1、高考数学数形结合思想分析与讲解 所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3）曲线与方程的对应关系；（4）以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如复数、三角函数等；（5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。以“形 ”变“数” 虽然形有形象、直观的优点，但在定量方面还必须借助代数的计算，特别是对于较复杂 的“形” ，不但要正确的把图形数字化，而且还要留心观察图形的特点，发掘题目中的隐含条件，充分利用图形的性质或几何意义，把“形”正确表示成“数”
2、的形式，进行分析计算。解题的基本思路： 明确题中所给条件和所求的目标，分析已给出的条件和所求目标的特点和性质，理解条件或目标在图形中的重要几何意义，用已学过的知识正确的将题中用到的图形的用代数式表达出来，再根据条件和结论的联系，利用相应的公式或定理等。“形”“数”互变 “ 形”“数”互变是指在有些数学问题中不仅仅是简单的以“数” 变 “形”或以“ 形”变“数”而是需要“ 形”“ 数”互相变换，不但要想到由“形” 的直观变为 “数”的严密还要由“数”的严密联系到“ 形”的直观。解决这类问题往往需要从已知和结论同时出发，认真分析找出内在的“形 ”“数”互变。一般方法是看“形”思“数”、见 “数”想
3、“ 形”。实质就是以“数 ”化“形”、以“ 形”变“数”的结合。 数形结合思想是一种可使复杂问题简单化、抽象问题具体化的常用的数学思想方法。要想提 高学生运用数形结合思想的能力，需要教师耐心细致的引导学生学会联系数形结合思想、理解数形结合思想、运用数形结合思想、掌握数形结合思想。基础自测：1.已知 ，则方程 的实数根的个数为（）10axaaxlogA.1 个 B.2 个 C.3 个 D.1 个或 2 个或 3 个2.设数集 ，数集 ，且 都是集合4mxMnxN1NM,的子集，如果把 叫做集合 的“长度” ，那么集合 的10xabb长度的最小值为A. B. C. D.321253.若奇函数 在
4、上的增函数，有 ，则 （ ）)(xf,00)3(f 0)(xfA. B. 或 xx或C. D.3x或 或4.当 满足条件 时，变量 的取值范围是（）y, 1y3yxuA. B. C. D.3,3,221,参考解析：1.解析 在同一坐标系下，画出函数 y=a|x|，y=|logax|的图象，则图象有两个交点. 2.解析 由题意知.集合 M 的“长度”为 ，集合 N43的“长度”为 ，而集合x|0 x1 的“长度”31为 1；设线段 AB=1， ，a，b 可在线段1,AB 上自由滑动，a，b 重叠部分的长度即为 MN.如图，显然当 a，b 各自靠近AB 两端时，重叠部分最短,其值为 1234.答案
5、 C3.解析 由 f(x)为奇函数且 f(-3)=0，得 f(3)=0.又 f(x)在（0,+) 上是增函数，据上条件做出满足题意的 y=f(x)草图，如图，如右图中找出 f(x)与 x 异号的部分，可以看出 xf(x) 0 的解集为x|0x3 或-3x0.答案 D4.解析 由题意在坐标系下画出|x|+|y|1 的图象如右图阴影部分，若 x=0 时，|y|1,此时 u=0;若 x0 时，变量 可看成点 A(0，3)与可行域内的点 B 连线斜率 k 的倒数,而 k(-,-3 3,+),典型例题讲解题型一 代数问题“几何化”以形助数【例 1】求函数 的值域。mA64231,.0,3uk综 上 所
6、述所 以 解 由题意令 ，所以myx6,42 )20,4(162yxyx其图象如右图所示，原式 A=x+y 其几何意义是直线在坐标轴上的截距，故可设 则 A=x+y=)2,0(sin2co4yx，结合图像可知，)(tasin62sico4 62,A【探究拓展】在解答此类问题时，主要是通过对“数”的形式进行观察、分析，把“数”转成图形，再借助其几何意义，通过“换元”使问题得以顺利解答.变式训练 1.已知实数 ，则实数 A 的取值范围是 .mA31题型二 几何问题“代数化”以数助形【例 2】设 M 是抛物线 y=x2 上的一点，若点 M 到直线 l:4x-3y-8=0 的距离 d 最小，求点 M的
7、坐标及距离 d 的最小值.解：方法一 设点 M ，由题意可知),(2m即当30518435148222 m时，满足条件，所以3m。),9(indM方法二 设过点 M 平行于直线 l 与抛物线相切的直线方程为 4x-3y+b=0,则0342byx整理得 3x2-4x-b=0,由题意可知 =42+12b=0, 即 ， ，所以 ，所34b321x94y以 ， 。)94,32(M3448932mind方法三 如图所示,若想使抛物线上的点到直线 l 的距离最小，只需抛物线在点 M 处的切线与直线 l 平行即可 ,因为直线 l 的斜率为 ,抛物线的导数为 y=2x,34所以 。,94,2,2x此 时则令
8、)94,32(M3448932mind【探究拓展】在解答此类问题时，利用待定系数法设 出抛物线上动点的坐标，利用二次函数求最值，是 解决距离问题的重要方法；而利用直线平行求距离 也是常规方法; 利用导数求切线的斜率也是十分简 单易行的好方法，这些方法是几种不同数学思想的 应用,注意体会.变式训练 2 设 F1、F2 是椭圆的两个焦点 ,若椭圆上存在点 P,使 ,则椭圆的120PF离心率 e 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 1,31,323,023,0题型三 “数” “形”互化，相得益彰【例 3】已知二次函数 的图象以原点为顶点且过点（ 1，1） ，)(1xfy反比例函数 的图象与直线
