1、 2016 学年第一学期期中考试高二数学试卷 本试题卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间为 120 分钟 .来源 :学科网 第 卷 (选择题 共 40 分) 注意事项: 用钢笔或圆珠笔将 题目做在答题卷上,做在试题卷上无效 . 一、选择题: 本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1 设 P 是椭圆 x225y216 1 上的点,若 F1, F2 是椭圆的两个焦点,则 |PF1| |PF2|等于 A 4 B 5 C 8 D 10 2 已知向量 a=(0,2,1) , b =(-1,1,-2) ,则
2、a 与 b 的夹角为 A 0 B 45 C 90 D 180 3 圆 4)2()2(: 221 yxC 和圆 16)5()2(: 222 yxC 的位置关系是 A.外离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 来源 :学科网 4 在 正 方体 1111 DCBAAB C D 中, E 、 F 分别为 AB 、 BC 中点,则异面直线 EF 1AB 所成角的余弦值为 A. 21 B. 23 C. 22 D. 33 5. 在平面直角坐标系中, “点 M 的坐标满足方程 04 yx ”是 “点 M 在曲线 xy 162 上 ”的 A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 6
3、 若直线 y x b 与曲线 234y x x 有公共点,则 b 的取值范围是 A 1 2,1 2 B 1 2,3 C 1 2 2,3 D 1,1 2 7.在平面直角坐标系中 ,方程 | 12xy xy 所表示 的曲线为 A三角形 B正方形 C非正方形的长方形 D非正方形的菱形 8.已知 1F , 2F 分别为双曲线 C : 12222 byax 的左、右焦点, 若存在过 1F 的直线分别交双曲 线 C 的左、右支于 A , B 两点,使得 122 FBFBAF ,则 双曲线 C 的离心率的取值范围是 A ,3 B 521 , C 523 , D 31, 第 卷 (非选择题 共 110 分)
4、注意事项:将卷的题目做在答题卷上,做在试题卷上无效 . 二、填空题: 本大题共 7 小题 ,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分 , 共 36 分 9 已知向量 a=(2,4,x) , b=(2,y,2) ,若 |a|=6 ,则 x= ;若 a/b , 则 x+y= . 10. 已 知 圆 0324: 22 yxyxM ,直线 l 过点 )0,3(P , 圆 M 的圆心坐标是 ;若直线 l 与圆 M 相切,则 切线 在 y 轴上的截距是 . 11 抛物线 2 4xy 的焦点 F 的坐标为 ,若 M 是抛物线上一点, | | 4MF , O 为坐标原F1 F2 A B x y O ( 第 8
5、题图 ) 点,则 MFO . 12. 过点 (1,3)且渐近线为 xy 21 的双曲线方程是 , 其实轴长 是 . 13. 已知圆 C: 轴负半轴与为圆点 xCAyx ,5)1( 22 的交点 ,过 A作圆 C 的弦 AB, 记线段 AB 的中点为 M,若 OA=OM,则直线 AB 的斜率是 . 14 已知斜率为 1的直线 l 与抛物线 2 2 ( 0)y px p交于位于 x 轴上方的不同两点 ,AB,记直线,OAOB 的斜率分别为 12,kk,则 12kk 的取值范围是 15. 在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中,点 P 是正方体棱上的一点 (不包括棱的 点
6、 ), 且 满足 1 2PB PD,则点 P 的个数为 三、解答题 :本大题共 5 小题共 74 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16.( 本题满分 14 分 ) 已知命题 :P “若 0,ac 则二次方程 2 0ax bx c 没有实根”,它的否命题为 Q .来源 :学科网 ( )写出命题 Q ; ( )判断命题 Q 的真假 , 并证明你的结论 . 17 ( 本题满分 15 分 ) 已知空间三点 A(0,2,3),B( 2,1,6),C(1, 1,5). ( ) 求以向量ACAB,为一组邻边 的平行四边形的面积 S; ( ) 若向量 a 分别与向量ACAB,垂直,且 | 3
