1、(一)、摘要高台村用水短缺问题长期以来十分严重，为了解决高台村的用水问题，县政府决定从今年起为该村进行打井和管输建设。本文首先根据高台村现有水井近9年的产水量，通过MATLAB数据拟合分析研究其产水规律，并预测了其在未来五年内的产水情况，再根据该村未来五年的需水量、县政府提供的资金情况等，通过建立多目标规划模型，对该村解决用水问题的方案进行了规划，并给出了具体的解决方案。在建立多目标规划模型时，对定性因素选用0-1变量，以花费资金和每年产水量作为目标，分别设置偏差变量，并给定合适的优先级和权重进行处理，满足目标和约束，得到合理的打井和管输建设计划: 打井计划：第一年打1,3,6,7号井；第二年
2、打4,5号井；第三年打2号井。管输建设：第一年建8.580165公里；第二年建1.430028公里；第三年建10.01019公里。最后将模型进行推广，使其尽可能长的时间满足村民的需水量。关键字 数据拟合 0-1 变量 多目标规划 LINGO(二)、问题重述我国许多农村用水短缺问题长期以来十分重，别是一些偏远贫困地区况更加严重。如我国西北地区偏远贫困村高台村，年均降雨不足 20mm，是典型的缺水地区，过去该村的用水主要源于两种途经：一是靠每家每户自行建造的蓄水池屯积雨水；二是利用村里现有的四口水井。但由于近年来能源开采,使水源遭到破坏，经常出现数月滴雨不下，使蓄水池的功能完全丧失，同时使原有的四
3、 4 口水井产水量逐渐减少。表 1 给出四口水井近 9 年的产水量统计数字。为了解决高台村的用水问题，县政府决定从今年起为该村解决用水问题，具体方案包括两个方面：一是在高台村附近找 8 个可供打井的位置，但由于位置不同其地质构造也不同，因此每个位置打井的费用和年产水量也不同，详见表 2，而且预计每口水井的年产水量还会以平均每年 10%左右的速率减少。二是从长远考虑，通过建造输水管道，从距该 20 公里外的柳河将水引入该村，管输的费用为（万元），其中 表示每年的可输水量（万吨/年）， 表示管道HTF51.06TH长度（公里）。管输工程工期需要三年时间，且每年投资管输的费用为万元的整数倍。要求管输
4、完成之后，每年能够管输至少 100 万吨水。县政府从 2012 年开始，连续三年，每年最多可提供 60 万元用于该村打井和管输工程，为了保证该村从 2012 至 2016 年这五年间每年分别能至少获得150、160、170、180、190 万吨水。请用数学建模的方法，在不考虑小蓄水池的作用和利息的因素的情况下，为县政府作出一个从 2012 年起三年的打井和管输建设计划。（三） 、问题分析针对高台村的缺水问题，我们可以采用多目标规划的方法解决，即要求花最小的投资获得最大的产水量。首先我们需要设置优先级，假定投资的优先级为 p1，产水量的优先级为 p2；每年的投资即为每年所建的井乘以相应的费用，再
5、加上每年管输的建设费用；2012 年以后高台村的供水（不考虑小蓄水池的作用）主要来自以前的四口井，新建成的井，以及管输建成后的输水。因此高台村的水源可分为三部分考虑。针对第一部分，我们必须预测出以前四口水井从 2012 年到 2016 年的产水量。我们可以采用均值算出各水井水量的平均减少率，然后求出相应的水量。针对第二部分，我们用 0-1 变量先确定前三年所打的井，然后乘以相应的产水量（产水量平均以 10%的速率减少）针对第三部分，由于一旦管输修建成功，年产水量将不再改变，故只需要加上管输的年产水量即可。三部分相加即为每年的供水量。其次我们需要设置偏差变量，要使投资最小即要求每年相应正的偏差变
6、量最小，而要使产水量最大即要求每年相应产水量的负的偏差变量最小。而对于同一优先级我们分配以相同的权重因子。最后我们需要统一处理目标与约束条件，整合所建立的模型，利用 LINGO 软件进行求解。 （四） 、模型假设（1）、不考虑小蓄水池的作用和利息的因素；（2）、每年投资的资金当年没有用完则可以累积到下一年；（3）、井和管输建成后当年即可产水；（4）、不考虑其他突发因素导致的费用增加；（5）、不考虑自然因素（降雨）对供水量的影响（五） 、符号说明（1）、 ； 1ii=j0ijX 第 年 打 编 号 为 j的 井 （ 1,23； ,8）第 年 不 打 编 号 为 的 井（2）、Yi（i=1,2,3
