1、 版权所有转载必究1第十讲 等效电路和电路计算湖南郴州市湘南中学 陈礼生一、知识点击1稳恒电流 电动势大小和方向都不随时间变化的电流称为稳恒电流。稳恒电流必须是闭合的，正电荷在电场力的作用下从高电势处移到低电势处，而一非静电力把正电荷从低电势处搬运到高电势处，提供非静电力的装置称为电源电源内的非静电力克服电源内静电力作用，把流到负极的正电荷从负极移到正极若正电荷 q 受到非静电力 ，则电源内有非静电场，非静kf电场的强度 也类似电场强度的定义：kE kfE将非静电场把单位正电荷从负极通过电源内部移到正极时所做的功定义为电源的电动势，即 kl2恒定电流的基本规律和等效电源定理欧姆定律：在恒定的条
2、件下，通过一段导体的电流强度 I 与导体两端的电压 U 成正比，这就是一段电路的欧姆定律写成等式： ，或 U=IR。UIR含源电路的欧姆定律：如图 10 一 1 所示含有电源的电路称为含源电路含源电路的欧姆定律就是找出电路中两点间电压与电流的关系常用“数电压”的方法即从一点出发，沿一方向，把电势的升降累加起来得到另一点的电势，从而得到两点间的电压设电流从 a 流向 b，则有12bUIrRIrUa、b 两点间电压为1212bII写成一般形式abiiU（ IR）闭合回路的欧姆定律：对于图 10 一 1 可把 a、b 两点连起来形成一闭合回路，则 版权所有转载必究2，即 ， ，写成一般形式：0abU
3、12120IrRI12IrRiIR等效电源定理：只有电动势而无内阻的理想电源称为稳压源，通常的实际电源相当于恒压源和一内阻的串联若有一理想电源，不管外电路电阻如何变化，总是提供一个不变的电流 I0，则这种理想电源称为恒流源通常的实际电源，相当于恒流源与一定内阻的并联实际电源既可看成电压源，又可看成电流源对于同样的外电路，产生的电压和流经的电流相同如图 10 一 2：rIR0r由于其等效性， ，0I0r等效电压源定理（又称戴维宁定理）表述为：两端有源网络可以等效于一个电压源，其电动势等于网络的开路端电压，其内阻等于从网络两端看除源（将电动势短路，内阻仍保留在网络中）网络的电阻。利用电压源与电流源
4、的等效条件，可以得到等效电流源定理（又称诺尔顿定理） ，内容为：两端有源网络可等效于一个电流源，电流源的电流 I0 等于网络两端短路时流经两端点的电流，内阻等于从网络看除源网络的电阻3基尔霍夫定律一个电路若不能通过电阻的串并联求解，则这样的电路称为复杂电路，复杂电路往往通过基尔霍夫定律来求解基尔霍夫第一方程组（节点定律组）复杂电路中，三条或三条以上支路的汇合点称为节点基尔霍夫第一方程内容为：若规定流出节点的电流强度为正，流人节点的电流强度为负，则汇于节点的各支路电流强度的代数和为零即 0iI基尔霍夫第二方程组（回路定律组）复杂电路中，我们把几条支路构成的闭合通路称为回路基尔霍夫第二方程内容为：
5、对任一闭合回路电势增量的代数和等于零即，0iiIR4无源二端网络的等效电阻 版权所有转载必究3无源二端网络的等效电阻：任何网络不管它是简单的或是复杂的，只要它有两个引出端，且内部又无电源，则称为无源两端网络。若网络两端之间电压为 U，从一端流进，另一端流出的电流为 I，则 U 与 I 的比值 称之二端无源网络的等效电阻为求这等效RI电阻有一些专门的方法，其中最主要的方法有对称性化简法、电流分布法和 Y-变换三种。无限网络：由无限多个电阻构成的两端网络称为二端无限网络大致分为线型、面型和正多边形嵌套几种二、方法演练类型一、用电路的等效变换求电路的等效电阻的问题。 例 1两个均匀金属圆圈和四根均匀
6、短直金属连成如图 103 所示网络， 大圆弧、 小14圆弧和短直金属棒的电阻均为 r，求 A、C 两点间的等效电阻。分析和解：四分之一圆弧和短金属棒虽长短不一，但电阻相等，这样可把里面的小圆拉出来，认为各边相等，变平面图形为一正立方体，再考虑到立方体相对对角面 ACCA对称，对称点的电势相等，又可沿 BD,BD把正方体压成一矩形，一拉一压把一无从下手的问题变成了一眼就能看出答案的简单问题了因大小圆的四分之一圆弧与短直金属的电阻均为 r，所以图 104 所示电路与图 104中正方体 ABCDABCD网络等效A、C 两点在正方形 ABCD 的对角线上，设电流从 A流入，从 C 点流出，那网络相对对
