1、第四章 向量组的线性相关性 1 设 v1(1 1 0)T v2(0 1 1)T v3(3 4 0)T 求 v1v2及3v12v2v3 解 v1v2(1 1 0)T(0 1 1)T (10 11 01)T (1 0 1)T 3v12v2v33(1 1 0)T 2(0 1 1)T (3 4 0)T (31203 31214 30210)T (0 1 2)T 2 设 3(a1a)2(a2a)5(a3a) 求 a 其中 a1(2 5 1 3)T a2(10 1 5 10)T a3(4 1 1 1)T 解 由 3(a1a)2(a2a)5(a3a)整理得 )523(61321 aaaa )1 ,1 ,1
2、,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(361 TTT (1 2 3 4)T 3 已知向量组 A a1(0 1 2 3)T a2(3 0 1 2)T a3(2 3 0 1)T B b1(2 1 1 2)T b2(0 2 1 1)T b3(4 4 1 3)T 证明 B 组能由 A 组线性表示 但 A 组不能由 B 组线性表示 证明 由 312123111012421301402230) ,( BA971820751610402230421301r 531400251552000751610421301r000000531400751610421301r 知 R(A)R(A
3、B)3 所以 B 组能由 A 组线性表示 由 000000110201110110220201312111421402 rrB 知 R(B)2 因为 R(B)R(B A) 所以 A 组不能由 B 组线性表示 4 已知向量组 A a1(0 1 1)T a2(1 1 0)T B b1(1 0 1)T b2(1 2 1)T b3(3 2 1)T 证明 A 组与 B 组等价 证明 由 00000 112201031111220 112201031101111 1122010311) ,( rrAB 知 R(B)R(B A)2 显然在 A 中有二阶非零子式 故 R(A)2 又R(A)R(B A)2 所以
4、 R(A)2 从而 R(A)R(B)R(A B) 因此 A组与 B 组等价 5 已知 R(a1 a2 a3)2 R(a2 a3 a4)3 证明 (1) a1能由 a2 a3线性表示 (2) a4不能由 a1 a2 a3线性表示 证明 (1)由 R(a2 a3 a4)3 知 a2 a3 a4线性无关 故 a2 a3也线性无关 又由 R(a1 a2 a3)2 知 a1 a2 a3线性相关 故 a1能由 a2 a3线性表示 (2)假如 a4能由 a1 a2 a3线性表示 则因为 a1能由 a2 a3线性表示 故 a4能由 a2 a3线性表示 从而 a2 a3 a4线性相关 矛盾 因 此 a4不能由
5、a1 a2 a3线性表示 6 判定下列向量组是线性相关还是线性无关 (1) (1 3 1)T (2 1 0)T (1 4 1)T (2) (2 3 0)T (1 4 0)T (0 0 2)T 解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为 A 因为 000 110121220 770121101 413121 rrA 所以 R(A)2 小于向量的个数 从而所给向量组线性相关 (2)以所给向量为列向量的矩 阵记为 B 因为 022200 043012| B 所以 R(B)3 等于向量的个数 从而所给向量组线性相无关 7 问 a 取什么值时下列向量组线性相关？ a1(a 1 1)T a2(1 a 1)T
6、a3(1 1 a)T 解 以所给向量为列向量的矩阵记为 A 由 )1)(1(11 1111| aaaaaaA 知 当 a1、 0、 1 时 R(A)3 此时向量组线性相关 8 设 a1 a2线性无关 a1b a2b线性相关 求向量 b用 a1 a2线性表示的表示式 解 因为 a1b a2b 线性相关 故存在不全为零的数 1 2使 1(a1b)2(a2b)0 由此得 221 1121 1221 2121 1 )1( aaaab 设211c 则 bca1(1c)a2 cR 9 设 a1 a2线性相关 b1 b2也线性相关 问 a1b1 a2b2是否一定线性相关？试举例说明之 解 不一定 例如 当
7、a1(1 2)T, a2(2 4)T, b1(1 1)T, b2(0 0)T时 有 a1b1(1 2)Tb1(0 1)T, a2b2(2 4)T(0 0)T(2 4)T 而 a1b1 a2b2的对应分量不成比例 是线性无关的 10 举例说明下列各命题是错误的 (1)若向量组 a1 a2 am是线性相关的 则 a1可由 a2 am线性表示 解 设 a1e1(1 0 0 0) a2a3 am0 则 a1 a2 am线性相关 但 a1不能由 a2 am线性表示 (2)若有不全为 0 的数 1 2 m使 1a1 mam1b1 mbm0 成立 则 a1 a2 am线性相关 , b1 b2 bm亦线性相关
8、 解 有不全为零的数 1 2 m使 1a1 mam 1b1 mbm 0 原式可化为 1(a1b1) m(ambm)0 取 a1e1b1 a2e2b2 amembm 其中 e1 e2 em为单位坐标向量 则上式成立 而 a1 a2 am和 b1 b2 bm均线性无关 (3)若只有当 1 2 m全为 0 时 等式 1a1 mam1b1 mbm0 才能成立 则 a1 a2 am线性无关 , b1 b2 bm亦线性无关 解 由于只有当 1 2 m全为 0 时 等式 由 1a1 mam1b1 mbm 0 成立 所以只有当 1 2 m全为 0 时 等式 1(a1b1)2(a2b2) m(ambm)0 成立