7、,）表示第 i 年修建的管输长度；（3）、T 为管输修建成功后每年的可输水量；（4）、 （i=1，2，3）为整型变量，表示第 i 年投资的管输费用；iZ（5）、 （j=1,28）表示修建编号为 j 的井的费用；jC（6）、 （j=1,28）表示第 j 号井修建成功当年的产水量；ja（7）、 表示第 i 年原有第 j 号井的产水量。(1,2345;1,234)ijbj（六） 、模型建立与求解由表一的数据我们可以借用 MATLAB 软件拟合出各口井的产水量关于年份的函数方程。为精确起见，对不同的井我们选用不同的函数进行拟合，如一次函数、三次函数。（具体拟合程序见附件） 根据拟合出的函数，进而预测出
8、 2012 年到 2016 年各口井的产水量，具体数据如下：由于本题采用多目标规划，故我们需要设置偏差变量，决策变量的含义入下：分别为第一年，前两年，前三年超过投资的金额；+123d、 、分别为第一年，第二年，第三年不足投资的金额；、 、分别为 2012 年到 2016 年各年超过需水量的部分；45678d、 、 、 、分别为 2012 年到 2016 年各年不足需水量的部分。d、 、 、 、（i=1,2,3；j=1,28）10jijiX第 年 打 第 口 井第 年 不 打 第 口 井由于每口井最多只能打一次，所以有约束： ；31(,2.8)ijiYi 表示第 i 年修建管输的长度，所以对管道
9、长度有约束：；310iY由于 以及表二的数据，我们可以得到投资、产水量与决策变量.516FT的关系：由于假设每年投资的资金当年没有用完可以累积到下一年年份产水量编号2012 2013 2014 2015 20161 号井 21.4 20.3 19.1 17.8 16.62 号井 1.1 0 0 0 03 号井 9.1 7.1 4.9 2.9 0.84 号井 11.8 4.5 0 0 0总产水量 43.4 31.8 24.0 20.7 17.4则第一年的投资应小于 60 万元，第一年与第二年的投资之和小于 120 万元，三年投资的综合小于 180 万元。而对管输的费用必须是万元的整数倍，所以对投
10、资的约束如下： 8 80.51 0.511 2226610j jj jXCTYXCTYd8 8 80.51 0.51 0.511 223336180j j jj j jXCTYd 0.51.0.51.67;223.3;();()();ZTYginiZgin我们已经预测出2012年到2016年原有的四口井的产水量，而新打的井的年产水量平均每年以10%的速率减少，由Xij我们可以算出水井的产水量。由于管输的工期为三年，故只有后两年才有管输的产水量 T根据 2012 年到 2016 年该村的需水量，对产水量的约束如下：；48114150jjjbXad；11jjj 488215=+90%160jj j
11、j jbxaxad:48883216=1=1=(+9)+170jj j jj j jxad:48883217=1=1=1=+90(0(0)T8jj j jjj j jbxa d:80.511 1jj d4888253218=1=1=1=+90%(+90(+90%)+T190j j j jj j j jbxaxaxad:整理该模型如下：目标函数：MIN ；12345678()()PdPdd约束条件： 80.511 160jjXCTY 8 80.51 0.511 222610j jj jXCTYd 8 8 80.51 0.51 0.511 223336 6180j j jj j jXCTYXCTY
12、d ；48114150jjjbXad；82 5=1=1+9%160jj jj jxxad:；48 8326=10(+9)+170jj j jj j jbaxad:；843 17=1=1=19( 0T8jj j jjj j jx d:；8 825 2 8=1+090(9)190j j j jj j j jbaxaxa:；(,;),iXgin（Z1）；gin（Z2）；gin（Z3）；然后根据优先级将目标规划问题分解为一系列的单目标规划问题，再依次求解。我们可将上面的程序分为两部分输入LINGO软件中，即可得到该问题的解决办法。（具体结果见附录）0.51.0.5.7;2623.3;ZTY:结果分析：
