1、第十一章 二次根式专项训练【例题精选】：例 1：x 取怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义：（1） ； （2） ； （3） ；xx21（4） ； （5） 。分析：要使二次根式有意义，必须依照二次根式的概念，式子 叫a()0做二次根式，即被开方数大于等于零，利用不等式知识，求得正确答案。解：（1） xox11,即 在实数范围内有意义。时（2） 3023,即 时， 在实数范围内有意义xx（3）当 x 为任意实数时，有意义。2 2101取 任 意 实 数 ,（4） ,0当 时， 有意义。xx（5） 00当 时， 有意义。x例 2：x 为怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义：（1） ； （2）
2、 （3）3x112x分析：把二次根式放在分式里，情况就复杂了，x 的取值范围不仅要受到二次根式的限制，还要受到分式的限制，要同时满足这几个条件，利用不等式组的知识取不等式组的解集。解：（1）得 且x30x30当 且 在实数范围内有意义。,（2）当 在实数范围有意义。xx1412且 时 ，（3）当 在实数范围有意义。xx2132且 时 ，例 3：在下列给出的式子中哪些是二次根式，哪些不是，为什么？； ； ； 。7a21a21083分析：判断一个式子是否是二次根式，唯一的依据就是看被开方数是否永远大于等于零。解： 没有意义（负数没有平方根） 不是二次根式。7 无论 a 取任意实数a221()()a
3、102 是二次根式。 在实数范围内222 不是二次根式00() 是二次根式1188, 是二次根式xx33上述各式中二次根式有三个 和 ，而a2810,x3与 均不是二次根式。7a21例 4：化简下列各式：（1） ； （2） ； （3）256420（4） ； （5） 。7812分析：化简二次根式主要依据是二次根式的几个主要性质或者称之为几个公式。（1） （2）a20()abab(,)0（3） （4）bb, 2解：（1） 72（2） 5646580（3） 204510250（4） 7896813（5） 642()()52例 5：化简下列各式：（此题中的字母均为正数）。（1） （2） （3）934a
4、bcxy424802()()xy解：（1） 3234abcc（2） xy422()（3） 54802()()xy125()xy小结：被开方式是分式情况化简时，被开方式中不能有分母，因此，为了把分母去掉，要利用分式的性质，分子分母同乘以一个不等于零的数或式子，将被开方式中的分母移到根号外但应注意仍在分母的位置上。例 6：化简下列各式：（此题中的字母均为正数）（1） （2） （3） （4）455493ba21509xyz分析：化简商的算术平方根可应用性质， 如果被开方式是带分数ab应化为假分数；数值较大时，应进行因式分解再化简。解：（1） 425（2） 954934324baba72（3） 215
5、012502（4） 99322xyzzxyzz例 7：计算：（1） （2）618； 53721（3） （4）42376分析：二次根式的乘法法则即 ababab(,)0，然后再化简。(,)ab0解：（1） 61863（2） 5372521057（3） （使用乘法交换律）443126（4） 2136714例 8：计算。（此题中的字母均为正数）（1） 4232aba（2） 5xy解：（1） 41232aba923b（2） 5xy5xyy例 9：把下列各式的分母有理化：（字母为正数）（1） （2） （3） （4）7xy2230分析：二次根式的除法运算，通常是采用化去分母中的根号的方法来进行的，把分母中
6、的根号化去，叫做分母有理化，当分母的根式是 的形式ab时，可使用平方差公式，利用分式的性质化去分母中的根号，当分母是单项的二次根式，分子分母也可以约分以后，再分母有理化。解：（1） 2727（2） 33xyxyxy（3） 232626()()（4）例 10：计算（字母是正数）（1） 23125；（2） 35yxyx()；（3） 分析：遇有混合运算时，应注意运算顺序从左至右进行，有括号先算括号里的，这里特别要指出的是第三小题，除法没有分配律，切不可作成，一定是先写成分数形式，再作分母有理化才能得到正确153的结果。解：（1） 21255371（2） 235yxyx23135yxyyx23=992
7、2xyxy（3） 1535532()【专项训练】：一、选择题：（在以下各题所给出的四个备选答案只有一个是正确的）1、如果 是二次根式，那么 a、b 应满足baAa、b 均为非负数， B ，ba0C ， D 。0, 2、当 a 取任意实数时，下列各式是二次根式的是 52a()12 a21A B C D 3、式子 成立的 x 取值范围为x1A B C D x 取任意实数 010且 x14、化简 的结果是245A B C D 1645858255、下列各式运算结果正确的是A B236316251645()C D1525xyxyx26、下列各式化简结果正确的是A B124a, 214aC D3, 37
8、、根式 化简结果正确的是123abxA B C D4632xab43xab43abx8、 的计算结果正确的是23495A B C D04327154539、 的倒数是56A B C D656610、把根号外的因式移入根号内 x1A B C Dx xx二、填空题：1、 成立的条件是 。42xx2、化简 ， abc3(,),abcnm03。(,)mn03、求使式子 有意义的 x 的取值范围 。21x()4、若 ，y 是 x 的有理化因式则 y= ，则 ，x53 xy。y5、计算： ， 。75945326、计算： ， 。273143027、计算： ， abmnn。8、计算： ， 。321539、分母有理化： ； 。72310、计算： 。20451三、解答题：1、计算或化简，其中字母表示正数（1） ；2315（2） ；82（3） ；baba233（4） ；15yxyx（5） .6242b2、分母有理化（1） （2） （3）358341530【答案】：一、1、D 2、B 3、C 4、C 5、B 6、D7、C 8、B 9、B 10、D二、1、 2、 ，2xabc1mn3、 4、1且 53245； ； .5、 6、730, ， ，7、 8、， mn2,29、 10、231,45三、1、（1） （2） （3） （4）475a92xy（5） 1b2、（1） （2） （3）361630
