1、第4章 量子力学中的对称性,本章是关于对称性、兼并和守恒律的一般性理论讨论。 4.1 对称性、守恒律和简并一、经典物理中的对称性对拉格朗日函数：若 ，即广义动量为运动常数.类似地，若用哈密顿函数 的正则方程来讨论：,二、量子力学中的对称性,量子力学中的操作如平移、转动等是与一个幺正算符T相联系的，习惯上T常被称作对称算符。若T作用下系统不变,则称系统具有与T相关的对称性.对无穷小变化的操作，T可写为， 其中G是该对称操作的厄米生成元。若H在T作用下不变， 则根据海森堡运动方程，有 ，即G是运动常量。如动量是平移的生成元，若H在平移操作下不变，则动量是运动常量（守恒）。类似的，若H在转动下不变，
2、则转动的生成元角动量守恒。从态矢变化的角度看，若G与H对易，则 保持是G的本征态，且G的本征值不变：即使初始态矢不是G的本征态，G的期望值也是不变的（守恒）。,三、简并,若H,T=0，T为某对称算符，|n为本征值为En的能量本征态，则T|n也是相同能量的能量本征态。如果T|n与|n是不同的态，则称它们是能量简并态，体系有简并。有时T由连续参量表征T=T(),此时所有的T()|n态都简并（但简并度只是独立的T()|n态数）。如对转动， 可构造H, J2, Jz的共同本征态|n;j,m。由上所知，所有D(R) |n;j,m态能量简并。由于 ，改变表征D(R)的连续参量,可得不同|njm的组合，故不
3、同m的|njm是简并的，简并度为2j+1。从H,J=0和J作用于|njm，也可知其有2j+1简并度作为应用，考虑原子中电子的状态，其所受势为 。由于该势在转动下不变，故原子能级有2j+1重简并。若外加Z方向的电磁场，则电子所受的势不再在转动下不变，简并被（部分）消除。,4.2 分离对称性，宇称或空间反演,上面讨论的是连续性对称操作，即对称操作可由相继无穷小对称算符所得。量子力学中有用的对称操作并不限于此种形式，可有分立而非连续的对称操作，如宇称，晶格平移和时间反演。宇称或空间反演操作将r变为-r，而右手坐标系变为左手坐标系。量子力学中我们讨论的常是作用于态矢而不是坐标系的变换。,对称操作的两种
4、等价方式：主动与被动,一、宇称算符的基本性质,对|，用幺正算符表示宇称算符，| |。 要求位置算符的期望值变号，即则有位置本征态|x在宇称作用下变为本征值为-x的态：故由于用作用两次体系必恢复原状，故2=1=-1=+，是厄米的。对的本征态|,因|=2|，知=1,二、算符在宇称操作下的变换,由于先平移后反演等同于先反演后在相反方向平移：有或p,=0. 该关系与p=dx/dt的预期相同。对轨道角动量L=xxp，可预期L,=0.对一般角动量，考虑到R(宇称)=-I，宇称和转动操作对易，故量子力学中的相应幺正算符也对易： D(R)=D(R) ,J=0.,三、矢量和赝矢量,在转动下x和J以相同方式变换，
5、两者都是矢量，或一阶球张量，但x和p与反对易，而J与对易。与宇称反对易的矢量称为极性矢量，而与宇称对易的矢量叫做轴矢量或赝矢量。类似的有标量算符（与宇称算符对易）和赝标量算符（与宇称算符反对易） 。LS、xp是标量： + LS= LS赝标量的例子包括Sx、Lx等：,四、波函数在宇称操作下的变换,若|为宇称本征态，|= |,则= , 故有“+”对应偶宇称，“-”对应奇宇称。当然，只有与对易的算符之本征态才可能有确定的宇称。如动量算符不与对易，其本征态即平面波并非的本征态，而轨道角动量的本征态则可为的本征态：,五、能量本征态与宇称,若H,=0,而|n是H的本征值为En的非简并本征态，则|n是宇称本
6、征态。证：H|n=En|n,由非简并性得|n=ei|n.作为应用，考虑简谐振子本征态。 由于基态为高斯函数，|0=|0, 而|1=a+|0=-|1。 类似可推得|n=(-)n|n注意:非简并性对得出|n是的本征态是非常重要的。若有简并，如氢原子体系，Cp|2p+Cs|2s是H本征态，但并非的本征态。又如动量本征态也是自由粒子 H本征态，但|p 和 |-p简并, |p并非的本征态.当然，我们可以通过组合H的简并本征态而得到的本征态，如|=|p|-p便是和H的共同本征态(1+ )|n和(1- )|n总是宇称本征态,六、对称双势阱,H与对易，EA=H|A ES=H|S，EA-ES随势垒增高而减少。取
7、|R|S+|A，|L|S-|A,在作用下|R和|L对调. |R和|L不是或H的本征态，但有相同能量期望值. |R和|L是非定态,若t0=0处于|R，则t时状态为该态在|R和|L间震荡，震荡角频率为该震荡可看成量子力学的隧道贯穿，粒子在经典物理禁止的区域隧穿而震荡于两态间。如势垒无穷高，则EA=ES，从而=0，不再震荡。注：对无穷高势垒， |R和|L均是H的本征态，但非的本征态。即H所具有的宇称不一定反映在其本征态上，这是简并与对称破缺的一个简单例子。该现象在自然界相当普遍(铁磁、糖与氨基酸的手性等)。,七、宇称选择定则,若 即奇宇称的x将相反宇称的态相联系。该讨论可推广到其他算符。如算符为奇宇
8、称，则其只有在不同宇称的状态间有不为零的矩阵元。偶宇称算符则在同宇称态间矩阵元才可能不为零。 如果H,=0，能量非简并态必无偶极矩：=0当然，对简并态，则不一定为零。宇称不守恒：若H与对易，则宇称守恒，否则宇称不守恒。基本粒子间的弱作用H与宇称不对易，故过程宇称不守恒。李杨最早发现弱相互作用宇称不守恒而获诺奖。,4.3 分立对称性：晶格平移,晶格平移这一分立对称性在固体物理中有重要的应用。对一维周期势，+(a)V(x)(a)=V(x+a)=V(x), a为晶格常数。H,(a)=0, (a)和H可同时对角化.在H和(a)的共同本征矢中，由于幺正而非厄米，的期待值为复数且模为1。为求出(a)的本征
9、态，先考虑无限高势垒的情形。此时电子只能局域于某格点附近。设相应能量本征态为|n, H|n=En|n, n表示格点位置, 不同|n简并。虽然|n是H的本征态,且H与(a)对易，|n不是(a)的本征态。将不同|n线性叠加,可得到(a)的本征态:,有限高势垒时，|n并不完全局域于格点n，而是主要集中于格点n而随与n的距离而衰减。以|n为基构造|，|仍为本征值为e-i的本征态由于设 ，有取k=/a，则可见晶格平移算符的本征态|之波函数可写成平面波与具有晶格周期性的函数之乘： 且 ，k空间范围称为(第一)Brillouin Zone,Bloch定理,能量本征值,可见不同k=/a的态能量本征值不同.,能量本征值,紧束缚近似:=E0, 原来简并的能级被消简并，形成能量范围为 E0-2到E0+2的能带。非紧束缚：能带概念相似，形状复杂些多电子、多原子晶胞：不同能带原则上可交叉,作业：,4.2，4.3，4.6,
