第二章 薛定谔方程.doc

1、第二章 薛定谔方程 本章介绍 ：本章将系统介绍波动力学。波函数统计解释和态叠加原理是量子力学的两个基本假设。薛定谔方程是波动力学的核心。在一定的边界条件和初始条件下求解薛定谔方程，可以给出许多能与实验直接比较的结果。 2.1 波函数的统计解释 2.1.1 波动 粒子两重性矛盾的分析 按按 照照 德德 布布 罗罗 意意 的的 观观 点点 ， 和和 每每 个个 粒粒 子子 相相 联联 系系 的的 都都 有有 一一个个 波波 。 怎怎 样样 理理 解解 粒粒 子子 性性 和和 波波 动动 性性 之之 间间 的的 联联 系系 ， 这这 是是 量量 子子 力力 学学 首首 先先 遇遇 到到 的的 根根

2、本本 问问 题题 。 2.1.1 波动 粒子两重性矛盾的分析 能能 否否 认认 为为 波波 是是 由由 粒粒 子子 组组 成成 ？ 粒粒 子子 的的 单单 缝缝 和和 双双 缝缝 实实 验验 表表 明明 ， 如如 减减 小小 入入 射射 粒粒 子子 强强 度度 ， 让让 粒粒 子子 近近 似似 的的 一一 个个 一一 个个 从从 粒粒 子子 源源 射射 出出 ，实实 验验 发发 现现 ， 虽虽 然然 开开 始始 时时 底底 片片 上上 的的 感感 光光 点点 是是 无无 规规 则则 的的 ， 但但 只只 要要 时时 间间 足足 够够 长长 ， 感感 光光 点点 足足 够够 多多 ， 底底片片

3、上上 仍仍 然然 会会 出出 现现 衍衍 射射 条条 纹纹 。 如如 果果 波波 是是 由由 粒粒 子子 做做 成成 ， 那那 末末 ， 波波 的的 干干 涉涉 、 衍衍 射射 必必 然然 依依 赖赖 于于 粒粒 子子 间间的的 相相 互互 作作 用用 。 这这 和和 上上 述述 实实 验验 结结 果果 相相 矛矛 盾盾 ， 实实 际际 上上 ， 单单 个个 粒粒 子子 也也 具具 有有 波波 动动 性性 的的 。 能能 否否 认认 为为 粒粒 子子 是是 由由 波波 组组 成成 ？ 比如说，电子是三维空间的物质波包，波包的大小即电子的大小，波包的速度即电子的速度，但物质波包是色散的，即使原来

4、的物质波包很小，但经过一段时间 后，也会扩散到很大的空间去，或者形象地说，随着时间的推移，粒子将越来越 “胖 ”，这与实验相矛盾 经经 典典 物物 理理对对 自自 然然 界界 所所 形形 成成 的的 基基 本本 物物 理理 图图 像像 中中 有有 两两 类类 物物 理理 体体 系系 ： 一一 类类 是是 实实 物物 粒粒 子子 另另 一一 类类 是是 相相 互互 作作 用用 场场 （ 波波 ） 经经 典典 粒粒 子子 是是 以以 同同 时时 确确 定定 的的 坐坐 标标 和和 动动 量量 来来 描描 述述 其其 运运 动动 状状 态态 ， 粒粒 子子的的 运运 动动 遵遵 从从 经经 典典 力

5、力 学学 规规 律律 ， 在在 运运 动动 过过 程程 中中 具具 有有 确确 定定 严严 格格 的的 轨轨 道道 。 粒粒 子子 的的 能能 量量 ， 动动 量量 在在 粒粒 子子 限限度度 的的 空空 间间 小小 区区 域域 集集 中中 ； 当当 其其 与与 其其 它它 物物 理理 体体 系系 作作 用用 时时 ， 只只 与与 粒粒 子子 所所 在在 处处 附附 近近 的的 粒粒 子子 相相 互互 作作 用用 ，并并 遵遵 从从 能能 量量 、 动动 量量 的的 单单 个个 交交 换换 传传 递递 过过 程程 ， 其其 经经 典典 物物 理理 过过 程程 是是 粒粒 子子 的的 碰碰 撞撞

