1、第七章 多元函数微分学一、内容分析与教学建议（一） 本章主要是把一元函数微分学中一些主要概念、理论和方法推广到多元函数，一方面充实微分学，另一方面也给工程技术及自然科学提供一些处理问题的方法和工具。在教学方法上，在一元函数微分学基础上，通过类比方法引入新的问题、概念、理论和方法，并注意比较它们的异同。（二） 多元函数、极限、连续先通过介绍平面点集的几个基础概念，引入二元函数由点函数再过渡到多元函数，并引入多元函数极限，讲清它的概念，并指出二元函数与一元函数极限点 方式的异0P同，可补充一些简单例题给出二元函数求极限的一些常用方法，如换元化为一元函数两边夹准则，运用连续性等。在理解极限概念之基础
2、上，不难得到求一个二元函数极限不存在之方法，最后可介绍累次极限与重极限之关系。（三） 偏导数与全微分1、可先介绍偏增量概念，类比一元函数，引入偏导数，通过例题说明，偏导与连续之关系，在偏导数的计算中，注意讲清分段函数分界点处的偏导数。2、可由测量矩形相邻边长计算面积实例，类比一元函数的微分，引入全微分的定义，并指出用定义判断 可微，即求极限 是),(yxfzyxzyxzyyx ),(),(lim0否为 。03、讲清教材中全微分存在的必要条件和充分条件，重点指出可微与偏导之关系，让学生理解关系式 之意义，最后可通过列表给出多元函数连续、偏导dyzxdz存在、可微之相互关系。（四） 复合函数求偏导
3、1、可先证明简单情形的全导数公式，画出函数关系图，通过关系图中“分线相加，连线相乘”法则推广至偏导数或全微分的各种情形 ， ， 从),(vufz)(x)(v中让学生理解口诀的含义。2、通过例题说明各种公式，具体方法及符号正确运用；3、通过教材中典型例题，细致讲解复合函数高阶偏导数的求法，这是个难点，并注意 求导时，注意分析函数的各种关系； 讲透符号 ， 等之涵义。1f2（五） 隐函数求偏导1、结合简单例子，讲解方程与函数之关系；2、对于 确定的隐函数存在定理，讲清三个条件和三个结论，再拓广介绍0),(yxF其它两种常见情形，其偏导数公式的证明，可只证部分结论；3、用例题说明隐函数求偏导数之三种
4、方法，公式法、复合函数法（直接法） 、微分法，要让学生理解三种方法中各种变量之相互关系。（六） 方向导数与梯度从偏导数的概念拓广到方向导数概念，并指出与偏导数之关系，其次可通过具体应用实例引入梯度之概念，可画图指出梯度与方向导数之关系，此外，顺便介绍等高线、梯度场、势场等知识加深对梯度概论的理解。（七） 多元函数微分学应用1、几何应用：（a） 通过割线及到切线概念，从而得到切线方程；（b） 曲面 上任一点 处的任何曲线，若 处切线均在一个平面上，从而引入切M平面与法线概念，并导出切平面与法线方程，举例说明它们的应用；（c） 可让学生复习有关空间解析几何直线与平面有关内容。2、极值 与一元函数类
5、比，讲述二元函数极值的必要和充分条件； 求极值问题一般分为两种情况：a 无条件条件; b 条件极值。从无条件极值到条件极值，自然地引入到“拉格朗日乘数法” ，讲解时注意此方法的基本思想、方法及步骤，另外还可优化结合起来讲解。二、补充例题例 1. 设 ， ， ，其中 都具有一阶连续偏导数，且),(yxfu0,2zeyxsin，求 .0zd解： 分别求偏导数得： )3(cos202)1(31xdydxzyeffyzx(3)代入（2） 32312yex(3)代入（1） 3231coscosyyyx exffd2sin132xff xzyx例 2. 设 是由方程 ，确定的隐函数，其中 有二阶连续偏导数
6、，),(yxz0),(f f求 .2解： 方程两边对 求偏导x，0)1(2xzyff 21fy211212 )()(fyxzffffxz 代入上式并整理得： 3221122fyffxz例 3. 设直线 ： 在平面 上，而平面 与曲面 相切于L03yab2yxz点 ，求 ， 的值.)5.2,1(ab解： 在点 处曲面法向量 ，于是切平面方程为：., 1.4,2n0)5()(zyx即 z由 ： L)(303bxazyyaxb542因而有： 524aba例 4. 已知椭球面 ， ，求椭球面上 坐标为最大222yzxzyx)0(z与最小点；求椭球面的 面上投影区域的边界曲线.O解： 由于椭球面是一封闭
