1、第五章 定积分及其应用【内容提要1定积分的概念和性质（1）定积分的定义设 是定义在 上的函数，在区间 内任意插入 个)(xf,ab,ab1n分点 将其分成 个小区间。 记0121,nax， ，在每个小区间上任取一点 (,)iix maix，下列和式的极限 存在，且与小区间的划分及 的选取1,ii01li()niifAi无关，则称函数 在 上可积，并称该极限值为 在 上的定积)(xf,ab)(xf,ab分 ，记作 ，即 ，其中 称为被积函 dbaf01() dlim()dniafxf f数， 称为被积表达式， 称为积分变量， 称为积分下限， 称为积分上()fx ab限， 称为积分区间。,ab（2
2、）定积分的性质1）常数因子可以提到积分号外 （ 为常数） 。()d()bbaakfxfxk2）函数代数和的积分等于它们积分的代数和。 ()()()dbbbaaafgfgx3）对任意单个实数 恒有 。,cdbca cxxf4）若在区间 上，被积函数 ，那么 b()fK()()bbaaafxx特别地，当 时，1Kd5）如果在区间 上， ，则 ( )。,b()fxg()d()bbaafxgxb6）记函数 在闭区间 上的最大值和最小值分别为 和 ，则 ()fx,aMm)()d()bamfxb7） 设函数 在闭区间 上连续，则在区间 上至少存在一点 ，使()fx,ab,ab得 ()d()baff2.定积
3、分的计算（1）牛顿-莱布尼兹公式 如果函数 在区间 上连续，且 是 的任意)(xf,ba)(xFf一个原函数，那么 。()dbafxFb（2）定积分的换元法设函数 在区间 上连续，并且满足下列条件：)(f,（1） ，且 ， ；tx)(a)(b（2） 在区间 上单调且有连续的导数 ；)(,)(t（3）当 从 变到 时， 从 单调地变到 。t)(tab则有 ()d()dbafxftt（3）定积分的分部积分法设函数 和 在区间 上有连续的导数，则有)(xu)(v,d()()db baaxuvxux 3.定积分的应用实际应用时，通常按以下简化步骤来进行： （1）根据实际情况选取积分变量 ，并确定相应的
4、积分区间 。由于分割的任x,ba意性，为简便起见，对 省略下标，得 ，用 表示()iiSf()Sfxdx内的任一小区间，并取小区间的左端点 为 ，则 的近似值就是以 为底，,ba x为高的小矩形的面积，即 。用微分表示，则有微元)(xf ()dfSf（2）将所有部分量累加起来，便得到所求量 的积分表达式 ，然后()dbaSfx计算它的值。利用定积分按上述步骤解决实际问题的方法叫做定积分的微元法。1） 定积分在几何上的应用，求平面图形的面积和旋转体的体积。2） 定积分在物理上的应用，求液体的压力和变力做功。4.广义积分和 函数（1）广义积分1）无穷积分 设函数连续，若极限 存在，则称此极限值为函
5、数lim()dbafx在无限区间 上的无穷积分，记作 ，此时()fx,)a+lim()dbaffx称无穷积分 存在或收敛；若极限不存在，就称无穷积分 不存在(dfx或发散。类似地，可以定义 在无限区间 上的广义积分()f(,bdlim()dbaxfx也可定义 在无限区间 上的广义积分()fx(,)+ ()kkfxfxfx2）瑕积分 设函数 在 内连续， 是 的瑕点，有 。(),abblim()xbf若极限 存在，则称此极限值为函数 在 上的瑕积分或无界0lim()dbafx ()fx,a函数的广义积分，记作 ，并称瑕积分 收敛，即baf dba0()lim()xfx若极限不存在，则称瑕积分 发
6、散。dbaf（2） 函数将含参变量 的广义积分 称为 函数。(0)s10()ed,(0)sx【习题解答】5-1 用定积分表示下列问题中的量纲。（1）圆 的面积； 224xya（2）抛物线 ，直线 及 轴所围成的图形面积；1x（3）质量 关于时间 的减少率为 的葡萄糖代谢在 到 这段时mtd()0.5mftt1t2间内减少的质量 。解（1）2204daSx（2） 1（3） 21(0.5)dtmt5-2 根据定积分的性质比较下列积分的大小。（1） 与 （2） 与40arctnx240(arctn)dx43lndx423(l)dx（3） 与 （4） 与1d1 201cos20x解（1）当 时， ，所
