1、高二数学（理） 学而不思则罔，思而不学则殆 选修 22 导数1课题：曲边梯形的面积与定积分学案编号：22013 制作人：马中明 审核：高二数学 时间：2012.3.6【学习目标】知识与技能：通 过 求 曲 边 梯 形 的 面 积 和 变 速 直 线 运 动 的 路 程 ， 了 解 定 积 分 的 背 景 ；借 助 于 几 何 直 观 体 会 定 积 分 的 基 本 思 想 ， 了 解 定 积 分 的 概 念 ， 能 用 定 积 分 法 求 简 单 的 定积 分 3.理解掌握定积分的几何意义和性质；过程与方法：通过问题的探究体会逼近、以直代曲的数学思想方法。情感态度与价值观：通过分割、逼近的观点
2、体会定积分的来历，使学生从本质上理解定积分的几何意义，从而激发学生学习数学的兴趣。【学习重点】 定 积 分 的 概 念 、 用 定 义 求 简 单 的 定 积 分 、 定积分的几何意义【学习难点】定 积 分 的 概 念 、 定积分的几何意义【学习过程】（一） 情景引入：我们在小学、初中就学习过求平面图形面积的问题。但基本是规则的平面图形，如矩形、三角形、梯形。而现实生活中更多的是不规则的平面图形。对于不规则的图形我们该如何求面积？比如我们山东省的国土面积？（二） 合作探究：例题：对于由 y=x2与 x 轴及 x=1 所围成的面积该怎样求？（该图形为曲边三角形，是曲边梯形的特殊情况）探究 1：分
3、割，怎样分割？分割成多少个？分成怎样的形状？有几种方案？ 探究 2：采用哪种好？把分割的几何图形变为代数的式子。高二数学（理） 学而不思则罔，思而不学则殆 选修 22 导数2特别帮助： 12+22+32+n2= n(n+1)16(2n+1)探究 3：如何用数学的形式表达分割的几何图形越来越多？ 探究 4：采用过剩求和与不足求和所得到的结果一样，其意义是什么？变式训练：求直线 x=0,x=1,y=0 与曲线 y=x2所围成的曲边梯形的面积。小结：1、对于一般曲边梯形，如何求面积？2、求曲边梯形面积的方法步骤是什么？xyOy=x2图 3高二数学（理） 学而不思则罔，思而不学则殆 选修 22 导数3
4、（三） 概念形成：定积分的概念 从前面求曲边图形面积的过程发现，可以通过“分割、近似代替、求和、取极限得到解决，且都归结为求一个特定形式和的极限，ininiix fxfS110lml事实上，许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限一般地，设函数 在区间 上连续，用分点()f,ab0121iinaxxxb 将区间 等分成 个小区间，在每个小区间 上取一点 ，作和式：,abn1,ii,iiniii fbxf11当 ）时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数 在区间 上的定积分。n()fx,ab记为： 即 =()bafxd()bafxdinifab1lm其中函数 叫做 ， 叫做 变量，区间
5、为 区间， 积分 ， 积分 f ,bba。说明：（1）定积分 是一个常数 ()bafxd（2）用定义求定积分的一般方法是：分割： 等分区间 ；近似代替：取点 ；n,ab1,iiix求和： ；取极限：1()niibf1()limnbiafxdf（3）曲边图形面积： ； baSfxd定积分的几何意义 从几何上看，如果在区间a,b上的函数 连续且恒()fx有 。那么定积分 表示由直线()0fx()bafxd（ ） ， 和曲线 所围成的曲边,ab0y()yfx高二数学（理） 学而不思则罔，思而不学则殆 选修 22 导数4梯形的面积。 （四） 典例分析：例 1.利用定积分定义，证明 ，其中 a,b 均为
6、常数且 ab.abdxa1例 2 用定积分表示阴影部分的面积（不要求计算）例 3 （1）计算定积分 （2）21()xd(1)xd（五） 巩固提高：1、定积分 （c 为常数）的几何意义是 badx2、由 y=sinx, x=0,x= ,y=0 所围成图形的面积写成定积分的形式是 23、定积分 的大小 （ ）baxf)(A 与 和积分区间 有关，与 的取法无关；B 与 有关，与区间 及 的取法无关；,i)(xfba,iC 与 和 的取法有关，与积分区间 无关；D 与 、区间 和 的取法都有关)(xfiba,)(f,i4、下列等式成立的个数是（ ） 1010)()(dxftf dxxd0220 sinsisin xaa02004xxy22 4 xyO 842高二数学（理） 学而不思则罔，思而不学则殆 选修 22 导数5A、1 B、2 C、3 D、4