7、|a ,求向量 a 的坐标 . 18.( 本题满分 15 分 )已知圆 C 与 x 轴相切,圆心 C 在 射 线 )0(03 xyx 上,直线 0yx 被圆 C 截 得的弦长为 2 7 . ( )求圆 C 标准方程 ; ( )若点 Q 在直线 01:1 yxl 上,经过点 Q 直线 2l 与圆 C 相切于 P 点,求 QP 的最小值 . 19. ( 本题满分 15 分 ) 如图 ,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的菱形, BAD=60, 侧棱 PA 底面 ABCD, E、 F 分别是 PA、 PC 的中点 . ( )证明: PA 平面 FBD; ( )若 ,1PA 在棱
8、 PC 上是否存在一点 M 使得 二面角 MBDE 的大小为 60. 若存在 , 求出 PM 的长 ,不存在请说明理由 . 20.( 本题满分 15 分 ) 已知椭圆 E: 2222 1( 0)yx abab , 不经过原点 O的直线 : ( 0)l y kx m k 与椭圆 E相交于不同的两点 A、 B,直线,OA AB OB的斜率依次构成等比数列 . ( )求,abk的关系式 ; ( )若离心率12e且17AB m m,当 m为何值时 ,椭圆的焦距取得最小值 ? A B C D P E F . . M ( 第 19 题图 ) 第一学期期中考试高二数学参考答案 来源 :Z#xx#k.Com
9、一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B A A C D C 二、填空题(多空题 6 分,单空题 4 分 ,共 36 分) 9. 6,4 10. (-2,1); -3 11. ( 0, 1), 2 3 12. 135354 22 xy , 35 13. 2 14. (4, ) 15. 6 三、解答题 :本大题共 5 小题共 74 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16.( 本题满分 14 分 ) 已 知命题 :P “若 0,ac 则二次方程 2 0ax bx c 没有实根”,它的否命题为 Q . ( )写出命题 Q ;
10、( )判断命题 Q 的真假 , 并证明你的结论 . 解 : ( ) 命题 P的否命题 为 :“若,0ac则二次方程 02 cbxax有实根” . .6 分 ( ) 命题 P的否命题 是真 命题 . 证明如下 : ,04,0,0 2 acbacac二次方程 02 cbxax有实根 . 该命题 是真 命题 . .14 分 17 ( 本题满分 15 分 ) 已知空间三点 A(0,2,3),B( 2,1,6),C(1, 1,5). ( )求以向量ACAB,为一组邻边的平行四边形的面积 S; ( )若向量 a 分别与向量ACAB,垂直,且 |a|= 3 ,求向量 a 的坐标 . 解: ( ). 2,3,
11、1,3,1,2 ACAB . . . .2 分 14|,14| ACAB ,21|c o s ACAB ACABB A C, 60BAC .6 分 37s in| B A CACABS . . .7 分 ( )设向量 ),( zyxa ,则由 3|,0,0 aACaABa 得 .10 分 3023032222 zyxzyxzyx 1,1,11,1,1 zyxzyx 或.14 分 ( , , )a或( 1, 1, 1)a . . . .15 分 18.( 本题满分 15 分 ) 已知圆 C 与 x 轴相切,圆心 C 在 射 线 )0(03 xyx 上,直线 0yx 被圆 C 截 得的弦长为 2
12、7 . ( )求圆 C 标准方程 ; ( )若点 Q 在直线 01:1 yxl 上,经过点 Q 直线 2l 与圆 C 相切于 P 点,求 QP 的最小值 . 解: ( ) 因为圆心 C 在 射 线 )0(03 xyx 上,设圆心坐标为 ),3,( aa 且0a , . . . . . . . . . .1 分 圆心 )3,( aa 到 直线 0yx 的距离为 aad 222 , 又圆 C 与 x 轴相切,所以半径ar 3 , 设弦 AB 的 中 点 为 M ,则 7AM , 在 AMCRt 中,得222 )3()7()2( aa , 解得 1a , 92r . .5 分 故所求的圆的方程是 9
13、)3()1( 22 yx . . .6 分 ( )在 QPCRt 中, 9)()()( 222 QCCPQCQP , 所以,当 QC 最小时, QP 有最小值; . . . .9 分 所以 1lQC 于 Q 点时,2 252 131m in QC所以 2149)2 25( 2m i n QP. . . . . .15 分 21.( 本题满分 15 分 ) 如图 ,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的菱形, BAD=60, 侧棱 PA 底面 ABCD, E、 F 分别是 PA、 PC 的中点 ( )证明: PA 平面 FBD; ( )若 ,1PA 在棱 PC 上是否存在一点