6、 ； “定定 域域 ”是是 粒粒 子子 运运 动动的的 特特 征征 。 经经 典典 波波 动动 则则 是是 以以 场场 量量 （ 振振 幅幅 、 相相 位位 等等 ） 来来 描描 述述 其其 运运 动动 状状 态态 ， 遵遵 从从 经经 典典 波波 动动 方方 程程 ， 波波的的 能能 量量 和和 动动 量量 周周 期期 性性 分分 布布 于于 波波 所所 传传 播播 的的 空空 间间 而而 不不 是是 集集 中中 在在 空空 间间 一一 点点 ， 即即 波波 的的 能能 量量 、 动动 量量 是是 空空间间 广广 延延 的的 。 波波 与与 其其 他他 物物 质质 体体 系系 相相 互互 作

7、作 用用 时时 ， 可可 同同 时时 与与 波波 所所 在在 广广 延延 空空 间间 内内 的的 所所 有有 物物 理理 体体 系系 相相 互互作作 用用 ， 其其 能能 量量 可可 连连 续续 变变 化化 ， 波波 满满 足足 叠叠 加加 原原 理理 ， “非非 定定 域域 ”是是 波波 动动 性性 运运 动动 的的 特特 性性 。 在在 经经 典典 物物理理 中中 ， 粒粒 子子 和和 波波 各各 为为 一一 类类 宏宏 观观 体体 系系 的的 呈呈 现现 ， 反反 映映 着着 两两 类类 对对 象象 ， 两两 种种 物物 质质 形形 态态 ， 其其 运运 动动 特特 点点 是是不不 相相

8、 容容 的的 ， 即即 具具 有有 粒粒 子子 性性 运运 动动 的的 物物 质质 不不 会会 具具 有有 波波 动动 性性 ； 反反 之之 具具 有有 波波 动动 性性 运运 动动 的的 物物 质质 不不 会会 具具 有有粒粒 子子 性性 。 综综 上上 所所 述述 ， 微微 观观 粒粒 子子 既既 不不 是是 经经 典典 的的 粒粒 子子 又又 不不 是是 经经 典典 的的 波波 ， 或或 者者 说说 它它 既既 是是 量量 子子 概概 念念 的的粒粒 子子 又又 是是 量量 子子 概概 念念 的的 波波 。 其其 量量 子子 概概 念念 中中 的的 粒粒 子子 性性 表表 示示 他他 们

9、们 是是 具具 有有 一一 定定 的的 能能 量量 、 动动 量量 和和 质质 量量 等等粒粒 子子 的的 属属 性性 ， 但但 不不 具具 有有 确确 定定 的的 运运 动动 轨轨 道道 ， 运运 动动 规规 律律 不不 遵遵 从从 牛牛 顿顿 定定 律律 ； 其其 量量 子子 概概 念念 中中 的的 波波 动动 性性并并 不不 是是 指指 某某 个个 实实 在在 物物 理理 量量 在在 空空 间间 的的 波波 动动 ， 而而 是是 指指 用用 波波 函函 数数 的的 模模 的的 平平 方方 表表 示示 在在 空空 间间 某某 处处 粒粒 子子 被被发发 现现 的的 概概 率率 。 现现 在

10、在 被被 物物 理理 学学 家家 们们 普普 遍遍 接接 受受 的的 波波 函函 数数 解解 释释 是是 玻玻 恩恩 提提 出出 的的 统统 计计 解解 释释 。 他他 认认 为为 ，粒粒 子子 在在 衍衍 射射 或或 干干 涉涉 实实 验验 中中 所所 揭揭 示示 的的 波波 动动 性性 质质 ， 既既 可可 以以 看看 成成 是是 大大 量量 粒粒 子子 在在 同同 一一 实实 验验 中中 的的 统统 计计 结结果果 ， 也也 可可 以以 认认 为为 是是 单单 个个 粒粒 子子 在在 多多 次次 相相 同同 实实 验验 中中 显显 示示 的的 统统 计计 结结 果果 。 玻玻 恩恩 的的

