1、抽象函数1. 已知函数 y = f (x)(x R，x0)对任意的非零实数 1x， 2，恒有 f( 1x2)=f(1x)+f( 2),试判断 f(x)的奇偶性。2 已知定义在-2，2上的偶函数，f (x)在区间0，2上单调递减，若 f (1-m)0.(1)求 ;(2)求和 (1)(3).()fffn*)N;(3)判断函数 x的单调性 ,并证明.14.函数 ()f的定义域为 R,并满足以下条件:对任意 xR,有 ()fx0;对任意,xyR,有 ()yxf; 1()3f.(1)求 (0)f的值 ;(2)求证: x在 R 上是单调减函数 ;(3)若 abc且 2ac,求证: ()2()fcfb.15
2、.已知函数 ()fx的定义域为 R,对任意实数 ,mn都有 )()nfmn,且当0x时 , 1.(1)证明: (),0fx且 时 f();(2)证明: 在 R 上单调递减 ;(3)设 A= 22(,)()1xyffyf,B=(,)2)1,xyfaaR,若 AB=,试确定 a的取值范围.16.已知函数 ()f是定义在 R 上的增函数,设 F()()fx.(1)用函数单调性的定义证明: ()Fx是 R 上的增函数;(2)证明:函数 y= ()x的图象关于点( ,02a成中心对称图形.17.已知函数 f是定义域为 R 的奇函数,且它的图象关于直线 1x对称.(1)求 (0)f的值;(2)证明: 函数
3、 ()fx是周期函数;(3)若 ()1,f求当 xR时,函数 ()fx的解析式,并画出满足条件的函数x至少一个周期的图象.18函数 ()f对于 x0 有意义，且满足条件(2)1,(),fxyfyx是减函数。（1）证明： ()0f；（2）若 32x成立，求 x 的取值范围。19设函数 ()f在 ,)上满足 (2)()ffx， (7)()ffx，且在闭区间0，7上，只有 130f（1）试判断函数 ()yx的奇偶性；（2）试求方程 f=0 在闭区间 -2005，2005 上的根的个数，并证明你的结论20. 已知函数 f（ x）对任意实数 x， y，均有 f（ x y） f（ x） f（ y），且当
4、x0 时， f（ x）0， f（1）2，求 f（ x）在区间2，1上的值域。21. 已知函数 f（ x）对任意 ，满足条件 f（ x） f（ y）2 + f（ x y），且当 x0 时， f（ x）2， f（3）5，求不等式的解。22. 设函数 f（ x）的定义域是（，），满足条件：存在 ，使得，对任何 x 和 y， 成立。求：（1） f（0）； （2）对任意值 x，判断 f（ x）值的正负。23. 是否存在函数 f（ x），使下列三个条件： f（ x）0， x N； f（2）4。同时成立？若存在，求出f（ x）的解析式，如不存在，说明理由。24. 设函数 y f（ x）的反函数是 y g（
5、x）。如果 f（ ab） f（ a） f（ b），那么 g（ a b） g（ a） g（ b）是否正确，试说明理由。25. 己知函数 f（ x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：当 是定义域中的数时，有 ； f（ a）1（ a0， a 是定义域中的一个数）；当 0 x2 a 时， f（ x）0。答案：1. 解：令 1x= -1， 2=x，得 f (-x)= f (-1)+ f (x) 为了求 f (-1)的值，令1=1， 2=-1，则 f(-1)=f(1)+f(-1),即 f(1)=0,再令 1= 2=-1 得 f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1) f (-1)=0 代入式得f
6、(-x)=f(x),可得 f(x)是一个偶函数。2. 分析：根据函数的定义域，- m， m-2,2，但是 1- m 和 m 分别在-2，0和0， 2的哪个区间内呢？如果就此讨论，将十分复杂，如果注意到偶函数，则 f (x)有性质 f（ -x)= f (x)=f ( |x| )，就可避免一场大规模讨论。解：f (x)是偶函数， f (1-m)0, 令 0,2xy得,2(0)(0)1fff(2)任取任取 1212,xRx且 ,则令 12,3xp,故 12p函数 ()f的定义域为 R,并满足以下条件:对任意 xR,有 ()fx0;对任意 ,xy,有 ()yxf; ()f 121212() ()33p
7、pffpf0 x函数 ()f是 R 上的单调减函数 .(3) 由（1） （2）知， ()01fb， ()1fb (),a cfaffcf ()()()2()acacbbbfcfff，而 2acb 22ab ()()fcf15. (1)证明: 令 0,1mn,则 ()(01)ff当 x时, ()fx,故 , ,当 0x时, ()1fx当 0时, ,则 )()()()fxfffff(2)证明: 任取 1212,xR且 ,则2 211()()()()fxffxffxffx11 20x,00 ()Fx是 R 上的增函数;(2)设 0,My为函数 = ()Fx的图象上任一点, 则点 0(,)Mxy关于点( ,0)2a的对称点为 N(mn),则00,22xa,故 00,any把 0代入 F()()xfx得, 0 00()(faxfa=- y函数 y= )的图象关于点 ( ,)2a成中心对称图形.17.(1)解: (fx为 R 上的奇函数, 对任意 ,xR都有 ()(fxf,令0,x则 )0
