记录纸上的最高点的 y 坐标和 x 坐标(不计重力作用)。(2)在给出的坐标纸(如图(c)上定量地画出电子打到记录纸上的点形成的图线。【分析思路】 本题要分为加速、偏转、放大和扫描四个阶段。加速阶段：从电极 K 发出的电子的初速度为 0，设经加速电场后由小孔 S 沿中心线射入 A、B 两水平金属板的初速度为 v0，则由能量关系得其中 m、e 分别为电子的质量和电量，U0 为加速电压。偏转阶段：
13、电子以 v0 沿 A、B 两水平金属板的中心线射入后，由于受到垂直于A、B 板的匀强电场作用，电子将发生偏转，偏转的情况既与 A、B 间电场强度有关，又与入射速度 v0 有关。题图(b)给出了加在 A、B 两板间的电压 u 随时间变化的 u-t 图线从所给的 u-t 图线可以看出，加在 A、B 两板间的电压 u 是依锯齿形规律随时间变化的，不是恒定电场。但题目说明“A、B 间的电场可看作是均匀的，且两板外无电场。在每个电子通过电场区域的极短时间内，电场可视作恒定”。故在计算各个时刻电子在穿越电场区域产生偏转时，电场可作为恒定电场来处理。因而电子在 A、B 间是做抛物线运动：沿中心线方向，电子做
14、匀速运动，速度为 v0；沿垂直中心线方向，电子做匀加速运动，初速度为零，加速则电子在穿越 A、B 间的电场区域之前就要落到 A 或 B 板上而不能从 A、B 间的电场区射出，极限电压 uc 由电子射出 A、B 间电场时的极限偏转由、两式联立求得极限电压以题给数据代入，得 uc=20V，这个结果说明只有在 A、B 两板间的电压 u 小于极限电压 uc=20V 时，才有电子从 A、B 间的电场区域射出。放大阶段：电子刚从 A、B 两板间的电场区域射出时，最大偏转为B 板一段距离 b 处。这样，电子打在记录圆筒上的偏转距离就被放大了，与极限电压相应的电子射出 A、B 两板间电场区时的 y 方向分速度
15、射出电场区后，电子做匀速直线运动，它打到记录圆筒上的偏转，即打到记录纸上的最大 y 坐标可由下式求得由、式及题给数据可求得扫描阶段：如果记录电子偏转的工具是一个不动的固定记录屏，则不同时刻的电子打在屏的记录纸上的位置是在一条与竖直方向平行的直线上。也就是说，在固定屏上记录到的是一条与 y 轴(即竖直方向)平行的直线痕迹。为了能显示出不同时刻电子的偏转情况，我们用一绕竖直轴匀速转动的记录圆筒来代替固定的记录屏。由于圆筒的匀速转动，不同时刻打到圆筒的记录纸上的 x 坐标是不同的。若取 x 轴与竖直的转动轴垂直，以 t=0 时电子打到圆筒记录纸上的点作为 xy 坐标系的原点，则 t 时刻打到记录圆筒
16、上的 x 坐标为其中 T 为记录圆筒的转动周期，S 为记录圆筒的周长。从题中图(b)中可以看出，加在 A、B 两板间的电压 u 随时间 t 是做周期性变化的，周期 T0=0.1S，在每个周期 T0 内，只有电压 u 小于极限电压 uc=20V 的时候才有电子射出。因此在每个周期 T0 内，只有在开始一段时间间隔 t 内有电子通过A、B 两板间的电场区，根据题给条件，记录圆筒能接收到通过电场区的全部电子，因此在每个周期 T0 内，只有在开始一段时间 t 内有电子打到记录纸上从题图(b)可以看出这段时间 t 等于其中 um 是加在 A、B 两板间的最大偏转电压。为了求出电子在记录圆筒上的记录纸上打
17、出的痕迹，我们先讨论电子打在记录纸上的最低点的坐标。题给的偏转电压具有周期性，故最低点不止一个，根据题中关于坐标原点与起始记录时刻的规定，以及加在 A、B 两板间的偏转电压 u 与时间t 的关系曲线可知第一个最低点的 x，y 坐标为x1L=0cmy1L=0cm第二个最低点的坐标为y2L=0cm第三个最低点的 x，y 坐标为由于记录圆筒的周长 S=20cm，所以每三个最低点已与第一个最低点重合，即记录纸上记录到的电子打到痕迹的最低点只有两点，它们的坐标分别为(0，0)和(10，0)。同样可求痕迹最高点的坐标，显然痕迹最高点相应于偏转电压为 uc 的偏转点，因此第一个最高点的 x，y 坐标为第二个
18、最高点的 x，y 坐标为y2H=2.5cm第三个最高点也与第一个最高点重合，即记录纸上记录到电子打到痕迹的最高点也只有两点，它们的坐标分别为(2，2.5)和(12，2.5)。对于介于 0 到极限值 uc 之间的偏转电压 u，在记录纸上记录到电子痕迹的偏转量 y，由图 1-43 中可得到式中 、vy 分别是电子射出电场区时沿竖直方向的偏转量和分速度：以、式代入式，并化简即得到记录纸上的偏转量 y 等于可见由于电子在 A、B 两板间的匀强电场中沿竖直方向的加速度的电子沿竖直方向的偏转量 y 与该电子射入 A、B 两板间的电场时，加在 A、B两板间的偏转电压 u 成正比，这样就得出结论，在偏转电压的
19、每个周期内，电子在记录纸上形成的痕迹是一条连接该周期内的最低点和最高点的直线。从上面的分析可以看出，本题涉及的电子通过加速电场和偏转电场等内容都是学生熟悉的，有新意的地方在于，把常见的固定电子接收屏改为转动的记录圆筒，加进了扫描因素，这样就构成了一个情境较新的题目，需要灵活地运用所学知识，独立地进行分析讨论。【解题方法】 运动的合成与分解、牛顿第二定律、运动学公式、较强的空间想象能力。【解题】 (1)计算电子打到记录纸上的最高点的坐标设 v0 为电子沿 A、B 板的中心线射入电场时的初速度，则 电子在中心线方向的运动为匀速度运动，设电子穿过 A、B 板的时间为 t0，则电子在垂直于 A、B 板
20、方向的运动为匀加速直线运动。对于恰能穿过 A、B 板的电子，在它通过时加在两板间的电压 uc 应满足联立、式解得此电子从 A、B 板射出时沿 y 方向的分速度为以后，此电子做匀速直线运动，它打到记录纸上的最高点，设纵坐标为 y，由图 1-42 可得由以上各式解得从题图给的 u-t 图线可知，加于两板电压 u 的周期 T0=0.10S，u 的最大值um=100V，因为 ucum，在一个周期 T0 内，只有开始的一段时间 t 内有电子通过 A、B 板因为电子打在记录纸上的最高点不止一个，根据题中关于坐标原点与起始记录时刻的规定，第一个最高点的 x 坐标为第二个最高点的 x 坐标第三个最高点的 x 坐标由于记录圆筒的周长为 20cm，所以第三个已与第一个最高点重合，即电子打到记录纸上的最高点只有两个，它们的 x 坐标分别由和表示。(2)电子打到记录纸上所形成的图线，如图 1-44 所示。
