1、 第三章 氡子体测量的基本公式收集氡子体的方法很多，但用于常规测量中最可行的还是滤膜取样，即用纤维过滤器滤取一定体积的空气，收集氡子体。用贝特曼方程描述滤膜上氡子体的变化规律，邮此导出一系列测量氡子体产物的公式。本章介绍基本公式的导出过程和应用举例。第一节 取样中的氡子体积累一、基本假设1符号命名i 种子体的原子浓度，原子 ；i:1Li 种子体的放射性浓度，Bq ；Ci 种子体的衰变常数， ；imin采样 t 时刻滤膜上 i 种子体原子数；()NtT衰变时间，min，采样结束时 T=0；衰变到 T 时刻 i 种子体的原子数；i取样流速，L ；:1nE仪器的计数效率；R本底计数率，cpm ；n样
2、品的净计数率，cpm；N样品的积分计数； 衰变率，dmp；()D 衰变率，dmp；g与取样有关的时间因子；与计数时间有关的时间因子；与计数时间间隔有关的时间因子；滤膜的过滤效率；滤膜对 粒子的自吸收修正系数；K滤膜对 粒子的反散射系数。2三点假定（1） 取样过程中空气中各氡子体浓度不变；（2） 取样过程中取样流速不变；（3） 滤膜对各种氡子体均有相同的过滤效率。3简化衰变链 氡及其子体对简化衰变链是推导公式的理论基础（见图 1-15） 。二、 基本方程式取样过程中，由于氡是气体，滤膜无法扣留，而氡子体因是固体粒子却不断地被截留在滤膜上。与此同时，被截留在滤膜上的氡子体又在不停地衰变而减少。浓集
3、和衰变同时进行着，这种子体的富集过程可用下面方程式来描述：（3-1()()()iiiidNtNtt1）式中， 表示取样过程中 i 种子体在滤膜上的直接沉积数。 表示滤膜上已沉i 1()iNt积的前一种子体衰变产生 i 种子体，而使 i 种子体增加的数目。 是 i 种子体自身衰变而减少的数目。三者的代数和，便是滤膜上 i 种子体的净增率，也就是总的变化率。因为 0，故有()iNt（3-222333444()()()()dtNtttdt3） 三、 方程的定解这三个方程属于一元一阶非奇次微分方程，其一般形式为()dypxf其通解为（3-()()()pxdpxdzpxdzCefe5）由初始条件定出常数
4、 C，即可得到方程的定解。在我们的具体条件下， ，p(x)= ()iyNt,x=t,f(x)为每个微分方程式右边的系数项。1解方程（3-2） 按照式（3-5）形式，得其通解为2221()tNte由初始条件 t=0, =0 定常数 C2(0)0 2.2211e:2代入上式得(3-6)2.221()()tNte2.解方程(3-3) 把式(3-6)代入式(3-3)，整理后有23332()()(1)tdtt用同样的积分方法，有2 2332321()t tNtCe e 由初始条件 t=0, =0，定常数 C，30232311代入上式得33 3232 33231() ()tt ttNteee 整理合并后，
5、最后得（3-3 32232 33231()()(1)(1)()t ttteee 7）3解方程（3-4） 把式（3-7）代入式（3-4 ） ，用同样的方法得其定解为32 43 2324242434()(1)(1)(1)()()()tt tNt eee （3-3 4 433 44341()t t t 8）四、 简化表达式令 ， ， ，即可把 ， ， 的表221tge331tge441tge2()Nt3t4()t达式化简，得到描述取样过程的最终表达式，即222322 333 2324223 4423434423344341() 1()()()()()11Ntgt ggt gggg （3-9）第二节
6、取样后的衰变一、 基本方程式取样一停止，氡子体在滤膜上的直接沉积现像已不存在，即式（3-1）中的右边第一项=0，只存在氡子体的衰变过程。于是式（ 3-1）变为如下形式：i（3-1()()()iiidNTNT10）同样具有下列方程组：（3-2233434()()()()()dTNNdT12）这三个方程同样也是一元一阶微分方程，式（3-11）为奇次方程，式（3-12 ） ， （3-13）为非奇次方程。其初始条件是 T=0， = 。 (0)iNit二、 方程的定解1解式（3-11） 式（3-11）的通解为22()TCe由初始条件 T=0， ，定常数 C22(0)NtC= 2()Nt于是= （3-2(
7、)T2Tte14）2解式（3-12） 把式（3-14）代入式（3-12 ） ，有2332()()()TdNTNte其通解为3 223()()TTCet由初始条件 T=0， = ，定常数 C20N3()C= 3t23(t于是得定解（3-322 23 33()()()()TTNTteNtte15）3解式（3-13） 把式（3-15 ）代入式（ 3-13） ，并运用初始条件 T=0，得其定解为44(0)t32 423 2334 24 4 423324 4() ()()()() TTTNTNteNttettte （3-16）三、 简化表达式令 ， ， ，即把 ， ， 化简成如下形2Te3Te4Te2(
8、)N3()T4()N式：（3-223 2323324 2432233434222344344()()()()()()()NTtNtttttNttNt 17） 描述氡子体（也适用于 Tn 子体）在滤膜积累和衰变的两个方程给(3-1)，(3-10) ，就是通常所说的贝特曼方程由贝特曼（ Bateman H.）所创立。在不同的文章中最后表达式的形式有所不同，但所描述的物理过程和最终结果是一致的。第三节 基本公式的建立取样过程中氡子体在滤膜上的积累衰变和取样停止后的氡子体衰变是两个基本过程。有了描述这两个过程的数学表达式，就可以导出测量各自氡子体浓度的基本公式。一、 完整表达式把式（3-9）中 值分别
