1、曲线积分与定积分的关系若物体所受的力 F 和物体移动的距离 x 都是常量，那么力所做的功 W 可以直接通过将 F 与 x 相乘来计算：=例如，一个物体在力 F=4N 的作用下从 0m 处移动到了 6m 处，移动了 x=6m 的距离，那么所做的功W=Fx=24J。如果 F 是变量，且 F 随 x 变化而变化，即 F=F(x)，那么在计算功的时候就不能直接将 F 与 x 相乘，应该改用定积分计算：(1)=21()其中 x1 为起始位置，为 x2 结束位置。例如，如果 F=x2 (N)，那么所做的功：(2)=602=72如果 x 是变量，且 x 随 F 变化而变化，即 x=x(F)，那么：=21()
2、值得注意的是，在(1)中，如果 F 是一个常数，或者是一个与 x 无关的式子，那么由不定积分 计算出的原函数就是 Fx，相当于没有使用积分运算，直接用了乘法运算。另外，F 与 x 相乘得到的是 W，如果与 dx 相乘的话得到的就是 dW。即：Fx=W, Fdx=dW。如果物体移动的路径是一段曲线，且 F 在平面直角坐标系中的每一个点上都有一个确定的值，那么所做的功应该用第一类曲线积分计算：=(, )在上面的例子中，物体是沿直线运动，在平面上看是从(0,0)处运动到(6,0)处。如果把直线看作曲线，那么W 还可以用第一类曲线积分来计算。其中二元函数F(x,y)=x2（力的大小与坐标的对应关系），
3、L 为从(0,0)到(6,0)的一段直线。因此：=2L 的方程为 y=0，按常规方法，将 x 坐标作为参数，写出参数方程：(t 为参数, 且 )=0 06求导后：=1=0根据第一类曲线积分的计算公式，2=2=2+2=2=602将积分变量 t 换回 x，得=602可见，式子又变回了(2)式。这表明，定积分其实就是特殊的曲线积分。换句话说，定积分就是直线积分。如果把曲线沿逆时针方向旋转 45，且不改变曲线的长度，那么计算出的功应该还是 72J。yx63232此时力与坐标的对应关系也发生了变化：(,)=2+2积分曲线 L 变为从(0,0)到(3 )的一段直线，方2,32程为 y=x。因此：(3)=(
4、2+2)此时如果想要通过曲线积分的计算公式将(3)式化为(2)式，就必须要适当地选取曲线 L 的参数方程中的参数 t，使 ds=dt，这样 t 的范围就还是0,6。我们可以将 L 上的点到原点的距离作为参数 t，这样L 的参数方程为：=22=22因为 L 上的点离原点的最近距离为 0，最远距离为6，因此 ，这样就确定了积分的上下限。06=22=222+2=122+122=2=2+2=(2+2)=602=602如果我们按常规方法计算(3)式，也就是选取 x 为参数，我们就不能将(3)式化为(2) 式。虽然计算结果都是 72J，但是我们却改变了定积分的上下限，且被积函数也跟着发生了变化。请看计算过
5、程：( )= 032其中 为图中 x 坐标的最大值。32=1=12+2=22=2+2= 2=(2+2)=320 222=72可见，被积函数变成了 ，这样我们反而看不出222曲线积分和定积分到底是什么关系了，因为这样的变换使问题转化成了求力 使物体从()=222处移动到 处所做的功。=0 =32上面提到的力都是用数量 F 表示的，只表示了力的大小，并且所有的结论都是在假定了力的方向始终和速度方向（也就是运动曲线在当前点处的切线方向）相同的条件下得出的。而实际上力 F 是向量，既有大小又有方向。这个时候，如果 F 和位移 x（也是向量）都是常量，那么功 ，其数量关系是=，其中 为两个向量间的夹角。
6、=cos如果我们只知道力 F 的水平和竖直方向的两分量的大小，例如：FxFyxF那么此时合力 ，功 ，其数量关系=+ =为 ，其中 为合力 F 与位移 x 的夹角。=cos同时，我们也可以认为总功等于这两个分力所做的功之和，也就是 ，其数量关系为：=+=cos+cos如图：FxFyxABO也就是 ，因为 Fx 和 Fy 在垂直于 x 的=方向上是不做功的。从上式中提出 x，得(4) =(cos+cos)因此，我们也可以认为整个过程实际上是力在做功，且 W=F0x。一般情况0=cos+cos下，F 0 |F|。如果运动路径是直线，那么 和 始终是定值；如果运动路径是曲线，那么 和 将随着物体位置
7、（也就是位置向量 r=xi+yj）的变化而变化。此时如果合力 F 是位置向量 r 的向量函数，即，那么此时功可以用向量的定积分来计算=()=21()这个式子对曲线运动也成立。位移 x 就是末位矢（位置向量的简称）与初位矢之差：。注意，我们在被积表达式中用的是 dr 而=0不是 dx，因为 F 不是 x 的函数。 dr 可以看作是物体在极短时间内的位移。另外，式中的点乘符号是不能省略的。因为 r=xi+yj，所以 还可以写成二元函数 。() (,)如果物体在力 的作用下从 r0=0()=4=4+4处移动到了 rn = 处，产生了32+32的位移，那么所做的功=0=32+32=32+320 4=2
8、32+320 2=2(32+32)2=236=72由于 F 的两分量也是 x, y 的函数，所以这个问题还可以用第二类曲线积分来计算：=+被积表达式是一个全微分式。其中 L 是运动路径，P和 Q 分别是两分量关于 x, y 的二元数量函数。这里， 。(, )=4(, )=4因此=122=4+4根据计算公式，取|r |=t 为参数，L 的参数方程为( )=22=22 02(32)2=6对参数方程进行微分，得=22=22并且4=224=22所以=60(22 22+22 22)=604=72那么能不能用第一类曲线积分来计算呢？当然可以，只要我们能找出式(4)中的实际做功的力 F0(x, y)：=0(
9、,)，其中 和 也应该表示为 x, 0=cos+cosy 的函数。这个恰好就是数学课本上告诉我们的两类曲线积分之间的关系。如果力的函数再复杂一些，例如 ，(,)=322+122那么我们要找出 就会非常麻烦。不过我们可以将()改写为 ，这样改写后的被() (,) (+)积表达式就是 ，但是由于积(322+122)(+)分变量比较复杂，所以要求出原函数还是很麻烦。这个时候直接用第二类曲线积分来计算就要简便很多，因为此时 ， 。(,)=322 (,)=122从几何的角度上看，常量的乘法就是点积分，定积分就是直线(段) 积分，二重积分就是平面(区域) 积分，三重积分就是体积分。三维空间中的立体，拿到四维空间看，都是超平面(平体)上的一个区域，称为平体区域。而四维空间中的超曲面，实际上就是曲三维体，简称曲体。所以一般物理上提到的体积分都是平体积分，不含曲体积分。平体积分就是我们数学上学到的三重积分。格林公式则是把环状线积分转化为对环内区域的二重积分（或者转化回来），达到简化计算的目的。例如对一个圆环进行线积分，可以转化为对这个圆形区域进行二重积分。对一个椭圆区域进行二重积分，也可以转化为对这个椭圆环进行线积分。