11、 统统 计计 解解 释释 ： 波波 函函 数数 在在 某某 一一 时时 刻刻 在在 空空 间间 的的 强强 度度 ， 即即 其其 振振 幅幅 绝绝 对对 值值 的的 平平 方方 与与 在在 这这 一一 点点 找找到到 粒粒 子子 的的 几几 率率 成成 正正 比比 ， 和和 粒粒 子子 联联 系系 的的 波波 是是 概概 率率 波波 2.1.2 波函数统计解释 波波 函函 数数 的的 的的 特特 点点 ： 1.由于 2|),(| tr 给出在 t 时刻，粒子在 r 处出现的几率密度，因此原则上可由统计平均公式： rdrdrfrf *)(*)( 求出力学量 )(rf 的平均值 )(rf 。在这种

12、意义下，波函数 ),( tr 描述了微观粒子的运动状态，微观粒子的运动状态叫量子态。 波函数 ),( tr 应该是 r 的单值、有界、连续函数。3.不确定性： a.常数因子的不确定性：若 C 为常数，则 C ),( tr 和 ),( tr 描述同一个物理状态。 b.相角的不确定性：由于 ),( tr 与 ietr ),( 的模相同，因此 不定。 4.可归一化： 1|),(| 2 rdtr 5、容易将波函数统计解释推广到多粒子体系。 1|),(|21221 nn rdrdrdtrrr 6.描述粒子微观运动的波函数与可以用其他量（如动量）为自变量。 1|),(| 2 pdtpC ， rdetrtp

13、C rpi ),()2( 1),( 2/3 薛定谔 薛薛 定定 谔谔 (Schroding,1897-1961)奥奥 地地 利利 人人 ,因因 发发 现现 原原 子子 理理 论论 的的 有有 效效 的的 新新 形形 式式 一一 波波 动动 力力 学学与与 狄狄 拉拉 克克 (Dirac,1902-1984)因因 创创 立立 相相 对对 论论 性性 的的 波波 动动 方方 程程 一一 狄狄 拉拉 克克 方方 程程 ,共共 同同 分分 享享 了了 1933年年 度度 诺诺贝贝 尔尔 物物 理理 学学 奖奖 玻玻 恩恩 M.玻恩， (Max Born 1882 1970)德国理论物理学家，量子力学的

14、奠基人之一。主要成就是创立矩阵力学和对波函数 作出统计解释。 1954年因波函数的统计解释荣获诺贝尔物理学奖。 2.2 态态 叠叠 加加 原原 理理 态态 叠叠 加加 原原 理理 是是 量量 子子 力力 学学 中中 一一 个个 很很 重重 要要 的的 原原 理理 ， 这这 一一 节节 先先 作作 一一 些些 初初 步步 介介 绍绍 ， 随随 着着 学学 习习 量量 子子 力力 学学内内 容容 的的 不不 断断 深深 入入 ， 会会 不不 断断 加加 深深 对对 态态 叠叠 加加 原原 理理 的的 理理 解解 。 态态 叠叠 加加 原原 理理 ： 如如 果果 , 21 n 是是 体体 系系 可可

15、 能能 的的 状状 态态 ， 则则 它它 们们 的的 线线 性性 叠叠 加加 所所 得得 出出 的的 波波 函函 数数 ni iinn cccc 12211 也也 是是 体体 系系 的的 一一 个个 可可 能能 状状 态态 ； 当当 体体 系系 处处 于于 态态 时时 ， 出出 现现 i 的的 概概 率率 是是 ni iicc122| ， n 可可 以以 是是有有 限限 的的 ， 也也 可可 以以 是是 无无 限限 的的 。 几几 点点 讨讨 论论 ： I.测测 量量 力力 学学 量量 A 得得 出出 的的 是是 一一 些些 可可 能能 值值 naa ,1 但但 这这 些些 可可 能能 值值

16、的的 相相 对对 概概 率率 ， 或或 者者 说说 每每 个个 可可 能能态态 的的 相相 对对 权权 重重 ， 是是 完完 全全 确确 定定 的的 。 II.态态 叠叠 加加 原原 理理 中中 所所 谓谓 的的 叠叠 加加 ， 是是 波波 函函 数数 的的 叠叠 加加 ， 或或 者者 说说 是是 概概 率率 幅幅 的的 叠叠 加加 ， 而而 不不 是是 概概 率率 的的 叠叠加加 。 因因 而而 它它 必必 然然 会会 出出 现现 干干 涉涉 、 衍衍 射射 等等 现现 象象 。 III.在在 量量 子子 力力 学学 中中 ， 对对 于于 概概 率率 波波 而而 言言 ， 波波 的的 干干