9、 因此 a1b1 a2b2 ambm线性无关 取 a1a2 am0 取 b1 bm为线性无关组 则它们满足以上条件 但 a1 a2 am线性相关 (4)若 a1 a2 am线性相关 , b1 b2 bm亦线性相关 则有不全为 0 的数 1 2 m使 1a1 mam0 1b1 mbm0 同时成立 解 a1(1 0)T a2(2 0)T b1(0 3)T b2(0 4)T 1a12a2 0122 1b12b2 01(3/4)2 120 与题设矛盾 11 设 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a4 b4a4a1 证明向量组b1 b2 b3 b4线性相关 证明 由已知条件得 a1b1a2 a2b2a
10、3 a3b3a4 a4b4a1 于是 a1 b1b2a3 b1b2b3a4 b1b2b3b4a1 从而 b1b2b3b40 这说明向量组 b1 b2 b3 b4线性相关 12 设 b1a1 b2a1a2 br a1a2 ar 且向量组 a1 a2 ar线性无关 证明向量组 b1 b2 br线性 无关 证明 已知的 r 个等式可以写成 100110111) , , ,() , , ,( 2121 rr aaabbb 上式记为 BAK 因为 |K|10 K 可逆 所以 R(B)R(A)r 从而向量组 b1 b2 br线性无关 13 求下列向量组的秩 , 并求一个最大无关组 (1)a1(1 2 1
11、4)T a2(9 100 10 4)T a3(2 4 2 8)T 解 由 0000000102910320019008202918442101410 02291) , ,( 321 rraaa 知 R(a1 a2 a3)2 因为向量 a1与 a2的分量不成比例 故 a1 a2线性无关 所以 a1 a2是一个最大无关组 (2)a1T(1 2 1 3) a2T(4 1 5 6) a3T(1 3 4 7) 解 由 00000059014110180590590141763451312141) , ,( 321 rraaa 知 R(a1T a2T a3T)R(a1 a2 a3)2 因为向量 a1T与
12、a2T的分量不成比例 故 a1T a2T线性无关 所以 a1T a2T是一个最大无关组 14 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组 (1)4820322513 454947513 253947543173125 解 因为 4820322513 454947513 25394754317312513 121433rr rrrr 531053103210431731253423rrrr 00003100321043173125 所以第 1、 2、 3 列构成一个最大无关组 . (2)14011313021512012211 解 因为 1401131302151201221113142
13、rrrr 222001512015120122112343rrrr 0000022200151201221 所以第 1、 2、 3 列构成一个最大无关组 15 设向量组 (a 3 1)T (2 b 3)T (1 2 1)T (2 3 1)T 的秩为 2 求 a b 解 设 a1(a 3 1)T a2(2 b 3)T a3(1 2 1)T a4(2 3 1)T 因为 5200 111031116110 111031113111 332221) , , ,( 2143 baababa rraaaa 而 R(a1 a2 a3 a4)2 所以 a2 b5 16 设 a1 a2 an是一组 n 维向量
14、已知 n 维单位坐标向量 e1 e2 en能由它们线性表示 证明 a1 a2 an线性无关 证法一 记 A(a1 a2 an) E(e1 e2 en) 由已知条件知 存在矩阵 K 使 EAK 两边取行列式 得 |E|A|K| 可见 |A|0 所以 R(A)n 从而 a1 a2 an线性无关 证法二 因为 e1 e2 en能由 a1 a2 an线性表示 所以 R(e1 e2 en)R(a1 a2 an) 而 R(e1 e2 en)n R(a1 a2 an)n 所以 R(a1 a2 an)n 从而 a1 a2 an线性无关 17 设 a1 a2 an是一组 n 维向量 , 证明它们线性无关的充分必
15、要条件是 任一 n 维向量都可由它们线性表示 证明 必要性 设 a 为任一 n 维向量 因为 a1 a2 an线性无关 而 a1 a2 an a 是 n1 个 n 维向量 是线性相关的 所以 a 能由 a1 a2 an线性表示 且表示式是唯一的 充分性 已知任一 n 维向量 都可由 a1 a2 an线性表示 故单位坐标向量组 e1 e2 en能由 a1 a2 an线性表示 于是有 nR(e1 e2 en)R(a1 a2 an)n 即 R(a1 a2 an)n 所以 a1 a2 an线性无关 18 设向量组 a1 a2 am线性相关 且 a10 证明存在某个向量 ak (2km) 使 ak能由 a1 a2 ak1线性表示 证明 因为 a1 a2 am线性相关 所以存在不全为零的
