1、第 1 页（共 26 页）2016 年江苏省南京市高考数学三模试卷一、填空题（共 14 小题，每小题 3 分，满分 42 分）1 （3 分）已知集合 M=0，2，4，N=x|x= ，a M，则集合 MN= 2 （3 分）已知 0a2，复数 z 的实部为 a，虚部为 1，则 |z|的取值范围是 3 （3 分）若直线 l1：x+2y4=0 与 l2：mx+（2m）y 3=0 平行，则实数 m 的值为 4 （3 分）某校有 A，B 两个学生食堂，若 a，b，c 三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人不在同一个食堂用餐的概率为 5 （3 分）如图是一个算法流程图，则输出的 S 的值是 6 （3
2、 分）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000 人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图） 为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这 10000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查，则在2500，3000） （元）月收入段应抽出 人7 （3 分）已知 l 是直线，、 是两个不同的平面，下列命题中的真命题是 （填所有真命题的序号）若 l，l，则 若 ，l ，则 l若 l，则 l 若 l ，l ，则 8 （3 分）如图，抛物线形拱桥的顶点距水面 4m 时，测得拱桥内水面宽为 16m；当水面升高 3m 后，拱桥内水面的宽度为 m 第 2 页（共 26
3、 页）9 （3 分）已知正数 a，b，c 满足 3ab+2c=0，则 的最大值为 10 （3 分）在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，且a= ，b=3，sinC=2sinA，则ABC 的面积为 11 （3 分）已知 sn 是等差数列a n的前 n 项和，若 s24，s 416，则 a5 的最大值是 12 （3 分）将函数 f（x）=sin（2x+） （ ）的图象向右平移 （0 ）个单位长度后得到函数 g（x）的图象，若 f（x） ，g（x）的图象都经过点 P（0， ） ，则 的值为 13 （3 分）如图，在半径为 1 的扇形 AOB 中，AOB=60 ，C 为弧上的动点，
4、AB 与 OC交于点 P，则 的最小值是 14 （3 分）用 minm，n表示 m，n 中的最小值已知函数 f（x）=x 3+ax+ ，g（x）=lnx，设函数 h（x）=min f（x） ，g（x）（x0） ，若 h（x）有 3 个零点，则实数 a 的取值范围是 二、解答题（共 6 小题，满分 88 分）15 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（cos， sin） ，B（sin ，0） ，其中R（）当 = ，求向量 的坐标；（）当 0， 时，求| |的最大值16 （14 分）如图，在四棱锥 EABCD 中，底面 ABCD 是正方形，AC 与 BD 交于点O，EC底面 ABCD，
5、F 为 BE 的中点（1）求证：DE平面 ACF；（2）若 AB= CE，在线段 EO 上是否存在点 G，使得 CG平面 BDE？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由第 3 页（共 26 页）17 （14 分）如图，某水域的两直线型岸边 l1，l 2 成定角 120，在该水域中位于该角角平分线上且与顶点 A 相距 1 公里的 D 处有一固定桩现某渔民准备经过该固定桩安装一直线型隔离网 BC（B，C 分别在 l1 和 l2 上） ，围出三角形 ABC 养殖区，且 AB 和 AC 都不超过5 公里设 AB=x 公里，AC=y 公里（1）将 y 表示成 x 的函数，并求其定义域；（2）该渔民
6、至少可以围出多少平方公里的养殖区？18 （14 分）已知点 P 是椭圆 C 上的任一点，P 到直线 l1：x=2 的距离为 d1，到点F（1，0）的距离为 d2，且 = （1）求椭圆 C 的方程；（2）如图，直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A，B （A ，B 都在 x 轴上方） ，且OFA+ OFB=180（i）当 A 为椭圆 C 与 y 轴正半轴的交点时，求直线 l 的方程；（ii）是否存在一个定点，无论OFA 如何变化，直线 l 总过该定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由19 （16 分）已知函数 g（x）=2alnx+x 22x，a R（1）若函数 g（x）在定义域
7、上为单调增函数，求 a 的取值范围；（2）设 A，B 是函数 g（x）图象上的不同的两点，P（x 0，y 0）为线段 AB 的中点（i）当 a=0 时，g（x）在点 Q（x 0，g（x 0） ）处的切线与直线 AB 是否平行？说明理由；（ii）当 a0 时，是否存在这样的 A，B，使得 g（x）在点 Q（x 0，g（x 0） ）处的切线与直线 AB 平行？说明理由第 4 页（共 26 页）20 （16 分）已知数列a n，b n满足 bn=an+1an，其中 n=1，2，3，（）若 a1=1，b n=n，求数列a n的通项公式；（）若 bn+1bn1=bn（n2） ，且 b1=1，b 2=2（
