1、11. 分离变量法的实质是（ ）A.利用高斯积分面求定解。 B. 利用电荷分布求定解。 C.利用平面镜像求定解。 D. 将偏微分方程转换为常微分方程，再利用边界条件求定解。 2*在均匀外电场 EO中放置半径为 的导体球， （1）导体球上接有电池，0R与地保持电势差 ；使用分离变量法求空间电势分布 （15 分） 。 ；0解：（1）以球心为坐标原点，以外电场 EO方向建立球坐标系，当导体上接有电池，与地保持电势差 时。以地为电势零点。本题的定解问题；02且 00|cosRE其中 是未置入导体球前，坐标原点的电势.0由于此问题具有轴对称, 从 得通解2，(Rnn+1n0b(aR)P(cos)0R)根
2、据边界条件确定积分常量：先由 = 得R0Ecos=0cosRn0aP(cos)0a1En0,1+ （R ）0cosn1n0bP(cos)0再由 得0R=0 n0 0+0bEcosP(cos)R2n00+1=0bPERcosR0()310bnb0(,1)= +0Ecos 02()cos,R2. 在均匀外电场 E0中放置半径为 的导体球， （2）导体球上带总电荷0Q，使用分离变量法求空间电势分布。 （15 分）解：(2) 建立同样的坐标系；定解问题为： 重复第一问的过程，得到= +0ERcos30002()REcos由条件（4）得到 02RdsA=320002()EREcoscosd = 200
3、0= 2200R3EcosdR()d=-4 00Q()004R2R00 (1)Ecos23Qds= (4)A3代入上式代替 得0= + ， （RR ）0ERcos302ERQcos404、(本题 1分) 均匀介质球（介电常数为 ）的中心置一自由偶极矩 pf，球外充满另外一种介质（介电常数为 ），求空间各点的电势。解：问题具有对称性，泊松方程的特解是：考虑到 有限得：45、(本大题总计 10 分) 空间导体球壳的内外半径为 R1和 R2，球中心置一偶极子 p，球壳上带电 Q，求空间各点电势和电荷分布。空间导体球壳的内外半径为 R1和 R2，球中心置一偶极子 p，球壳上带电 Q，求空间各点电势和电
4、荷分布。利 r R1, r R2r0， 有限； r， r=R2rR1 ; rR2 R1 rR29*接地的空心导体球的内外半径为 ,在球内离球心为 a( )处12 R和 1aR5置一点电荷 Q，用镜像法求电势分布，导体球上的感应电荷有多少？分布在内表面还是外表面？（15 分）解:设 B 处有电荷 来代替球壳上感应电荷，在球内产生的场 1Rba所以 21ba=Q1R12 420 2/1 4coscosQRaa由于求敲及球外电场为零，感应电荷只能分布于内表面，因为 区域电1场为零故由高斯定理0IQDdsA所以 I11*、(本题 10 分) 6在接地的导体平面上有一半径为 a 的半球凸部，半球的球心在
5、导体平面上，点电荷 Q 位于系统的对称轴上，并与平面相距为 b (b a)，用电像法求空间电势。11、解：如图，利用镜像法，根据一点电荷附近置一无限大接地导体平面板和一点电荷附近置一接地导体球两个模型，可确定三个镜像电荷的电量和位置。（6 分）1122233, ; , ;Qrbarbb2 2042422 2114coscos , (0,)2QRbRbaaRaRb（4 分）7三、(本大题总计 1分) 真空中有一半径为 R0的导体球，导体球不接地而带电荷 Q0，距球心为 a (a R0) 处有一点电荷 Q，求球外电势。解：利用电像法求解。在球内有一个像电荷，b=R 02/a Q=-R0Q/a在球心
6、放置一个假想电荷 Q0-Q，导体球带总电荷为 Q0，球面为等势面，球外电势为 四（9） 、 （12 分）一个内外半径分别为 R1和 R2的接地空心导体球，在球内离球心为 a(aR1)处置一点电荷 Q。用镜象法求电势分布。四（9） 、 （12 分）解：假设可以用球外一个假想电荷 代替球内表面上感应电荷对空间电场的作用，空心导体球接地，球外表面电量为零，由对称性， 应在球心与Q的连线上。Q考虑球内表面上任一点 P，边界条件要求： P(1 分) R 1 R R0/RQ式 R 为 Q 到 P 的距离， R为 到 P 的距离，因此， O Q Q对球面上任一点，应有常数 (1 分)/只要选择 的位置，使
7、，则 O常数 aR/1设 距球心为 b，则 ，即 (2 分) /aRb/21由（2） （3）两式得: (2 分)Q1(2 分)/cos/cos24 2141220 aQa导体球壳接地，电势为 0 (2 分)从球壳外表面到无穷远都没有电荷，所以球壳外电势为 0。 (2 分)8五、 （12 分）如图所示，电容率为 的介质球置于均匀外电场 中，设球半径0E为 ，球外为真空，试用分离变量法求介质球内外电势。0R解：设球半径为 R0。以球心为原点，以 方向为极轴建立球坐标系。以 代0E1表球外区域的电势， 代表球内区域的电势， 、 均满足拉普拉斯方程，通212解为：（1 分）)(cos11 nnPRba（1 分）)(12nndc由边界条件： ， （1 分）0|ER )(coscos| 1001 RPER得： ， ， （1 分）01an)(由边界条件： 为有限， （1 分）2|R得 （1 分）nd在 处， ， （2 分）021R/210将（1） （2）代入，并比较 Pn的系数，得：， ， （2 分）30REb01Ec)1(,0ncbn由此， （1 分）23001 ososR（1 分）c2302E9五、(本大题总计 1分) 请推导真空中电磁场波动方程。五、(本题 1分) 请推导达郎贝尔方程将 和 代入麦克斯韦方程令 10
