1、 极坐标与参数方程高考题1.在直角坐标系 中，直线 ，圆 ，以坐标原点为极点, x 轴正半轴为xOy1:2Cx222:11xy极轴建立极坐标系.（I）求 的极坐标方程.12,C（II）若直线 的极坐标方程为 ，设 的交点为 ，求 的面积.3R423,C,MN2C解：（）因为 ， 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为cos,inxy1cos.2cs4in0（）将 代入 ，得 ，解得=2cs4i02340= ， = ，|MN|= = ，因为 的半径为 1，则 的面积 = .122122C2CMNAo12sin45122.已知曲线 ，直线 （ 为参数）94:2yxCtyxl2:（1）写出曲线 的参数方
2、程，直线 的普通方程；l（2）过曲线 上任意一点 作与 夹角为 30的直线，交 于点 ，求 的最大值与最小值.PlAP解：(1)曲线 C 的参数方程为( 为参数).直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0.(2)曲线 C 上任意一点 P(2cos ,3sin )到 l 的距离为 d= |4cos +3sin -6|,15则|PA|=|5sin(+)-6|,其中 为锐角,且 tan = .43当 sin(+)=-1 时,|PA|取得最大值,最大值为 .当 sin(+)=1 时,|PA|取得最小值,最小值为 .15 53.在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,
3、半圆 C 的极坐标方程为 =2cos ,02，(1)求 C 的参数方程;(2)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l:y= x+2 垂直,根据(1)中你得到的参数方程,3确定 D 的坐标.解：(1)C 的普通方程为(x-1) 2+y2=1(0y1).可得 C 的参数方程为: (0).x1cosiny(2)设 D(1+cos,sin).由(1)知 C 是以 G(1,0)为圆心,1 为半径的上半圆.因为 C 在点 D 处的切线与 l 垂直,所以直线 GD 与 l 的斜率相同,tan= ,= .故 D 的直角坐标为3.32（ ， ）4.将圆 x2+y2=1 上每一点的横坐标保持不变,纵
4、坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C.(1)写出 C 的参数方程;(2)设直线 l:2x+y-2=0 与 C 的交点为 P1,P2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段 P1P2的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程.解：(1)设(x 1,y1)为圆上的点,经变换为 C 上点(x,y),由 =1 得 x2+ =1,即曲线 C 的方程为 4x2+ =4.故2y yC 的参数方程为 ( 为参数).sin2coxy(2)由解得或不妨设 P1(1,0),P2(0,2),则线段 P1P2的中点坐标为 ,所求直线斜率为 k= ,于是所求直线12（ ， ） 12方程为 y-1= （x-
5、）,化为极坐标方程,并整理得 2cos -4sin =-3,即 = .2 sin4co3-5.在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系曲线 C 的极坐标方程为 cos 1，M、N 分别为 C 与 x 轴，y 轴的交点( 3)(1)写出 C 的直角坐标方程，并求 M、N 的极坐标；(2)设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程解：(1)由 cos 1 得 1.从而 C 的直角坐标方程为 x y1，即( 3) (12cos 32sin ) 12 32x y2，当 0 时， 2，所以 M(2,0)当 时， ，所以 N .3 2 233 (233， 2)(2)M
6、 点的直角坐标为(2,0) N 点的直角坐标为(0， )所以 P 点的直角坐标为 ，233 (1， 33)则 P 点的极坐标为 ，所以直线 OP 的极坐标方程为 ， (，)(233， 6) 66.在极坐标系下，已知圆 O： cos sin 和直线 l： sin( ) ， 4 22(1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程；(2)当 (0， )时，求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标解：(1)圆 O： cos sin ，即 2 cos sin ，圆 O 的直角坐标方程为 x2 y2 x y，即x2 y2 x y0.直线 l： sin( ) ，即 sin cos 1，则直线 l 的直角坐标方程
7、为 4 22y x1，即 x y10.(2)由Error! 得Error! 故直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为(1， ) 27.在平面直角坐标系 xOy 中，求过椭圆Error!( 为参数)的右焦点，且与直线Error!( t 为参数)平行的直线的普通方程解：由题设知，椭圆的长半轴长 a5，短半轴长 b3，从而 c 4，所以右焦点为(4,0)将已知直a2 b2线的参数方程化为普通方程： x2 y20.故所求直线的斜率为 ，因此其方程为 y (x4)，即 x2 y40.12 128.在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)在极坐标系(与直角坐标系 xO
8、y 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴)中，圆 C 的方程为 2 sin .5(1)求圆 C 的直角坐标方程；(2)设圆 C 与直线 l 交于点 A， B.若点 P 的坐标为(3， )，求| PA| PB|.5解：(1) 2 sin ，得 x2 y22 y0，即 x2( y )25.(4 分)5 5 5(2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得(3 t)2( t)25，即 t23 t40.由于 (3 )22 22 2 224420，故可设 t1， t2是上述方程的两实根，所以Error!又直线 l 过点 P(3， )，故由上式及 t 的几何意义得| PA| PB| t1| t2| t1 t23 .5 29.在直角坐标版权法 吕，直线 的参数方程为 为参数） ，以原点为极点， 轴的正半轴为极xOyl32(xtyx轴建立极坐标系， 的极坐标方程为 .CA23sin(I)写出 的直角坐标方程；(II) 为直线 上一动点，当 到圆心 的距离最小时，求点 的坐标.PlPCP解：(I)由 ，得 ，从而有 ，所以23sin2si23xy223xy(II)设 ，又 ，则 ，1,Pt(0,3)C2131ttt故当 时， 取得最小值，此时 点的坐标为 .0tP(,0)