13、由LINGO程序运行结果可设计一个从2012年起三年的打井和管输建设的最优计划：打井计划：第一年打1,3,6,7号井；第二年打4,5号井；第三年打2号井。管输建设：第一年建8.580165公里；第二年建1.430028公里；第三年建10.01019公里。建设费用和以后五年的供水量如下表：2012 2013 2014 2015 2016建井费用 20 10 7管输费用 13 77 50建设总费用 33 87 57供水量 150.1 174.1 188.7 268.4 250.3模型改进由于解决偏远山区用水困难的问题并不是一项以盈利为目的的工程，我们首先要考虑的还是村民的用水问题，于是考虑将所有投
14、资用于打井与管输建设计划，以使供水量更长时间的满足村民的用水需求（即将模型的适用范围延长）。对此，我们算出上述模型在未来 10 年的供水量，数据如下表：2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021原有 43.4 31.9 24 20.7 17.4 15.4 14.2 13.1 11.8 10.6现有 107 142.3 164.1 147.7 132.9 119.6 107.6 96.8 87.1 78.4管输 0 0 0 100 100 100 100 100 100 100总量 150.4 174.2 188.1 268.4 250.3
15、 235 221.8 209.9 198.9 189根据村民的需水量，我们可以知道其是递增的，但是需水量并不会无限制的增大，于是我们可假设 2017 年的需水量为 200（万吨），2018 年的需水量为210（万吨），而以后几年的需水量一直保持 210（万吨）。则由上表可知此模型的解决方案 2019 年的供水量并不能满足村民的需水量。于是我们对此模型进行了改进，使其满足 2019 年的供水量，得到的结果如下：（七） 、模型评价（1）本文把所解决的问题归结为优化问题，建立的数学模型清晰合理。（2）运用 MATLAB 和 LINGO 软件处理数据和进行运算，降低运算量，简单易行，有很大的可操作性，
16、且所得数据较为合理可靠。(3）运用 01 模型解题，全面可靠（4）但在实际运用本方案中还应考虑自然因素对产水量的影响，还有需水量的变化，根据实际情况进行灵活改变。参考文献1姜启源,谢金星,叶俊.数学模型M.北京:高等教育出版社,2007.2江世宏.MATLAB 语言与数学实验M.北京:科学出版社，2007.附录MATLAB 程序井 1：y=32.2,31.3,29.7,28.6,27.5,26.1,25.3,23.7,22.7; x=1:1:9; plot(x,y,r+) p1=polyfit(x,y,1);t=1:1:14 z=polyval(p1,t);plot(x,y,r+,t,z,r)
17、 title(一号井产水量拟合图形) xlabel(年份)ylabel(产水量) x=10:1:14; y1=polyval(p1,x)y1 =21.4472 20.2456 19.0439 17.8422 16.6406井 2： y=21.5,15.9,11.8,8.7,6.5,4.8,3.5,2.6,2.0; x=1:1:9; plot(x,y,r*) p2=polyfit(x,y,3); z=polyval(p2,x); t=1:1:14; z=polyval(p2,t); plot(x,y,r*,t,z,r) xlabel(年份) title(二号井产水量拟合图形) ylabel(产水
18、量) x=10:1:14; y2=polyval(p2,x)y2 =1.0690 -0.0595 -1.6448 -3.8732 -6.9310x=1:1:9;井 3： y=27.9,25.8,23.8,21.6,19.5,17.4,15.5,13.3,11.2; x=1:1:9; plot(x,y,r+) p3=polyfit(x,y,1); z=polyval(p3,x); t=1:1:14; z=polyval(p3,t); plot(x,y,r*,t,z,r) title(三号井产水量拟合图形)xlabel(年份)ylabel(产水量) x=10:1:14; y3=polyval(p3,x)y3 =