7、角面 ACC A对称，B 、D 两点等电势，B 、D 两点等电势，沿 BD、B D将正方体压成图 105 所示平面网络又考虑到对称性，B、D 点与 BD等电势，故其间电阻可拿掉，网络等效于图 106 所示电路，这是一简单电路，很容易得到 34ACR 版权所有转载必究4类型二、用电流分布法和对称法及基尔霍夫定律求解等效电阻的问题。 例 2电阻丝网络如图 107 所示，每一小段的电阻均为 R，试求 A,B 之间的等效电阻RAB。分析和解：电流从 A 进 B 出本不对称，但通过叠加法，把 A 进 B 出看为 A 进 O 出和O 进 B 出的叠加，把不对称的变为了对称，从而就可以顺利求解，在图 10-
8、14 中，有电流 I 从 A 点流人，B 点流出，这电流不具有对称性，但把它看作是图 1015 中电流 I 从 A 流入，O 点流出与图 1016 中电流 I 从 O 点流入，B 点流出的叠加，后两种电流流动都具有对称性，从而把原来不具有对称性的问题转化成具有对称性的间题，从而便于求解。如图 108 所示，设从 A 点流入的电流 I，由于对称性，从 A 到 C 的电流 I1 应为12I由于 B、E 因对称而等势，BDE 中应无电流，I 1 在 C 点分流，由于 CO 的电阻与 CBO的电阻之比为 1:3，故248II图 109 中，考虑到对称性，各支路电流如图表示，运用基尔霍夫定律，可得132
9、I45I51432IRI 版权所有转载必究551320IRI解此方程组可得 ，1245I将两种情况叠加得113III225184那 AB 两点之间的电压为 129ABUIRI4类型三、用网络的对称性作等效变换求正多边形互相嵌套的无穷网络的等效电阻的问题。 例 3图 1010 (a)所示的无限旋转内接正方形金属丝网络是由一种粗细一致、材料均匀的金属丝构成，其中每一个内接正方形的顶点都在外侧正方形四边中点上。已知最外侧正方形边长为 ，单位长金属丝的电阻为 r0，求网络中：l（1）A，C 两端间等效电阻 RAC。 （2）E，G 两端间等效电阻 REC.分析和解：这是一个典型的求正多边形互相嵌套的无穷
10、网络的等效电阻的题目，利用对称性对折之后，找出内含的一个似形并令其阻值为 RIJ，并找到 RIJ与所求电阻 RAC之间的关系，最后列出 RAC 的方程，其中含有 RIJ，但考虑二者之间的关系即可求解。12IJACR（1）首先利用网络的对称性作等效变换。令 A，C 两端加一电压，必然使得网络在 BD 连线上各节点电势相等，可以把节点拆开，如图 1010（b)所示。又由于网络关于 AC 连线两侧对称，所以可以沿 AC 连线对折叠合，让各对称节点相互重合，得等效网络，如图 版权所有转载必究61010（c）所示。容易发现，在图（c）中，A ，C 间网络与 I，J 间网络在形式上相似而且在线度上后者是前
11、者的 倍，因此 1212IJAR再考虑到图（c）中，AC 连线两侧各对称节点重合，因此，图（c）与图（a）相比，若金属丝长度相等，阻值应为图（a）中的一半，或图（c）中每段金属丝的电阻等于两条同长金属丝的并联电阻。设图（c）中 AH 的阻值为 R1，HG 的阻值为 R2，易得1024Rlr0012llr然后利用简单串并联得到 A， C 两端间等效电阻为114()22ACRR其中 2222()()()114IJ ACACI RRR 将式代人式，得 21 1212122()44()()AC ACACACRRR化简整理得 RAC 的一元二次方程 221211122()()8()0ACAC代入 ，简化
12、为2 146RR得出合理解214()()()ACR 版权所有转载必究7142()6R1(3)02lr(2)当 E， G 两端间加上电压后，根据图（a ）网络的对称性，在 HF 连线上各节点的电势相等。所以可把 H，F 两节点拆开，改画成网络，如图 1010（d）所示。容易看出，图（d）A，C 间网络与 E，G 间网络在形式上相似，而且在线度上后者是前者的 倍，因此 ，这里 表示正方形 EFGH 及其内部的网络关于22EGACRRE，G 两端点的等效电阻。于是原网络关于 E，G 两端点的等效电阻 RBG 为 11000012()2(3)ElrRlrllr2IJACR20 031(3)4l llr
