1、第 6讲 离散型随机变量的分布列 一、选择题 1袋中装有 10 个红球、 5 个黑球每次随机抽取 1 个球后，若取得黑球则另换 1个红球放回袋中，直到取到红球为止若抽取 的次数为 X，则表示 “ 放回 5个红球 ” 事件的是 ( ) A X 4 B X 5 C X 6 D X 5 解析 事件 “ 放回 5个红球 ” 表示前 5次摸到黑球，且第 6次摸到红球，故X 6. 答案 C 2已知随机变量 X 的分布列为 P(X i) i2a(i 1,2,3)，则 P(X 2)等于 ( ) A.19 B.16 C.13 D.14 解析 12a 22a 32a 1， a 3， P(X 2) 22 3 13.
2、 答案 C 3若随机变量 X 的概率分布列为 X x1 x2 P p1 p2 且 p1 12p2，则 p1 等于 ( ) A.12 B.13 C.14 D.16 解析 由 p1 p2 1且 p2 2p1可解得 p1 13. 答案 B 4已知随机变量 X 的分布列为： P(X k) 12k， k 1,2， ，则 P(2X 4)等于 ( ) A. 316 B.14 C. 116 D. 516 解析 P(2X 4) P(X 3) P(X 4) 123 124 316. 答案 A 5若离散型随机变量 X 的分布列为： X 0 1 P 9c2 c 3 8c 则常数 c 的值为 ( ) A.23或 13
3、B.23 C.13 D 1 解析 9c2 c 0，3 8c 0，9c2 c 3 8c 1， c 13. 答案 C 6若某一射手射击所得 环数 X 的分布列为 X 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 则此射手 “ 射击一次命中环数 X 7” 的概率是 ( ) A 0.88 B 0.12来源 :Zxxk.Com C 0.79 D 0.09 解析 P(X 7) P(X 7) P(X 8) P(X 9) P(X 10) 0.09 0.28 0.29 0.22 0.88 . 答案 A 二、填空题 7已知某一随机变量 的概率分布列如下，且
4、 E 6.3，则 a _. 4 a 9 P 0.5 0.1 b 解析 由分布列性质知： 0.5 0.1 b 1， b 0.4. E 4 0.5 a 0.19 0.4 6.3. a 7. 答案 7 8从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，则所选 3 人中女生人数不 超过 1 人的概率是 _ 解析 设所选女生人数为 X，则 X 服从超几何分布，其中 N 6， M 2， n 3，则 P(X 1) P(X 0) P(X 1) C02C34C36 C12C24C36 45. 答案 45 9设随机变量 X 的概率分布列为 X 1 2 3 4 P 13 m 14 16 则 P(|X 3|
5、1) _. 解析 由 13 m 14 16 1，解得 m 14， P(|X 3| 1) P(X 2) P(X 4) 1416512. 答案 512 10甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有 3 个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得 0 分，抢到题并回答正确的得 1 分，抢到题但回答错误的扣 1 分 (即得 1 分 )若 X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分 (分数高者胜 )，则 X 的所有可能取值是 _ 解析 X 1，甲抢到一题但答错了，或抢到三题只答对一题； X 0，甲没抢到题，或甲抢到 2 题，但答时一对一错； X 1 时，甲抢到 1 题 且答对或甲抢到 3题，且一错两对； X
6、2时，甲抢到 2题均答对； X 3时，甲抢到 3题均答对 答案 1,0,1,2,3 三、解答题 11甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 12与 p，且乙投球 2 次均未命中的概率为 116. (1)求乙投球的命中率 p； (2)若甲投球 1 次，乙投球 2 次，两人共命中的次数记为 ，求 的分布列 解 (1)设 “ 甲投球一次命中 ” 为事件 A， “ 乙投球一次命中 ” 为事件 B. 由题意得 1 P(B)2 (1 p)2 116， 解得 p 34或 p 54(舍去 )， 所以乙投球的命中率为 34. (2)由题设和 (1)知 P(A) 12， P( A ) 12，
7、P(B) 34， P( B ) 14. 可能的取值为 0,1,2,3，故 P( 0) P( A )P( B B ) 12 14 2 132， P( 1) P(A)P( B B ) C12P(B)P( B )P( A ) 12 14 2 2 34 14 12 732， P( 2) 1 P( 0) P( 1) P( 3) 1532， P( 3) P(A)P(BB) 12 34 2 932. 故 的分布列为 0 1 2 3 P 132 732 1532 932 12在一次购物抽奖活动中，假设某 10 张券中有一等 奖券 1 张，可获价值 50 元的奖品；有二等奖券 3 张，每张可获价值 10 元的奖
8、品；其余 6 张没有奖某顾客从此 10 张奖券中任抽 2 张，求： (1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值 X 元的概率分布列 解 (1)该顾客中奖，说明是从有奖的 4 张奖券中抽到了 1 张或 2 张，由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率 P C14C16 C24C210 304523. 或用间接法，即 P 1 C26C210 1154523. (2)依题意可知， X 的所有可能取值为 0,10,20,50,60(元 )，且 P(X 0) C04C26C21013， P(X 10)C13C16C21025， P(X 20) C23C210115， P(X 50)C11C1
9、6C210 215， P(X 60) C11C13C210115. 所以 X 的分布列为： X 0 10 20 50 60 P 13 25 115 215 115 13. 设 为随机变量，从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条，当两条棱相交时， 0 ；当两条棱平行时， 的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时， 1. (1)求概率 P( 0)； (2)求 的分布列，并求其数学期望 E 解 (1)若两条棱相交，则交点必为正方体 8 个顶点中的 1 个，过任意 1 个顶点恰有 3 条棱，所以共有 8C23对相交棱，因此 P( 0) 8C23C2128 366 411. (2)若两条棱平行，则
10、它们的距离为 1 或 2，其中距离为 2的共有 6 对，故 P( 2) 6C212 111， 于是 P( 1) 1 P( 0) P( 2) 1 411 111 611， 所以随机变量 的分布列是 0 1 2 P 411 611 111 因此 E 1 611 2 111 6 211 . 14. 某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有 4 次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第 4 次为止如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为 0.6,0.7,0.8,0.9.求在一年内李明参加驾照考试次数 X的分布列，并求李
11、 明在一年内领到驾照的概率 解 X 的取值分别为 1,2,3,4. X 1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了， 故 P(X 1) 0.6. X 2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了， 故 P(X 2) (1 0.6) 0.7 0.28. X 3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了， 故 P(X 3) (1 0.6) (1 0.7) 0.8 0.096. X 4，表明李明第一、二、三次考试都未通过， 故 P(X 4) (1 0.6) (1 0.7) (1 0.8) 0.024. 李明实际参加考试次数 X 的分布列为 X 1 2 3 4 P 0.6 0.28 0.096 0.024 李明在一年内领到驾照的概率为 1 (1 0.6)(1 0.7)(1 0.8)(1 0.9) 0.997 6.