17、涉涉 是是 描描 述述 粒粒 子子 运运 动动 状状 态态 的的 概概 率率 波波 本本 身身 的的 干干 涉涉 ，而而 不不 是是 粒粒 子子 之之 间间 的的 干干 涉涉 。 IV.一一 般般 来来 说说 ， 依依 赖赖 于于 时时 间间 ， 是是 t 的的 函函 数数 ， 因因 此此 态态 叠叠 加加 原原 理理 不不 仅仅 对对 某某 一一 时时 刻刻 成成 立立 ， 而而 且且 随随时时 间间 的的 变变 化化 ， 态态 叠叠 加加 原原 理理 仍仍 然然 成成 立立 。 2.3 薛薛 定定 谔谔 方方 程程 经经 典典 力力 学学 中中 ， 体体 系系 运运 动动 状状 态态 随随

18、 时时 间间 的的 变变 化化 遵遵 循循 牛牛 顿顿 力力 学学 。 和和 经经 典典 力力 学学 类类 似似 ， 我我 们们 也也 应应 建建 立立一一 个个 决决 定定 波波 函函 数数 随随 时时 间间 变变 化化 规规 律律 的的 方方 程程 式式 。 从从 物物 理理 上上 ， 这这 个个 方方 程程 式式 必必 须须 满满 足足 下下 述述 条条 件件 ： I.由由 于于 波波 函函 数数 满满 足足 态态 叠叠 加加 原原 理理 ， 而而 态态 叠叠 加加 原原 理理 对对 任任 何何 时时 间间 都都 成成 立立 ， 因因 此此 描描 述述 波波 函函 数数 随随 时时 间间

19、 变变化化 的的 方方 程程 应应 该该 是是 线线 性性 方方 程程 。 II.方方 程程 的的 系系 数数 仅仅 含含 有有 质质 量量 、 电电 荷荷 等等 内内 禀禀 量量 ， 不不 应应 含含 有有 和和 个个 别别 粒粒子子 运运 动动 状状 态态 特特 定定 性性 质质 有有 关关 的的 量量 ， 如如 动动 量量 。 III.因因 为为 波波 函函 数数 的的 自自 变变 量量 是是 坐坐 标标 和和 时时 间间 ， 因因 此此 它它 必必 然然 是是 关关 于于 坐坐 标标 和和 时时 间间 的的 偏偏 微微 分分 方方 程程 。 IV.由由 于于 经经 典典 力力 学学 是

20、是 量量 子子 力力 学学 的的 极极 限限 情情 况况 ， 因因 此此 这这 个个 方方 程程 必必 须须 满满 足足 对对 应应 原原 理理 ， 当当 取取 经经 典典 极极 限限时时 ， 它它 能能 过过 渡渡 到到 牛牛 顿顿 方方 程程 。 V.对对 于于 自自 由由 粒粒 子子 ， 这这 个个 方方 程程 的的 解解 应应 该该 是是 单单 色色 平平 面面 波波 的的 波波 函函 数数 。 方方 程程 的的 建建 立立 对对 平平 面面 波波 式式 /)()(),( Etrpiwtrki AeAetr 分分 别别 对对 坐坐 标标 和和 时时 间间 求求 微微 商商 后后 得得

21、： Eti ， 222 p 由由 上上 两两 式式 可可 以以 看看 出出 能能 量量 与与 动动 量量 作作 用用 在在 波波 函函 数数 上上 的的 结结 果果 与与 算算 符符 ti 及及 i 作作 用用 在在 波波 函函 数数 上上的的 结结 果果 相相 同同 ， 即即 存存 在在 对对 应应 关关 系系 ： ,tiE ip 1926 年年 ， 薛薛 定定 谔谔 推推 广广上上 述述 规规 则则 到到 一一 般般 情情 况况 ， 建建 立立 了了 描描 述述 波波 函函 数数 演演 化化 规规 律律 的的 薛薛 定定 谔谔 方方 程程 ， 得得 到到 薛薛 定定 谔谔 方方 程程 ：)