13、类型四、用数电压法求解无穷网络与含源含容电路的问题。 例 4如图 1011 所示的电路中，各电源的内阻均为零，其中 B、C 两点与其右方由 1.0的电阻和 2. 0 的电阻构成的无穷组合电路相接，求图中 10F 的电容器与 E 点相接的极板上的电荷量。分析和解：这是一个电阻、电容混联的题目，电路稳定后，把所有电容部分拆掉，而右边是一线性无限电阻网络利用常用的方法可求出其等效电阻这样得到图 10 一 12 所示电 版权所有转载必究8路，从而计算出回路电流，再利用数电压法计算相应点电势差，再进一步计算出电容器上的电量，图 10-14 中 D 点连接三个电容器的三个极板形成一个孤岛，三个板上电荷的代
14、数和一定为零设 B、C 右方无穷组合电路的等效电阻为 RBC，则题图中通有电流的电路可以简化为图1012 中的电路。B、C 右方的电路又可简化为图 1013 的电路，其中 R BC是虚线右方电路的等效电阻。由于 B、C 右方的电路与 B,C 右方的电路结构相同，而且都是无穷组合电路，故有 BR由电阻串、并联公式可得 21BCCR由、两式得 20BR解得RBC=2.0 图 1012 所示回路中的电流为 2140.1038IA电流沿顺时针方向设电路中三个电容器的电容分别为 C1，C 2 和 C3，各电容器极板上的电荷量分别为Q1、Q 2、Q 3，极性如图 1014 所示。由于电荷守恒，在虚线框内，
15、三个极板上电荷的代数和应为零，即 1320A、E 两点间的电势差 31AEQUC又有 (103.)7.0AEVB、E 两点间的电势差 32BE 版权所有转载必究9又有 (240.1)26BEUV根据、式并代人 C1、C 2 和 U 之值后可得431.Q即电容器 C3 与 E 点相接的极板带负电，电荷量为 1.310-4C。类型五、用叠加法处理含源含容电路的问题。 例 5如图 1015 所示，12 根电阻均为 R 的电阻丝连接成正六面体框架，在 2 根电阻丝中连有电动势分别为 E1与 E2 的电源，另外 5 根电阻丝中连有 5 个相同的电容器 C。设电源正、负极之间的距离可忽略，内阻也可忽略，且
16、 E12I 0 R，E 2I 0 R试求：（1）图中棱 AB 中的电流 IAB；（2）图中棱 AB中电容器极板上的电量 Q AB。分析和解：本题是一个典型的含源含容电路问题，而且电路中有两个电源，这两个电源既不是简单的串联，也不是简单的并联，所以不能简单地用闭合电路的欧姆定律求解，而应分别看作只有一个电源的电路后再用叠加法求电路中的流通量（电流）的实际效果来解题，就可求出要求的相关量。(1)为计算 IAB，可将图中含电容的部分拆去，得出只含电阻和电源的电路，图 1016所示。在图 1016 所示的电路中，运用电流迭加原理。只有 E1 存在时（即取走 E2，因其无内阻，可短接）流过 AB 的电流
17、为()5ABIR同理，只有 E2 存在时，流过 AB 的电流为 2()5ABEIR故 01203(1)5ABABII IR(2)将图 1016 电路中的 R 替换为 ，I 替换为 Q，得出C的电路如图 1017 所示，这两个电路完全可以类比，因此相应的 X1 Y1 电压、X 2 Y2 电压以及 AB（图 1017 对应为 AB）电压均应相等，即 121()5ABABABUIEU 版权所有转载必究10得 125()ABEQC注意，图 1015 中与电容有关的电路如图 1018 所示，与图 1017 电路有区别，少了两个电容，但因图 1018 中的 、 与图 1017 没有区别，故 U AB也应没有区1xyU2xy别，于是仍有 12003()55()ABECQIRIC类型六、用对称性和闭合电路欧姆定律求解无穷电阻网络问题。 例 9在空间有 n 个点，分别标记为点 1，2. n任意两点间均用一电阻为 R 的导线相连接，再把点 1 和点 n 接到电动势为 ，内阻为 r 的电源上，求流过连接点 1 和点 n 的电阻 R 上的电流强度值。分析和解：根据线路的对称性，将除 1、n 这两点以外的任一点上的连线和另一点上的连线对调，整个线路完全一样，线路结构没有改变，各线上电流、各点的电势均无改变，可见，由点 2 到点 n1 这 n2 个点是完全等价的，其上的电势必然完全相同，从而这些点之间
