1、110北京航空航天大学2010 年数学竞赛答案一.填空题（本题共 60 分）1. 设函数 在区间 内连续，对任意正数 ，有 ，且 ，则)(xf),0(x)(2xf5)3(f_ _)1f52. 设 则 _ _,(2xf )(5xf )1()(2!566x3. 已知 在 内可导，且 ， ，)f,limexf )1()(limli xffcxx则 _ _c214. 已知 则bapxde,0)(201)(3 ._p5. 当 满足_ _时，级数 绝对收敛.ppnn!)2(1)(416. _ _121)(lim_nxx7. 已知 ， ，且在 上有 ，则 _ _)4f0(f2,(|)(xf)9(f218.
2、计算积分 _ _10)1(222dzed1e9. 设 是八面体 的表面，则积分|zy=_ _Szx2)3(3810. 设由曲线 与直线 所围的均匀薄片(面密度为 )绕过原点的任意直线的转xy211动，则该转动惯量中的最小值为_ _54二. (本题 10 分) 设 , 试问sinsinsiR )20(111中哪一个的变动对 R 影响最大?,解 ,sin1sin1R两边取全微分 dsicosidsicod2222 iniinR222故, , dsico2dsicoR2dsincoR2由于 , 所以00sincoisinco222R因此 的变动对 R 影响最大.三、(本题 10 分) 已知 .dxx
3、ann220si)4(（1）证明 ；（2）求 .1)4(n 0na解: .dttan220cos)( dxnn220)4( 12)4(n设 ，120)(nnxxs, ,220)(Sn l)(xS所以 .4ln1)(0an四、(本题 10 分) 计算曲面积分 其中,)2(32zyxdxyd112的 部分的外侧.22)()1(6:yxz0z解: 作辅助曲面 下侧；充 分 小 ，r,:20，下侧。）（ yxyxrz4121 原式= ，1010 ,010dv,011dxy003zxyydxzr .2311310 dxyzr原式= .2五、(本题 10 分) 求最小的实数 C， 使得满足 的连续函数都有
4、10d|)(|xf.10C)(dxf解: 一方面 。101010 2|)(|2tdf()f( dtf另一方面， 取 , 则 ,nnxf)(1)(|)(|1010xnxfn而 )(2)1()(2010 ddxfn因此最小的实数 C=2.北京航空航天大学 2009 年数学竞赛试题解答一、填空题（每题 5 分）1. _24_)342(lim3nnn1132. 设 则,)1() ,0xxf _0)(limxfx3. 当 是等价无穷小，则nae ln、_61,3an4. 设 则,02uvyxdz _2)(2yxeyxz5. 设 )sin(l)( ,cosin)( Cfefx 、6. 求二重积分 1:_,
5、14_)( 222 yxDbadxybaD 、7. 已知 020 _)_( ),( ,12 dxekekx、8设曲线 起点和终点坐标依次为 、 ，则变力 沿该,:yL),1(A),0(B,2xyF曲线做功为 。_1529已知 ，则612n ._6ln20dx10设有向曲面 外侧。则积分,1:zyxzyxdd_2二、 设函数 试讨论函数 的奇偶性，并求,|)(1xdtf ,1)(xf1d114，偶函数。 .10,31,|)( 31xdtxf )(xff.2)(1f三、 设 试判别级数的敛散性.,p，因为ninppp1)(21 ,11)(0pdxnip所以级数收敛。四、计算曲面积分 .22zyxd
6、I其中 是曲面 介于两平面 之间的那部分表面的外侧。22RyR).2(R作辅助平面 上侧， 下侧，,:1z,:z 12221222 zRxdyzxdyzxdyxdyyxdI.12Rvz五、 在曲面 ： 内如何作内接长方体，才能使得长方体的体积)0(2hzbyax最大？求最大体积。 ).(h在第一卦限的 上取一点 做为长方体的顶点，则该长方体的体积为,zyx )(2zhyx设拉格朗日函数 ，)(2hL)(2zbyax,0)(42axzhy115,02)(4byzhx,y,2baxz解得 最大体积为,2,hzyh.2abh六、设函数 在 上连续，在 内可导，满足 ，且)(xf1,0)1,0( 1)
7、( ,0)(ff试证明：在 内至少存在一点 使得.210d,.证明：设辅助函数 则,)(xfF,0)1(,)0(F又由 知 ，从而存在 使得21)(10dxf0d,c,0)(c由罗尔定理知在 内至少存在一点 使得 ，即有,0)( .f北京航空航天大学2008 年数学竞赛试卷一填空题（每题 4 分，共 40 分）._)0(1lim.1xn ._)(,si)(.2243 nxfxf n的 最 大 值 为连 续 的 阶 数使则设._0arctn.3)28(fxf则设 ._5141:1:.421 、 zylzyxl116._)0,(),0(0,)1ln(),(.52 yxffxyxyxf 则设._)(
8、cossind.64022 abxa._ ,d)1ln()0(1,.7 2si0围 为 的 取 值 范则高 阶 的 无 穷 小是 比时当 xt.)0(sin.823体 积 为 轴 旋 转 所 成 的 旋 转 体 的轴 围 成 的 图 形 绕与曲 线 xxxy._ 3,214:.92 上 的 通 量 为在， 上 侧 ， 则 向 量 场设 有 向 曲 面 Ayz . )()(sin)1(2.01 2121、 、 xnxx nn 二(10 分 )求 .dsin120x)(In三(10 分 ). ,1|)(|)2(0,)( xfffxf 、.1d20四(10 分 ). .!)2(1)(1的 和 函 数
9、求 幂 级 数 nnnx五(10 分 ). 已知函数 为 上的连续函数 , 且满足方程)(xf),0117, 求 的表达式.2242d)1()(tyx yxftf )(xf六(10 分). 、 22)()(,(0 tazytSat .).22 、 tSzyx七(10 分 ). 求 ,其中 C 为曲线Czxyzdd22 xRyxRz222,(R0),若从 z 轴正向看去， C 为逆时针方向.北京航空航天大学2007 年数学竞赛试卷一、 填空题（本题共 40 分） ._243lim.11xx ._,10. 3 babaex 、 ._ 23、 、er118._)(,1,0)(ln.4 xfxf 、
10、.)3(21lim.5n n ._)0,(,_)0,(,0,0),(.622 yxyxffyxyxf 、._ln1.720、 ._,.82 、xoyzyx ._)(,)(1:.92 、 dxyfbabafDD._)!(.102nn二、(本题 10 分) 设 是 的 次多项式， 。)(xpn.0,)(21xexf1. 证明对任意的正整数 ，有 ;0)1(lim20xxep2. 证明对任意的正整数 ，有n.)(nf三、(本题 10 分) 已知函数 计算.2|:|,11|),(2 yxDyxyyf 、.),(dxyf四、(本题 10 分) .,0,22 dvzxycbazyax、五、(本题 10 分) 计算 .2)()()0,2yxdy119六、(本题 10 分) .1)( )(2,22 22、 、 zyx yxazdzxyx七、(本题 10 分) .|)(|1(|0| 1,0,0, fffx 、北京航空航天大学2006 年数学竞赛试卷一、 填空题（本题共 40 分） ._1)1(). 的 取 值 范 围 为的 无 穷 小 ， 则 常 数高 阶时 是 比当 xxxf ._)0(,)(sin2 2fxf、 _)3,2(94.32、y ._03 的 取 值 范 围 为则 常 数有 四 个 不 相 等 的 实 根 ，已 知 方 程 ccx._)(lim.520xyyx
