1、0黔南民族师范学院2012 年数学建模模拟竞赛论文重型机械制造企业的发展规划问题摘 要本文研究重型机械制造企业的发展规划问题。问题一采用逐次逼近法解决最短路问题，得出决定各产地产量及产品调运方案；在问题一的基础上，问题二分析表 1 的中的数据，得出该设计规模不合理，应该建设新生产基地，且运用 0-1 规划建模来确定选址，用 lingo 分析求解相互新生产基地的位置和规模，最终得到新生产基地应该建立在 、 规模分别为 1150，2460 ；问题三是原料储备问题，可以根据价格走势8v1分析判断得出钢材的储备量和储备方案；问题四根据价格走势图对比比较得出本队所1采用钢铁储备策略因钢材价格的不确定性所
2、带来的风险。关键词：逐次逼近法 0-1 规划 lingo 选址问题2一、问题重述某重型机械制造企业在全国有 8 个生产基地，在图 1 中分别用顶点 ， 表1v8示，其中 ， 是已经建成并正常运作的生产基地， 和 正在建设中，预计一1v6 7v8年后可以投入常规产品的正常生产。图中 ， 所有顶点都是该企业的主要销售1v18地，图中所示连接顶点 和 的边权重表示两个顶点之间的距离。该企业产品销售量ivj在过去三年中每年增长速度都超过 50%。企业在考虑当前生产经营和下一步发展规划时面临两个主要问题：1如果普通机械的运输费用为每台每公里 1 元，高端机械的运输费用为每台每公里 3 元，当前为第一季度
3、初，试根据表 2 和表 3 中数据（表中 ， ， ， ， 包3v5147v18含出口需求） ，决定各产地产量及产品调运方案。2 和 为在建生产基地，它们的建设规模现在还可以根据需要进行调整。试问7v8表 1 中的设计规模是否合理？按照现在的产能和需求情况，是否应该考虑在 ,，1v中选择几个地点建设新生产基地？如果选择 2 个地点，根据表 4 中的建设成本，问8新生产基地应该建在何处？多大规模？3原材料储备问题。该企业产品成本中钢材占 50%，请根据当前钢材市场的价格走势和产品需求，确定钢材的储备量及储备策略。 （设当前钢材库存为零，每台机械用5#角钢 3 吨，普中板(20*2000*8000）
4、3 吨，H 型钢(300*300)3 吨)4估计本队所采用钢铁储备策略因钢材价格的不确定性所带来的风险。二、问题假设1.两个交叉路口间的道路近似于直线段。2.任意两个路口均可到达。3.生产基地的占地面积相同。4.研究储备量问题时，我们以价格因素和需求因素为主要因素，其他因素影响相对较小。5.以普中板的价格为钢材价格。6.不考虑机械的运费，储存费。三、问题分析2.1 问题一的分析3图模型及其距离矩阵和最佳路径阵的建立以全市的交叉路口作为图的顶点（设顶点集为 ）、道路作为图的边（设边集为V）构作图 。依据假设 1 和 2，建立权矩阵 来表示图 ，其E(,)GVE=(,)nWwij(,)GVE中，,
5、(,)0ijbijEwiij （ 边 ）（ 边 ）（ ）为 地到 地的距离。ijbj由假设 2，图 为连通图，由图 的权矩阵 ，采用逐次逼近法求出(,)GVE(,)GVEW图 的每个顶点到达其他顶点的最短路径及路长。记 为从顶点 到达 顶(,)dijVij点的最短路长，可构作距离矩阵 (其中，当 = 时， )。记,nDdij(,0dij为从顶点 到达顶点 的最短路径，可构作最佳路径阵 ，其(,)pijij ,nPpij（中， 为从顶点 沿最短路径达到顶点 依次经过的顶点编号构成的向量（特别地，j）。另外，后面我们也用 表示从顶点 沿最短路径达到顶点 所经过的,i(,)pii j顶点构成的集合。
6、2.2 问题二的分析2.2.1 断设计规模的合理性表 1 中设计 普通机型产能为 1500 台/季度，设计 普通机型产能为 1200 台/季7v 8v度，而设计 、 的高端机型产能为 0 台/季度。我们可以通过计算 4 个季度普通机型8产能和高端机型产能的总和来判断表 1 中的设计规模的合理性。2.2.2 判断是否应该建设新生产基地若上述方案合理，则直接进行问题三，否则根据当前的产能和需求情况，根据选址问题中的平面选址在 ,， 中选择几个地点建设新生产基地。1v182.2.3 求解新生产基地的位置和规模根据表 4 中的建设成本，选择 2 个地点来建设新的生产基地，运用 0-1 规划来建立模型求