22、,(),(2(),(),( 22 trtrUmtrHtrti 薛薛 定定 谔谔 方方 程程 式式 量量 子子 力力 学学 的的 基基 本本 假假 设设 之之 一一 ， 但但 必必 须须 指指 出出 ， 我我 们们 并并 未未 建建 立立 薛薛 定定 谔谔 方方 程程 ， 因因 为为 只只 知知道道 微微 分分 方方 程程 的的 解解 是是 不不 足足 以以 建建 立立 微微 分分 方方 程程 的的 。 B.以以 上上 对对 应应 关关 系系 式式 （ 2.3.3） 式式 ， 只只 是是 在在 直直 角角 坐坐标标 系系 中中 的的 对对 应应 关关 系系 ， 在在 其其 他他 坐坐 标标 系系

23、 中中 不不 一一 定定 成成 立立 。 下面我们讨论一下定态情况： 若势能 ),( trU 不显含时间 t ，则薛定谔方程可用分离变量法求解，此时可令 ： )()(),( tfrtr 将上式代入薛定谔方程并用 )()(),( tfrtr 遍除等式两边，可得： i Efdtdf ， )()()()(2 22 rErrUrm 此即定态薛定谔方程。 方程（ 2.3.5）的解可直接给出为 Eticetf )( 代入（ 2.3.4）并将 c 吸收入 )(r 中去，并有归一化条件来确定，有 Etiertr )(),( ， 按照德布罗意关系， E 就是体系出于这个波函数所描写的状态时的能量 。由此可见，体

24、系出于上述波函数所描述的状态时，能量具有确定值，这种状态称为定态。波函数 称为定态波函数。 以 nE 表示体系的能量算符的第 n 个本征值， n 是与 nE 相应的波函数，则体系的第 n 个定态波函数是 tiEnnn ertr )(),( 含时的薛定谔方程的一般解，可以写成这些定态波函数的线 性叠加： tiE nnnnn ertrtr )(),(),( 2.4 概概 率率 流流 密密 度度 与与 概概 率率 流流 守守 恒恒 定定 律律 本本 节节 我我 们们 将将 进进 一一 步步 讨讨 论论 粒粒 子子 在在 一一 定定 区区 域域 内内 出出 现现 的的 几几 率率将将 怎怎 样样 随随

25、 时时 间间 变变 化化 。 设设 描描 述述 粒粒 子子 状状 态态 的的 波波 函函 数数 是是 ),( tr ， 在在 t 时时 刻刻 、 在在 r 点点 周周 围围 单单 位位 体体 积积 内内 粒粒 子子 出出 现现 的的 几几 率率 是是),(),(*),( trtrtrw 几几 率率 密密 度度 随随 时时 间间 的的 变变 化化 率率 为为 tttw * 由薛定谔 方程及其共轭： Uimit 12 2 ， *1*2* 2 Uimit 可得：*)*(2*)*(2 22 mimitw 令：*)*(2 miJ 称为概率流密度，由（ 2.4.1）式得： 0 Jtw （ 2.4.2）式就

26、是 概概 率率 流流 守守 恒恒 定定 律律 对上式两边同时对任意空间体积 V 积分 dSJwdVdtd s 这是 概概 率率 流流 守守 恒恒 定定 律律 的的 积积 分分 表表 示示 。 此式表明， 在空间 某体积 V 内发现粒子的概率在单位时间内的增量，必定等于在同一时间内通过 V 的边界 S 流入体积 V 的概率。 若以粒子的质量 m 乘 w 和 J ，则有： 2|),(| trmmww m 是在 t 时刻在点 r 的质量密度。 JmJm *)*(2 i 是质量流密度，满足： 0mm Jtw 即量子力学中的质量守恒定律。 B.同样，以粒子电荷 e 乘 w 和 J 后，得到 ewwe 是