9、 y=x 的两个交点间距离为 8，)(2f.)(1xfx（1）求函数 f(x)的表达式；（2）证明：当 a3 时，关于 x 的方程 f(x)=f(a)有三个实数解.（1）解 由已知,设 ,由 ,得 a=1, .设21)(af1)(f 21)(xf，)0()2kxf它的图象与直线 y=x 的交点分别为 ，由),(),(kBkAxfxfkAB8)(,8)(,822故得(2)证明 方法一 由 f(x)=f(a),得 ，在同一坐标系内做aa8,2即出 的大致图像，其中 的图像是位于第一、第三象afxf)()(232和 )(2xf限的双曲线， 的图像是以 为顶点，开口向下的抛物线。因此3f 8,02的图
10、像在第三象限有一个交点，即 有一个负数解。又)(32xf与 )(afx，当 ， ，所以当48)2(,4)(32aff时308)2(aff时，在第一象限 的图像上存在一点 在 图像的上方。a)(3xf ,3x的图像在第一象限有两个交点，即 有两个正数解。因此，在)(32fx与)(f时，方程 有三个实数解。)(af方法二 由 ，得 ，即 的方程的一个解)(xf ax8220)8)(axx。方程 化为 ，由ax1 08a03，x23,3244得， 则aax,4342 ,33121xxa若，这与 矛盾， 。故原方程有三个340,3或 31实数解。【探究拓展】在解答此类问题时，注意将方程 f(x)=g(
11、x)转化成函数，然后在同一坐标系下画出函数 y=f(x)和 y=g(x)的图象，通过研究函数图象交点的个数，来确定方程解的个数或函数零点的个数.变式训练 3 定义在 R 上的奇函数 f(x)满足:当 x0 时, ,则在 Rxfx209log)(上 f(x)=0 的实数根的个数是 。经典考题赏析（2008四川）已知 x=3 是函数 的一个极值点.xaxf 10)ln()(2(1)求 a;(2)求函数 f(x）的单调区间；(3)若直线 y=b 与函数 y=f(x)的图象有 3 个交点，求 b 的取值范围.【解题示范】 （1）因为 210afxx所以 36104f因此 a（2 由（1）知，2ln,f
12、xxx2 431xf当 时，,x0fx当 时，3f所以 的单调增区间是fx1,3的单调减区间是（3）由（2）知， 在 内单调增加，在 内单调减少，在 上单调增fx,1,33,加，且当 或 时，130f所以 的极大值为 ，极小值为fx16ln292ln1f因为 2601f133fe所以在 的三个单调区间 直线 有 的图象各有一x,ybfx个交点，当且仅当 1fbf因此， 的取值范围为 。b32ln,6l29思想方法总结数形结合的本质是几何图形的性质反映了数量关系，数量关系解决了几何图形的性质.数形结合思想方法的应用可分为两种情况：借助于“数”的精确性来阐明“形”的属性；借助于“形”的直观来阐明“
13、数”之间的关系.数形结合的基本思路:根据“数”的结构特征，构造出与之相适应的几何图形，并利用图形的特征和规律，解决数的问题；或将图形信息部分或全部转换成代数信息，削弱或消除“形”的推理部分，把要解决的“形”的问题转化为数量关系的讨论.能力提升演练一、选择题1.不等式 的解集为 （ ）12xA.x|x2 或 x2C.x|-1c B.b c 或 bc 中至少有一个正确C.bc D.不能确定5.已知实数 ，则实数 A 的取 值范围是 )21(23mA（ ）A. B.2,47,23C. D.,3,46 设不等式组 表示的平面区域为 D，若指数函0531yx数 y=a的图像上存在区域 D 上的点，则 a
14、 的取值范围是（ ）A2,8 B3,6 C2,6 D3,8二、填空题7.已知函数 f(x)=(x-a)(x-b)+1，且 ab,若 m、n 是方 程 f(x)=0 的两根，且 mn,则实数a,b,m,n 的大小关 系是_.8.函数 y=f(x)=sin x+2|sin x| (x0，2) 的图象与直线 y=k 有且仅有两个不同的交点，则实数 k 的取值范围是_.9.动点 P（a,b)在不等式组 表示的平面区域内部及边界上运动，则 0yx的取值范围是_.13ab10.已知实数 ,则实数 M 的取值范围是2aM_.三、解答题11.若方程 在 x(0,3)内有唯)3lg()lg(2mx一解，求实数
15、m 的取值范围 .12.如图,A,B,C 为函数 的图象上的三点，他们的横坐标分别是 t,t+2,t+4 (t1).y31lo(1)设ABC 的面积为 S，求 S=f(t)的解析式；(2)判断函数 S=f(t)的单调性；(3)求函数 S=f(t)的最大值.参考答案：变式训练 1： 3，变式训练 2：A变式训练 3：3能力提升演练：1.B 2.B 3.D 4.C 5.C 6.C7.amnb 8. 9.(-,-1 3,+) 10. ,10,311.解 原方程即为 xmx3032即 设 其图象如图，mx1)2(03 myxy1),30(,)2(21由图象可知：当 1-m=0 时，有唯一解，即 m=1;当 11-m4 时，有唯一解，即-3m0.综上可知：m=1 或-3m0.12.解 (1)过点 A，B ，C 分别作 AD,BE,CF 垂直于 x 轴，垂足分别为 D，E，F.则 )1(41(log)2(4log2331 tttSSADFCEFD梯 形梯 形梯 形2）因为 在1,+ )上是增函数，且 v5, 在5，+) 上是减函数，且t42 ; 在 上是增函数，所以复合函数 S=f(t)=log3(1+ )5913logS59,1 t42在1,+)上是减函数 . (3)由(2) 知 t=1 时，S 有最大值，其最大值为 S=f(1)=.l2log33