8、）记 cn=a6n1（n1） ，求证：数列c n为等差数列；（）若数列 中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次求 a1 应满足的条件选修 4-1：几何证明选讲21 （10 分）如图，ABC 内接于圆 O，D 为弦 BC 上一点，过 D 作直线 DPAC，交AB 于点 E，交圆 O在 A 点处的切线于点 P求证：PAEBDE选修 4-2：矩阵与变换22变换 T1 是逆时针旋转 角的旋转变换，对应的变换矩阵是 M1；变换 T2 对应的变换矩阵是 M2= （1）点 P（2，1）经过变换 T1 得到点 P，求 P的坐标；（2）求曲线 y=x2 先经过变换 T1，再经过变换 T2 所得曲线的方程选修
9、 4-4：坐标系与参数方程 23在平面直角坐标系 xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系设点A，B 分别在曲线 C1： （ 为参数）和曲线 C2：=1 上，求 AB 的最大值选修 4-5：不等式选讲24已知：a2，xR求证：|x1+a |+|xa|325 （10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y2=2px（p0）的准线 l 与 x 轴交于点 M，过 M 的直线与抛物线交于 A，B 两点设 A（x 1，y 1）到准线 l 的距离为 d，且d=p（0） （1）若 y1=d=1，求抛物线的标准方程；（2）若 + = ，求证：直线 AB 的斜率为定值第 5 页（共
10、 26 页）26 （10 分）设 f（n）=（a +b） n（nN *，n2） ，若 f（n）的展开式中，存在某连续 3 项，其二项式系数依次成等差数列，则称 f（n）具有性质 P（1）求证：f（7）具有性质 P；（2）若存在 n2016，使 f（ n）具有性质 P，求 n 的最大值第 6 页（共 26 页）2016 年江苏省南京市高考数学三模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共 14 小题，每小题 3 分，满分 42 分）1 （3 分） （2016 南京三模）已知集合 M=0，2，4，N=x|x= ，aM，则集合 MN= 0，2 【考点】交集及其运算菁优网版权所有【专题】集合思想；定义法；集
11、合【分析】把 M 中元素代入 x= 确定出 N，求出两集合的交集即可【解答】解：把 a=0，代入得：x=0；把 a=2 代入得：x=1；把 a=4 代入得：x=2，N=0 ，1，2，M=0，2，4 ，M N=0，2，故答案为：0，22 （3 分） （2016 南京三模）已知 0a2，复数 z 的实部为 a，虚部为 1，则|z |的取值范围是 （1， ） 【考点】复数的代数表示法及其几何意义菁优网版权所有【专题】计算题【分析】由复数 z 的实部为 a，虚部为 1，知|z |= ，再由 0a2，能求出|z |的取值范围【解答】解：复数 z 的实部为 a，虚部为 1，|z|= ，0a2，1|z|=
12、故答案为：（1， ） 3 （3 分） （2016 南京三模）若直线 l1：x+2y4=0 与 l2：mx+（2m ）y3=0 平行，则实数m 的值为 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系菁优网版权所有【专题】分类讨论；方程思想；转化思想；直线与圆【分析】直线 l1：x+2y4=0 与 l2：mx+（2m）y 3=0 平行，直线 l1 的斜率存在，因此直线l2 的斜率也存在化为斜截式，利用直线相互平行的充要条件即可得出【解答】解：直线 l1：x+2y 4=0 与 l2：mx+（2m）y 3=0 平行，直线 l1 的斜率存在，第 7 页（共 26 页）直线 l2 的斜率也存在两条直线的方程可以
13、化为：y= x+2；y= x+ ，2 解得：m= 故答案为： 4 （3 分） （2016 南京三模）某校有 A，B 两个学生食堂，若 a，b，c 三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人不在同一个食堂用餐的概率为 【考点】古典概型及其概率计算公式菁优网版权所有【专题】概率与统计【分析】先求出基本事件的总数，再找出所要求的事件包括的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式即可得出【解答】解：甲学生随机选择其中的一个食堂用餐可有两种选法，同理乙，丙也各有两种选法，根据乘法原理可知：共有 23=8 中选法；其中他们在同一个食堂用餐的方法只有两种：一种是都到第一个食堂，另一种是都到第二个食堂，
14、则他们不同在一个食堂用餐的选法有 82=6；他们不同在一个食堂用餐的概率为 = 故答案为：5 （3 分） （2016 南京三模）如图是一个算法流程图，则输出的 S 的值是 20 【考点】程序框图菁优网版权所有【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案第 8 页（共 26 页）【解答】解：模拟执行程序，可得a=5，S=1满足条件 a4，执行循环体，S=5，a=4满足条件 a4，执行循环体，S=20，a=3不满足条件 a4，退出循环，输出 S 的值为 2