7、解新生产基地的位置，并计算其规模。2.3 问题三的分析在中国联合钢铁网数据库调用出 5#角钢、普中板(20*2000*8000） 、H 型钢(300*300)的价格走势图，直接分析图形，分析比较确定了钢材的储备量和储存策略。四、符号说明1 iv某重型机械制造企业的主要销售地2 f第 地的土地费用i3 ijc从地 到 地的距离j44 is产地 所能生产的最大普通机械的数量 i5 jd销地 所需普通机械的数量j6 ix产地 向 地的运输量i7 w是否在 地建设新生产基地8 im产地 所能生产的最大高效机械的数量i9 jn销地 所需高效机械的数量j五、模型的建立与求解5.1 问题一的求解采用逐次逼近
8、法：首先设任一点 到任一点 都有一条弧。显然，从 到 的最ivjvivj短路是从 出发，沿着这条路到某个点 再沿弧 到 。则 到 的这条路必然ivh(,)ijjih也是 到 的所有路中的最短路。设 表示从 到 的最短路长， 表示从 到 的ih ijpij ipih最短路长，则有下列方程：mnijihjl开始时，令 (1)ijpl（ j=1,2.,）即用 v1 到 vj 的直接距离做初始解。从第二步起，使用递推公式：()(1)inkkijihijpl（ k=2,3.,n）求 ，当进行到第 t 步，若出现kijp()(1)ttijij（ j,.,）则停止计算 即为 v1 到各点的最短路长tij（
9、=1,2.,n）Matlab 程序见附录，结果分析如下：1 2 3 4 5 6 7 8 91 0 1520 1100 1400 1400 1600 1630 5100 28002 1520 0 2620 2330 1630 1830 3150 5330 30303 1100 1928 0 300 1600 1800 2730 5300 30004 1400 1628 300 0 1300 1500 3030 5000 27005 1400 928 1600 1300 0 200 3030 3700 14006 1600 1128 1800 1500 200 0 3230 3500 120010
10、 11 12 13 14 15 16 17 181 2100 3380 2680 1850 1750 1150 1000 730 9402 2330 3610 2910 1660 1980 780 1330 2250 24603 2300 3580 2880 2050 1250 1850 1300 1830 20404 2000 3280 2580 1750 950 1550 1000 2130 23405 700 1980 1280 450 350 850 400 2130 23406 500 1780 1080 650 550 1050 600 2330 2540由上表分析判断可得出：5路
11、径最小则花费最少，所以产品调运方案为： 分别向 、 、 等地运输机器，1v71v8向 运输机器， 、 不向外运输机器， 分别向 、 、 等地运输机器，2v153v45346分别向 、 、 、 、 等地运输机器， 、 、 、 、 、 自己提供所6691012 25需的机器量。季度 1 普通机型各产地的产量： =2380 =680 =1300 =420 =2150 =2000v23v4v6季度 2 普通机型各产地的产量： =2480 =880 =1350 =650 =2930 =28101 5季度 3 普通机型各产地的产量： =2850 =900 =1300 =400 =2480 =2560234