14、 M 使得二面角 MBDE 的大小为 060 . 若存在求出 PM 的长 ,不存在请说明理由 . 解 :( )连接 AC 交 BD 于点 O,连接 OF, O、 F 分别是 AC、 PC 的中点, FO PA . . . . . 5 分 PA 不在平面 FBD 内, PA 平面 FBD. .6 分 ( ) 解法一: (先猜后证 )点 M 为 PC 的中点 ,即为点 F .8 分 连接 EO, PA 平面 ABCD, PA AC,又 ABCD 是菱形, AC BD, BD 平面 PAC,则 BD EO, BD FO, EOF 就是二面角 EBDF 的平面角 .11 分 连接 EF,则 EF AC
15、, EF FO, 1322EF AC,在 Rt OFE 中, 3tan OFEFE OF , 故 3EOF 1PM .15 分 解法二: (向量方法探索 ) 以 O 为坐标原 点,如图所示,分别以射线 OA,OB,OF 为 x,y,z 轴的正半轴, 建立空间直角坐标系 O-xyz,由题意可知各点 坐标如下: O(0,0,0), A 3,0,02, B 10, ,02, D 10, ,02, )1,0,23(P )21,0,23(E 8 分 设平面 EBD 的法向量为 m= ),( 1,11 zyx ,可算得 DB =(0,1,0), )21,21,23(DE 由 00ADAE mm,即0212
16、12301111zyxy 可取 )3,0,1( m .9 分 设平面 BDM 的法向量为 ),( 222 zyxn ,点 ),( 000 zyxM 则由 PCPM 得 )1,0,323( M , ),1,21,32 3(),1,21,32 3( BMDM F C A B D P EE O y x z 00BMn DMn解得 )1 233,0,1( n .13 分 由已知可得20)1233(12|12331|60c o snmnm则有令 1 233t 30,032 tttt 或, 来源 :学科网 )(4321,301 233舍或或 点 M 为棱 PC 的中点 . 1PM .15 分 (也可在 E
17、OM 中求出 EMOMEO , 利用余弦定理求解 ) 22.( 本题满分 15 分 ) 已知椭圆 E: 2222 1( 0)yx abab , 不经过原点 O的直线: ( 0)l y kx m k 与椭圆 E相交于不同的两点 A、 B,直线,OA AB OB的斜率依次构成等比数列 . ( )求,abk的关系式 ; ( )若离心率12e且17AB m m当 m为何值时 ,椭圆的焦距取得最小值 ? 解:( )设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y,由题意得 2 1212O A O Byyk k k xx 1 分 由 22221yxaby kx m 可得2 2 2 2 2
18、2 2 2 2( ) 2 0b a k x a k m x a m a b 3 分 (联立 22221yxaby kx m 方程就给 1 分) 故2 2 2 2 2 2 2 2 2( 2 ) 4( ) ( ) 0a k m b a k a m a b ,即 2 2 2 2 0b m a k 4 分 1122 2 2 22 2 2 22 2 2 22()()a k mxxb a ka m a bxxb a k , 6 分 222 1 2 1 2 1 21 2 1 2()y y k x x k m x x mk x x x x . 7 分 即 212( ) 0k m x x m , 2 2 2 2
19、2 2 22 0()a k m mb a k 又直线 不经过原点, 所以 0m 所以 2 2 2b a k 即 b ak . 8 分 ( )若12e,则 2 , 3a c b c ,2 34,又0k,得32. 10 分 1122 2 2 22 2 2 2 222 2 2 22323()2 23()ma k mxxb a ka m a bx x m cb a k 12 分 2 2 2 2 21 2 1 2 1 27 7 2 3 21 ( ) 4 ( ) 4( 2 )2 2 3 3mAB k x x x x x x m c 2 27 4 18723 m cm m ,化简得 222 434 12 2 233mc m ( 0 恒成立 ) , 当4122m 时,焦距最小 15 分 (写出距离公式 2121 xxkAB 或 212212 41 xxxxkAB 给 1 分)