27、电荷密度， JeJe 是电流密度， 方程 0ee Jtw 是量子力学中的电荷守恒定律。 2.5一一 维维 方方 势势 阱阱 本节将以一维定态为例，求解已知势场的定态薛定谔方程。了解怎样确定定态的能量 E，从而看出能量量子化是薛定谔方程的自然结果。 2.5.1一维无限 深方势阱 已知粒子所处的势场为： ax axxU | |0)( 粒子在势阱势能为零，在阱外势能为无穷大，在阱壁上受极大的斥力。称为 一维无限深方势阱 。 其定态薛定谔方程为： Edxdm 2222 ax| ， EUdxdm 2222 ax| 当 U 时，根据波函数的连续性和有限性条件得： 0 ax| ， 令：22mE则薛定谔方程可

28、简写为： 0222 dxd ax| ， 它的解是： xBxAx c o ss in)( ax| ， 利用边界条件 0| ax 及 0| ax ，得 0c oss in aBaA ， 0c o ss in aBaA 带入（ 2.5.1）得体系的能级：22228manEn ,3,2,1n 显然，一维无限深方势阱的能谱是分立谱，这个分离的能谱就是量子化了的能级。 由图可以看出，在不同能级上粒子出现的概率密度是不同的。在基态，粒子出现的概率在阱区中部为最大，而越靠近阱壁概率越小，阱壁上概率为零。在激发态，粒子在阱内出现的概率是起伏变化的，随着量子数 n 的增大，起伏变化越来频繁。 而在经典物理中，粒子

29、在阱内各处出现的概率是相等的。 由图可以推断，只有当量子数 n 很大时，粒子在阱内各处的概率才趋于均匀。 粒子的最低能量状态称为基态，就是 1n 的状态，基态能量为 08222 maE 此本征值能量称为 零点能 ，是束缚在无限深方势阱内粒子所具有的最低能量。 归一化以后的波函数为： )(2s in1 axanan ax| ， 0n ax| 。 我们把粒子只能束4E3E2E1E0x xa 0x xa1n2n3n4n()nx 2()nx缚在空间的有限区域，在无穷远处波函数为零的状态称为 束缚态。 2.5.2 一维有限 深方势阱 求解 势场 )(xU 为 2/|2/|0 0)( ax axUxU 的

30、薛定谔方程。 讨论 0UE 的情况：在 2/| ax 区，相应的薛定谔方程是 0222 kdxd ， 20 )(2 EUmk 在 x 时， 有界的解是： )(x xkAe 2/ax ， xkBex )( 2/ax 在 2/| ax 区，薛定谔方程是： 0222 kdxd ， 2/2 mEk 其解为 kxBkxA c o ss in 1.在 2/| ax 区，取 kxx cos)( ，解取有偶宇称的情况 利用 2/ax 处波函数对数微商的连续条件都可得 2 kkaktg 引入2,2 akka 可将（ 2.5.3）是改写为 tg 另外，又（ 2.5.1）和（ 2.5.2）有可得 22022222

31、2)(4 amUkka 联立（ 2.5.5） -（ 2.5.6）式，解出 , ，再由（ 2.5.4）可给出能谱 。 2.在 2/| ax 区，取 kxx sin)( ，解取有奇宇称的情况 同样，利用波函数对数微商在 2/ax 连续条件得： ctg 同样，联立（ 2.5.6） -（ 2.5.7）式，解出 , ，再由（ 2.5.4）可给出能谱。 （ 2.5.5） -（ 2.5.7）都是 超越方程 ，可用图解法求出能谱。 在 平面中分别就（ 2.5.5）与（ 2.5.6）式作相应的曲线，曲线的交点表示具有偶宇称是相应的能谱。如上图。 由以上图可见，对于偶宇称态，由于曲线 tg 经过原点，因此无论 2

32、0aU 多么小，两条曲线总有交点，这意味着至少有一个束缚态，且相应的宇称为偶。 1231 2 3 4/2 3/2tg 221224tg 同样，作（ 2.5.6）和（ 2.5.7）式相应曲线，他们的交点 表示波函数其宇称时相应的能谱。所得结果见上图。 由以上图可见，对于奇宇称态，当且仅当 42 222022 amU 时，即当 maU 2 2220 时，曲线才有交点，才出现奇宇称态解。 显然， 一维无限深势阱的结果可作为一维方势阱的特例得出 。 当 0U 时，可得22228mahnEn 这正是阱宽为 a 的一维无限深势阱的能谱公式。 2.6 一一 维维 方方 势势 垒垒 前面讨论了束缚态，这一节我