9、代入式（ 3-17）中，得到()iNt223323332 23242 44234344233 441() 1()()()()()11TvggvgNTv gggvg （3-18）式（3-18）就是描述两个基本过程的完整表达式，揭示了 ， ， 原子数的218Po214b214Bi变化规律。 ， 是两个时间因子。igi在任意时间 T 时刻的 原子数取决于：空气中 自身的浓度，取样时间218Pot，衰变时间 T。在 T 时刻 ， 原子数的多少不仅取决于上述三个因素，还与4b214Bi前一种子体的贡献有关。衰变常数是固定值，不能说明变化规律，但定量地说明了数值的大小。三、基本公式的导出放出 粒子， 放出
10、 粒子，而 是 和 的混合发射体。由 ，218Po214Pb214Bi218Po贡献的总 放射性活度为4Bi24()()()DNT3 3242 2 3 442 3421()()()ggg （3-333444 ,gdpm19）由 和 贡献的总 放射性活度为214Pb214Bi34()()()DNT2243232 3443 244()() ()vggg （3-333444 ,vdpm20）原子浓度 与放射性浓度 C 的关系是（3-/21）把关系式（3-21）分别代入式（ 3-19）和（3-20）中，有34 342 2 3 42 324421()()()()DCggg （3-333444311()
11、C22） 3424332 2 343 2442()() ()()DCvggg （3-43344311() Cv23）衰变率 D 和计数率 之间的关系为nn=DE放射性浓度 C 以 37Bq 为单位，并考虑到滤膜对 粒子的自吸收，从式（3-12）导出:3m T 时刻的 计数率 n( )为342 221()2.()(anvEKg343 432442()()g (3-24)43344311,()CCgcpm 在实际测量中,往往是测量一段时间间隔内的积分计数 ，因为这样容易操作，并()G且会减少误差，提高方法的灵敏度。这只需要把时间因子 从 积分到 即可。1T22211()iTTide12()iii（
12、3-i25）式中（3-12iiTie26）也是时间因子。只须把式（3-24）中的时间因子 换成 ，即可得到总 积分计数的表达式。i1i342 22()2.()(aNvEKCg343 4332442()()g （3-433442 24311()()CgCg 27）以 =0.227261， =0.025864， =0.035185 代入式(3-24)和(3-27)中，得2342234()(9.78541.60952.071)anvEKCggg（3-33 440)(C28）2234()2.(19.867.65910.58)aNvggg（3-3344564.0)(.C29）同理可得到 计数率和 积分计
13、数的表达式，即2234()(1.0475.672.01)nvEKggg（3-334449.868)(95CC30）2234()2.(.016.801.8)Nvggg（3-33444716096)(7)g31）式（3-28） ， （3-29） ， （3-30） （3-31 ）就是最后导出的四个基本公式，在氡子体产物测量中是至关重要的。 ， ， 是三个未知数，为待求量。 ，N 是可测定的量，2C34 n称为待测量。 ，E， ， ， 为已知量，只要测量装置和取样滤膜选定，这几个参vK数就可以定出来。变化量是时间因子 g， ， 。只与取样时间 t，计数时间 T，计数间隔有关，而这些恰恰是人为选定的。确
14、定了 t，T ， 后，即可求出12T: 12:g， ， 。将所有已知量代入公式后通过解联立方程即可求出三个未知量 ， 2C， ，进而求出氡子体潜能的浓度。所有测量氡子体浓度和子体潜能的方法都是从这3C4两组基本公式推导出来的。第四节 应用举例在实际测量中，多数是测量样品的 活度，因为测量仪器和滤材的 本底比较低，可得到较高的灵敏度，而且 粒子的能量高，产生的脉冲幅度大，电子学测量线路较容易做到，但滤膜对 粒子的自吸收修正是一个相当复杂的问题。 活度的测量受本底的干扰较严重，对测量设备的要求较高，其优点是可免去自吸收修正，因为 粒子的穿透能力强。现已推导出的测量方法中，多数是测 粒子的，但也有测
15、 粒子的。一、测量 活度1推导三点法 所谓三点法就是测量取样结束后三个时刻的 计数率，从而求出 ， ， 三种子体的放射性浓度 ， ， 。218Po214b214Bi 2C34（1）确定取样时间 规定取样时间 t=5min，求出的时间因子 g，为 =12=0.275e0.678997， =1 =0.121307， = =0.161319。3g0.25864e4g0.3578e（2）确定计数时间 规定在取样结束后 5，15，30min 时刻测样品的 计数率，得到的时间因子 为 iT 5 15 302e0.321003 0.033077 0.0010943T0.878693 0.678439 0.4
16、602804e0.838681 0.589916 0.348001把 ， 值代入式（3-28） ，即得到下列三个方程式：igi234234(5).754.178.5611090093.3.2nvEKCC 式中：n(5)，n(15)，n(30) 为取样结束后 5，15，30min 实测的样品的 计数率，变换一下上式的形式就得到了含有三个未知数的一个方程组，即（3-234.754.178.61()/09009.3.523/CCnvEK32）（3）解方程组 式（3-32 ）属于线性方程组，求解的方法中较简单的是矩阵法。现用矩阵法解之。矩阵元为=2.754.3178.564109039.2.02.834 =2C()/ .154.630/73.5421nvEK = 14.786()2.09().8(30)nnnvEK
