1、第三讲 复数域上的极限与连续一定义距离(两个复数之间的距离)两个复数 的距离为112,zzxiyzxiy.2211()()()xy有了两个复数之间的距离后,容易得出下面的结论(如图 2.1).1212121212max,yz二复数序列的极限复数列 ,存在 ,使得1nz0z对 ,当 时,有0linzNn. 图 2.1引理 若 ,则00,12,nnzxiyzxiy.00lmliinnx三复函数的极限定义 设 单值函数 , 是 D 的一个聚点(非孤立点).若:fD()wfz00xiy对于 , ,当 时,有 ,则称 当 时00()fA)fz0以 A 为极限,记为.0lim()zf引理 设 , ,则有0
2、0,zxiyi,(,)wuxyivAaib.00(,),),lili()(xyzfA四复函数的连续定义 设 定义在复数集 D 上, 是 D 的一个聚点,若()wfz00zxiy,则称 在点 连续.00lim()zf()f注:若点 是 D 的一个孤立点,则 在点 连续.()fz0引理 复函数 在点 连续 函数 在()wfzuiv00xiy(,),uxyv点 连续.0(,)xy复函数 在点集 D 上的每一点连续,则 是 D 上的连续函数.()fz ()fz五复级数定义 设复数列 ,复数项级数的前 项之和 ,1kun1nksu(2)然而得部分和序列 ,级数和 ,即 .ns1limknu1limknA
3、s引理 复数列 ,若 , ,有1kukkaib0Ai.011kkkaub绝对收敛:级数 收敛,则称 绝对收敛.1k1k级数 绝对收敛当且仅当级数 和级数 收敛.1ku 1ka1kb六复函数列 1()kz设复函项级数 ,在点 ,使复数列 收敛,则称复函数1ku0zD01()kuz列在点 收敛, 称为复函数列的收敛点.收敛域=所有收敛点.0z0复函项级数 绝对收敛 收敛.1()kuz1()kuz补充内容:实数域上有2!nxxe 321sin()n 22co1()!nxx 下面把上面的情况推广到复数域上:(1)形式上的令 ( )2()()1!nixixie x由 得 .21icosinix下面是对
4、Euler 公式的严格定义和证明:设 ,对 ,令 得到序列 ,不妨设z12 21!nnzz nz,那么mn(1)1212()!()!()!()!nnmnnmzzzz 再对实数序列进行分析 , 收敛于 ,因为21!nna aze收敛,由柯西准则有na12()!()!nnmzz由(1)可知 也是柯西序列,所以 收敛.记 的极限为 ,nznznzze即 定义21!ze 1!k级数 收敛且绝对收敛,收敛域为整个复数域 .1!nkz(2)形式上的令321si()!)!nzz 定义序列 ,利用上面同样的方法,可得321()!)!nnz321si()!)!nz (3)同理,也有22cos(!)!nzz 由(
5、1)(2)(3)得证 (Euler 公式).siize练习:1. 设 3(1)zi(1) 表示为实部虚部的形式;(2)求 ;,arg(,)z(3)求 的 Euler 指数表示;(4) 的三角表达式;解 (1) , .32(1)()1()12ziiiiRe2,Imz(2) ;3.Imargctnarctn(1)Re4zz (3) .342i(4) .2(cosin)()z i2. 求(1) ;(2) ;(3) ;(4) .1ieisi1Rei解 (1) .(coin)iie11()cos,Im()sini iee(2) .1cos2iiee(3) .11()in2ii ii (4) .21(),Re01iii3. (1) ;(2) ;(3) .3lnIml()解 (1)21arg22()()()33363kikiikiee当 时, ;0k60 1()cosinii i当 时, ;15361 53()i62iiei当 时, .2k323()cosinii i(2) .ln)(2),iikik(3) .l(1)21,Imln(12)ii k