33、们讨论散射态 首先讨论一维方势垒问题。 势垒为 00)( UxU axxax,00 设能量为 E的粒子从势垒的左方向右方运动， 下面分别就0UE 与 0UE 来讨论。 1. 0UE 的情形 此时， )(x 满足的薛定谔方程为 1231 2 3 4 /2ctg axEmdxdaxUEmdxdxEmdxdrrmmll0200)(2,0022220222222为方便起见，令 )(2,20222221 UEmkmEk 方程可改为： axkdxdaxkdxdxkdxdrrmmll000,00212222222122其解分别为 xikxikl eAAex 11 )( xikxikm eBBex 122 )

34、( xikxikr eCCex 11 )( 利用在 ax 和 0x 处波函数连续性和波函数微商连续性条件1221221222211ik aaikaikaikaikaikeCkeBkBekCeeBBeBkBkAkAkBBAA 可得出 CA, 与 A 关系 Aekkekk akkkiA aikaik 22 221221 22221)()( s in)(2 Aekkekk ekkC aikaikaik221221221 21 )()( 4 由概率流密度公式可得入射波的概率流密度为 21 | AmkJ 透射波的概率流密度为：21 | CmkJT 反射波的概率流密度为： 21 | AmkJR 反射 系数

35、为：22212222221 2222221224s in)( s in)(| | kkakkk akkkAAJJR R 透射系数为：222122222212221224s in)( 4| | kkakkk kkACJJT T 由上两式可见，一般情况下，透射系数 1T ，反射系数 0R ，而这之和为 1。这表明，在量子力学中，即是粒子的能量大于势垒高度，仍有部分被反射回来。这正是微观粒子具有波动性的体现。 由第二式可见，一般情况下透射系数 1T ，当 nak 2 的特定 情况下，其透射系数 1T ，这种情形下的透射现象叫做共振透射。 2. 0UE 的情形 此时， 2k 为虚数。但若令 32 ik

36、k ，则 )(20223 EUmk 系数关系变为Aac h kkikash kkk ash kkkA 331322321 32321 2)( )( Aac h kkikash kkk ekikC aik 331322321 31 2)( 2 1 反 射 系 数 和 透 射 系 数 为 ：23212222321 3222321224)( )(| | kkakshkk akshkkAAJJR R 232132223212321224)( 4| | kkakshkk kkACJJT T 由此可见，反射系数 0R 和透射系数 1T ，且二者之和等于 1，这表明，在量子力学中，即使粒子的能量小于势垒的高

37、度，粒子仍有一部分透射过去。 这种粒子在其能量 E 小于势垒高度 0U 时，仍然会有部分粒子穿过势垒的现象叫 隧道效应，又叫隧 穿效应 隧道效应的应用： 1.扫描隧道显微镜（ STM）是电子隧道效应的重要应用之一。 扫描隧道显微镜可以显示表面原子台阶和原子排布的表面三维图案。 在表面物理、材料科学和生命科学等诸多领域中，扫描隧道显微镜都能提供十分有价值的信息。 2.隧道二极管是一种利用隧道效应的半导体器件，也是隧道效应的重要应用之一。 由于隧道效应而使其伏安特性曲线出现负阳区，因而隧道二级管具有高频、低噪声的特点。 隧道二级管是低频放大器、低频噪声振荡器和超高速开关电路中的重要器件。 2.7 一一 维维 谐谐 振振 子子 本节我们来讨论一维谐振子问题。 一维谐振子的哈密顿量为： 22222 212 xmwdxdmH 满足的定态定谔方程为： Exmwdxdm 22222 212 为方便求解，引入系数： wEmwx 2, 则方程可改写为： 0)( 222 dd这是一个变系数的二阶常微分方程，当 很大时， 2 ，上式中的 可略去。从而，得到上式的渐进方程 0222 dd其解 2/2 Ae 就是原方程的解，又由于波函数在 时的有限性条件，得2/2 Ae