1、数学准备知识1 矢量代数一矢量定义（单位矢量）,AA在坐标系中 直角系 31iezyziAjk方向余弦：cos,cs,cos,coscosxyzAxyAzee3122213()i二矢量运算 加法： 交换律AB结合律()()C满足平行四边形法则31iiie标量积：31cosiABA交换律分配律()C矢量积： 123sineABAB分配律()不满足交换律混合积： 123()AABCABC双重矢积： ()()()()ABCABCAB（点 3 乘 2，点 2 乘 3） 三矢量微分 dAdtt()BABtt()dAdtt四并矢与张量并矢： (一般 )，有九个分量。BA若某个量有九个分量，它被称为张量为单
2、位并矢，张量的九个基。33,1,ijijijTAeTeij矢量与张量的矩阵表示： 或123,iAAe123(,)A1 31232121(,) iBBAABAT12133T单位张量： 1ije01张量运算： ,()iijjjiTVe与矢量点乘： ABCACBABABAC 与矢量叉乘：C并 矢并 矢两并矢点乘： (并矢)ABDABCDAB两并矢二次点乘： 标量:C与单位张量点乘： :AB课堂练习（15-20 分钟）1 计算 2BA2 求证， 与矢量 垂直。 （求 ） 。MbacCM3 计算下列各式： ()()()jik()ij（0， ， 1， 1）2b4 证明下列各式： ()()()abcdada
3、bc 0c证： ()()acbdad ()b()()0c2. 场的概念和标量场的梯度一、 场的概念：描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。或说：若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理量的确定值，就说在这空间中确定了该物理的场。 如：强度场、速度场、引力场、电磁场。描述场用一个空间中和时间坐标的函数： (,)(,)xyztxtA标 量 场矢 量 场当 与 无关时称为稳恒场（稳定场、静场） ，有关则称为变化场（时,t变场） 。当已知场函数则可以了解场的各种性质：如 随时空的变化,A关系（梯、散、旋度） 。同样已知梯、散、旋度场函数可以确定场函数（以后主要讨论的问题） 。二、标量场的梯度在 两
4、点全微分：,Mdxdyzxyzdeexyzd（ ， 方向上的单位矢量）lde（ 为 与 之间的夹角） cosd在 点方向上导致有无穷多个，其中有一个最大，即M, 定义梯度 max0,dgra意义：空间某点上标量场函数的最大变化率，刻画了标量场的空间分布特征。已知梯度即可求出 沿任一方向的方向导致。等值面： 常数的曲面称为等值面。()x梯度与等值面的关系：梯度 等值面。证： 对等值面上一点，沿等值的方向导数为零。即 的 为 ，所以 与等值面垂直。cos2三、 矢量微分算子 （直角坐标系中的表示形式）具有矢量性质，分量是微分符号。xyzee， ，不能互换xyz它可以作用在矢量上，可以作点乘、叉乘。
5、 yxzxyzxyzAAeeAey yx xz zx xyzxyzeA四、举例（1）求半径 的数值 的梯度。r1222rxyz此例中 点均可变动。一般称 为源点（一后电场中电荷所在点） 。,P P为场点（观测点） 。解：固有两个变量 和 我们可求 和,xyz,zr而12()rxr,yzxyzreer（2）求 。()解： ， ，()xx()yyzz()xyzxyzeee 3. 高斯定理与矢量场的散度一、 矢量场的通量1 矢量族：在矢量场中对于给定的一点，有一个方向，它沿某一曲线的切线方向，这条曲线形成一条矢量线，又叫场线（对静电场称为电力线） ，无穷多条这样的曲线构成一个矢量族。2 通量： 称为
6、 通过面元 的通量，记作 ，记作AdsdsdAs，有限面积 ，通量上 ，闭合曲面 ，通量上dSSAS， 方向，由面内指向面外。Ss， 场线进入的少，穿出得多，称 面内有源。0， 场线进入的与穿出得同样多，称 面内无源。=S， 场线进入的少，穿出得少，称 面内有负源。0, 有源；=0,无源，0,负0limSVAds源） 。有时表示成 （divergence） 。若空间各点处处 ，则iv 0A称 为无源场。A例题：1. 求 ，其中rxyzee32. 求 ，3r1222(0)xyzr3333rrrzr3440xyxyrrr 3. 求证： 。AA证： xyzyxzxyz A4 斯托克斯公式与矢量场的旋
7、度一、 矢量场的环量（环流）矢量 沿任一闭合曲线 的积分ALLAdl表明在区域内无涡旋状态，不闭合，0表明在区域内有涡旋状态存在，闭合，意义：用来刻画矢量场在空间某一范围内是否有涡旋存在，具有局域性质。二、斯托克斯公式（定理）（证明略）LSAdld三、矢量场的旋度当 无限缩小，它用的面积化为 时，S， L ndl A，nA， 为法线上单位矢。0limLnSdlSn定义 为矢量场的旋度，它在 法线方向上的分量为单位面A积上的环量。刻画矢量场场线在空间某点上的环流特征。若空间各点，则 称为无旋场。0例：1. 3r解： 它的 分量为x33zyyrr3351zzzyr 335yyzzrr，同理， 30xr330yzrr2. 证明 AA证： zyxyzzyzzyxAAyxxAxyzxeeee 5. 常用的运算公式一、 复合函数的“三度”运算公式， ， dffudAudAu二、 积分变换公式高斯公式： SVVs斯托克斯公式： LSSAdldA格林公式： 第一公式 2VS第二公式 dVdS一般规则 VSSLdlA其他规则TVSVSdATVLSLddSAlddSddl一般变换规则证明：1. VSA证： 任取常矢量 点乘上式两端C左 用VVddACABB用混合积公式SS2. LddlA证： 左 SSCAC LLldl三 算符常用公式 1. 2. AA3. 4. BB5. 6. AB