12、6季度 4 普通机型各产地的产量： =2380 =700 =800 =300 =1670 =16801vv5v季度 1 高效机型各产地的产量： =20 =0 =10 =0 =8 =102346季度 2 高效机型各产地的产量： =26 =0 =15 =0 =10 =181 5季度 3 高效机型各产地的产量： =33 =0 =20 =0 =12 =18v23v4v6季度 4 高效机型各产地的产量： =38 =0 =12 =0 =8 =101 55.2 问题二的求解：根据表 1 的数据画出普通机型产能和高端机型产能的图，如下：020040060080010001200140016001 2 3 4
13、5 6 7 8生 产 基 地 编 号生产基地能普 通 机 型 产 能 (台 /季 度 ）高 端 机 型 产 能 （ 台 /季 度 ）根据上图可以看出：1.机型产能远远高于高端机器产能2.2、5、7、8 号基地中高端机型产能为 0 台/季度根据计算得出 4 个季度普通机型产能共 31200 台，高端机型产能共 560 台。根据表 2 的数据计算得出 4 个季度普通机型产能的需求量为 38050 台，高端机型产能的需求量为 268 台。根据分析得出，普通机型产能供小于求，高端机型产能供大于求，故表 1 中的设计规划不合理。按照现在的产能和需求情况，应该考虑在 ,， 中选择几个地点建设新生产基1v1
14、8地。模型 2 的建立：本题采用 0-1 规划求解。普通机械供小于求，解题时先引入 0-1 变量6（ =1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18）ix令 0,1iiw表 示 地 不 被 选 定 为 生 产 基 地表 示 地 被 选 定 为 新 生 产 基 地表示从 运到 的产品量ij j1818:miniijiVzfwcx1818(,.18),.2(,.18)(0ijiijjiijxsdstwx（ 需 求 约 束 ）（ 供 应 约 束 ）选 择 两 个 生 产 基 地 ）或高效机械供大于求，所以与各产地到各个点的最小路有关。根据题一的结果可建立如
15、下模型： 18minijijpx18(,2.7)(,.180ijiijjijstxn供 求 关 系 ）需 求 关 系 ）其中 为最佳路径阵。ijp程序见附录，由模型得到应选 和 两地点作为新的生产基地根据题一的结果得8v1到它们的规模 1150,2460. 5.3 问题三的求解。7上图为上海市 2010 年三种材料的价格变化图，三种材料的价格趋势基本相同，不妨设钢材的价格与 H 型钢的价格相同。储存量和储存策略与钢材的价格走势有很大的关系，由图一二季度的曲线可近似看作二次曲线且一季度末为最大值点，所以一二季度的购买量为自身需求量。三四季度的曲线可近似看作一条直线且同增同减，所以三季度可把自己的
16、需求量和四季度的需求量同时购买（或三四季度自给自足） 。5.4 问题四的求解8用上海市 2010 年的钢材价格走势确定 2011 钢材的储存量与储存策略，经过对照实际钢材价格可知虽整体趋势大致相同但存在一定的误差，误差达到 50%以上。六、模型的优缺点优点：1. 本文在正确清晰地分析了题意的基础上，建立了合理、科学的发展规划模型。2. 模型具有坚实可靠的数学基础。很多数学理论已经证明这是设计生产基地分布的最好的方法。3. 模型易于实现，易于应用于现实生活。4. 模型使生产基地发挥最大的效能。缺点：1.考虑的影响因素较少，在处理问题时可能存在一些误差。2.仅使用一年的数据具有一定的局限性。3.规划模型的约束型比较简单。4.三四问没有数据说明不充分。七、模型的改进方向1.对于模型一除了运用逐次分析法的出结果外，可用 lingo 求出最优解决方案。2.对于模型二的求解可在 0-1 规划中加入约束条件求出新的生产基地的规模。3.对于三四问，可建立数学模型得出储存量和储存策略。9参考文献1 作者，书名，出版地：出版社，出版年。2 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。3 作者，资源标题，网址 ，访问时间（年月日）。