7、曲面，因此椭球面上 坐标最大与最小点一定存在，且此二点z处 值就是椭球面方程所确定隐函数 的最大值与最小值.z ),(yx椭球面方程两边分别对 及 求偏导：xy02zyxzy令 ， ， 0xzyz解得： ， ，代入椭球的方程得到2xz3bax故得两点 ， baP3,21 P3,22由于椭球面确定存在 坐标最大与最小的点，因此点 与 为所求.z 12 设 是椭球面对于 面投影柱面 与椭球面切于曲线 ，则 在上，两曲面的SxOySC法向量相同都为 yzxyn,2由 ， ，即 kn0 02yz因此曲线 满足 C22yzaxx消去 即 的方程 zS2243故投影区域的边界曲线为： 022zaxyx例
8、5. 设生产某种产品必须投入两种要素 和 分别为两要素的投入量， 为产出量，12 Q若生产函数为 ，其中 ， 为正常数 ，假设两种21xQ 1要素的价格分别为 ， ，试问：当产出量为 12 时，两要素各投入多少要可以p使得投入总费用最小？解： 需要在产出量 的条件下，求总费用 的最小值，为此作拉12x 21xp格朗日函数 )()( 212121 xpF，)3(1202121xx由（1） ， （2）得： 21p故 ，代入（3） ，21xp2126x因此 1216由于此实际问题存在最小值，且驻点唯一，故当 ，1216px时，投入总费用最少.2126px例 6. 设 ，其中 具有二阶连续偏导数，求
9、， .xyfz,3f yxz22解： 214fy2z 21214 fxffx21315ffyxz2214fx214fy例 7. 设 ， 是由方程 和 所确定的函数，)()()(xfz0),(zyF其中 和 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 .fFdx解： 分别在方程的两边对 求导得：x01dxzFyffdzx即 ，xyydzFxff zyxfFfz)(例 8 求下列极限 201)ln(imyxey 1lim0yxy yxyx2li0 22lixyx解： 原式 2lnlim)(201yxeyy 令 ，当 ，t 0t原式 21lim1li00 tttt 原式 exyyx2li0 ， ，不妨
10、设 ， ，则0xy2102yx得： ，由于22102xxyxlim212x所以原式 例 9 设 ， 都是有连续的二阶偏导数axydtxyaxyz )(21)()(21试求： .2ax解： )()(21)()( axyxyaxyxyz 2xa )()(21)()(1 axyxyaxyyz 2 )()()()(a 022yzx例 10 设函数 在点 处可微，且 ， ， ， ),(fz)1,(1),(f2)1,(xf3)1,(yf，求 .,)(xfx13xd解： ),()1(f1213 xxdd 121212 ),(),(),(),()(3 xfxffxfx51三、补充练习1、证明 不存在.220)
11、(limyxyx2、设 而 ， 求 ， 及 .vuez2xyv2zydzdyzxeyyxx22243、设 ，其中 是具有二阶连续偏导数，求 . xyfz2f yxz2 231213fyxff4、设 ，其中 是具有二阶连续偏导数，求 . 2yxfzf 2xz24yxfyf 5、设 ，求 . 0xyzeyxz2 31z6、设 ， ， 求 和 .vucosveusinzxzy )cossin(),sinco( vuvezvuxuu7、求曲面 上平行于平面 的切平面方程. 9322zyx 0123yx)0923(zyx8、考察函数 在点 处是否连续？偏导数是否存在？是否可微？xyf),()0,(（连续， ， ，不可微）0),(xf),(yf9、求函数 的极值.2234yxxz( 极大值点 )0, 0,(f10、求内接于半径为 的球且有最大体积的长方体. a 高宽长32a
