1、第三章 导数与微分导数研究函数相对于自变量变化的快慢速度，微分则研究自变量发生微小变化时，函数大约变化多少，导数与微分合称为微分学。是高等数学最重要，最核心的内容之一。本章约占全书考试内容的 25%预备知识习惯用 u1 表示变量 u 的初值，用 u2 表示变量 u 的终值。因此符号 表示变量 u 的终值减初值。叫变量 u 的增加量，简称增量或改变量。由 。即变量 u 的终值等于初值加增量。当变量 y 与变量 x 有函数关系 yf（x）时，若自变量有增量 x2x1 时、可得1 导数概念在自然科学和工程及经济学中，若 y 是 x 的函数 y=f(x)，我们经常要比较 y 的增量与x 的增量，即 ，
2、即比较 相对 变化的快慢速度。如果用 表示变量 x 的初值，x 表示 x 的终值，则有一、下面我们介绍函数 y=(x)的导数的定义。定义 3.1 若 时,极限就说函数 y=f(x)在点 可导，并且将此极限值称为函数 y=f(x)在点 的导数值，记作为了方便记忆，可以简写为当极限 不存在时，就说 y=f(x)在点 处不可导。由于 所以 导数定义也可写作答疑编号 10030101：针对该题提问答疑编号 10030102：针对该题提问答疑编号 10030103：针对该题提问答疑编号 10030104：针对该题提问容易得到下面定理答疑编号 10030105：针对该题提问答疑编号 10030106：针对
3、该题提问答疑编号 10030107：针对该题提问答疑编号 10030108：针对该题提问答疑编号 10030109：针对该题提问答疑编号 10030110：针对该题提问(二)导数的力学意义在力学中，若路程 S 与时间的关系为 S=S(t),则 表示物体在时间间隔 内的平均速度。 表示物体的运动速度，即例 7 若物体运动路程 S= ,求物体的运动速度 v(t)及在时刻 t=1 时的速度。答疑编号 10030111：针对该题提问三、导数的几何意义可以证明，曲线 y=f（x）在点 M（ ）的切线斜率由 于直线过点（ ）且斜率为 k 时的点斜式方程为k（ ）所以有yM（ ）例 8 函数 y=f（x）=
4、 ,求曲线 y=f（x）= 在点 M（2，4）处的（1）切线斜率，答疑编号 10030112：针对该题提问（2）切线方程，答疑编号 10030113：针对该题提问（3）法线方程答疑编号 10030114：针对该题提问四、可导与连续的关系我们知道，函数 y=f（x）在点 处导数存在，在几何上是表示曲线在点 对应的点处有切线；而函数 y=f（x）在点 处连续，几何上是表示曲线 y=f（x）在点（ ,f（ ）处连续不间断，由此直观意义似乎可得到“若函数 f（x）在点 处可导则 f（x）必在点 处连续”。这个结论确实是正确的，下面是有关的定理和证明。定理 若函数 f（x）在点 处可导，则 f（x）必在
5、 处连续。证明 由于 存在，所以由极限与无穷小的关系知其中由此有即 ，由连续的定义知 f（x）在点 处连续。注意 该定理的逆命题不一定成立，即若 f（x）在点 处连续，不能保证 f（x）在点处可导。例如，f（x）= 在点 x=0 处是连续的，但是它在点 x=0 处是不可导的（见例6）。2 基本初等函数的导数表、导数的四则运算公式（一）基本初等函数导数表正面的结果是用导数定义求基本初等函数的导数结果，可以作为公式应用基本初等函数的导数表、导数的四则运算公式例一：利用基本初等函数导数表，求答疑编号 10030201：针对该题提问答疑编号 10030202：针对该题提问（二）导数的四则运算公式关于导数的四则运算，有下面结果，请熟记！在乘法公式中可推广为例二：求下列函数的导数答疑编号 10030203：针对该题提问