15、0故答案为：206 （3 分） （2016 南京三模）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000 人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图） 为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这 10000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查，则在2500，3000） （元）月收入段应抽出 25 人【考点】分层抽样方法菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】直方图中小矩形的面积表示频率，先计算出2500，3000）内的频率，再计算所需抽取人数即可【解答】解：由直方图可得2500，3000） （元）月收入段共有 100000.0005500=2500人按分层抽样应
16、抽出 人故答案为：257 （3 分） （2016 南京三模）已知 l 是直线，、 是两个不同的平面，下列命题中的真命题是 （填所有真命题的序号）若 l，l，则 若 ，l ，则 l若 l，则 l 若 l ，l ，则 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系菁优网版权所有【专题】综合题；数形结合；综合法；空间位置关系与距离【分析】利用线面平行、面面平行线面垂直的判定定理和性质定理对四个命题逐一分析解答【解答】解：对于若 l，l ，则 与 可能相交；故 错误；对于若 ，l，则 l 与 可能平行；故 错误；对于若 l，则 l 可能在 内，故 错误；对于若 l，l，由线面垂直和线面平行的性质定理，以及面面
17、垂直的判定定理，可得 ，故正确；故选：第 9 页（共 26 页）8 （3 分） （2016 南京三模）如图，抛物线形拱桥的顶点距水面 4m 时，测得拱桥内水面宽为 16m；当水面升高 3m 后，拱桥内水面的宽度为 8 m【考点】抛物线的应用菁优网版权所有【专题】应用题【分析】先根据题目条件建立直角坐标系，设出抛物线的方程，然后利用点在曲线上，确定方程，求得点的坐标，也就得到水面的宽【解答】解：以抛物线的顶点为原点，对称轴为 y 轴建立直角坐标系设其方程为 x2=2py（p0） ，A（ 8， 4）为抛物线上的点64=2p（ 4）2p=16抛物线的方程为 x2=16y设当水面上升 3 米时，点 B
18、 的坐标为（ a，1） （a0）a 2=（ 16）（ 1）a=4故水面宽为 8 米故答案为：89 （3 分） （2016 南京三模）已知正数 a，b，c 满足 3ab+2c=0，则 的最大值为 【考点】基本不等式菁优网版权所有【专题】转化思想；综合法；不等式【分析】消去 b，结合基本不等式的性质求出最大值，即可得答案【解答】解：根据题意，设 t= ，由 3ab+2c=0 可得 3a+2c=b，则 t= = = = = ；当且仅当 a=c 时 “=”成立，则 t ，即 的最大值为 ；故答案为： 第 10 页（共 26 页）10 （3 分） （2016 南京三模）在ABC 中，角 A，B，C 的对
19、边分别为 a，b，c，且a= ，b=3，sinC=2sinA，则ABC 的面积为 3 【考点】正弦定理菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；转化法；解三角形【分析】由已知及正弦定理可求 c 的值，利用余弦定理即可求得 cosB 的值，利用同角三角函数基本关系式可求 sinB 的值，根据三角形面积公式即可计算得解【解答】解：在ABC 中，sinC=2sinA，a= ，b=3，由正弦定理可得：c=2a=2 ，由余弦定理可得：cosB= = = ，可得：sinB= =，S ABC = acsinB= =3故答案为：311 （3 分） （2016 南京三模）已知 sn 是等差数列a n的前 n 项和
20、，若 s24，s 416，则a5 的最大值是 9 【考点】等差数列的前 n 项和菁优网版权所有【专题】计算题【分析】由 s24，s 416，知 2a1+d4，4a 1+6d16，所以 164a 1+6d=2（2a 1+d）+4d8+4d，得到 d2，由此能求出 a5 的最大值【解答】解：s 24，s 416，a 1+a24，即 2a1+d4a1+a2+a3+a416，即 4a1+6d16所以 164a 1+6d=2（2a 1+d）+4d8+4d，得到 d2，所以 4（a 1+4d）=4a 1+6d+10d16+20，即 a59a 5 的最大值为 9故答案为：912 （3 分） （2016 南京三模）将函数 f（x）=sin（2x+ ） （ ）的图象向右平移 （0）个单位长度后得到函数 g（x）的图象，若 f（x） ，g（x）的图象都经过点P（0， ） ，则 的值为 【考点】正弦函数的图象菁优网版权所有【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质【分析】由 f（x）的图象经过点 P（0， ） ，且 ，可得 = ，又由g（x）的图象也经过点 P（0， ） ，可求出满足条件的 的值