7、以 ，从而41arctn0x2)(arctnrtx2400arctnd(t)dx（2）当 时， ，所以 ，从而31lnx2)(lnx44233lnd(l)dxx（3）因为 ，所以241142()（4）当 时， ，从而0x2cosx2 2001cosdxx5-3 求下列导数。 （1） ； （2） ；0dsinxtcosartndext（3）由参数方程 所确定的函数的导数 ；022tutdey xyd（4）由方程 确定的函数 的导数 。1sind200xtt )(y解 （1） 220dsinixtx（2）cosartnextcosarctn21iexx（3）242d()tytx（4）方程 两边关于
8、 求导得 ，即1dsin200xytt x22sin0yx2siny5-4 计算下列定积分。（1） ； （2） ；22d(3-)x 320edx（3） ； （4） ；4sin10x（5） ； （6） ；102dx 321d（7） ； （8） ；120arctn()x（9）设 ，求 。 0 ,)(2xexf 3 1d)2(xf解 （1） =221d(3-)3（2） =0ex 320e()ed()xx22（3） =41dsinx44211ddsin(sinco)xx4213d()cot48sin()x（4） =10dex112200eexxx10arctn()arctne4x（5）令 ，则 =t3
9、103d213()dtt14233()5tt（6）令 ，则 =txan321dx3 344 coslnsitt 12ln（7）令 ，则 =t214 42codisi6tt （8） =10arcnd()x20arctn()x 21 100rtdrta(rctan)6x（9）令 =,2xt3 1)(xf101210()()dexft304e-=+3x5-5 利用函数的奇偶性计算下列定积分。（1） ； （2） ；4sindx 42cosdx（3） ； （4） 。3254i1x(s5in2)da x解（1）因为 为奇函数，所以sin4d0x（2） 42cosdx 242200cosdcosdxx2 2
10、220011csx220 0cosd()o4dxx22001incs()4x3si41320x（3）因为 为奇函数，所以2sin43x3542id01（4）利用定积分的线性性质可得, (cos5in)axx cosd5sind2aaaxxx而前两个积分的被积函数都是奇数，故这两个定积分值均为 0，则 (si2)a 24aal5-6 计算下列定积分。（1） ； （2） ；20edx 10ln()dx（3） ； （4） ；arctn 2ex（5） ； （6） ；40d1os2x41lndx（7） 。e1lnx解 （1） 20dx1 122200eedxxx2120344x（2）10ln()dx12
11、0ln()d2x120l()x10ln2()d4x（3）10arctdx 2120arctx1（4） =2()ex22 2000edeedxxxx 26（5） =40d1cosx442001dtancosxx4 40 011ln2tantlcos828x （6）41lndx412ldx412ldlnxx41ldx1428ln8ln4（7） ，因为e1e1 1eldldlxxx11eelnlx21eee11ldldx故 。e e111e 2lnlnl1exx5-7 求由下列曲线所围的图形的面积。（1） 及直线 所围图形的面积；yx,20yxy（2） 分割 成两部分图形的各自面积；2xy28y（3
12、） 与直线 所围图形的面积；,xxe1（4） 轴与直线 所围图形的面积。ln,yln,l(0)yaba解 （1）如图 4-1 所示，解方程组 ，得交点 ，所求面积为xy(1,)22 211 3()dlnlAx图 4-1（2）如图 4-2 所示，解方程组 ，得交点 、 ，所求上半部分面积28xy(2,)(,为.2210 4()d3xA上所求下半部分面积为.48()63S下 圆 上图 4-2（3）如图 4-3 所示，解方程组 ，得交点 ，所求面积为xye(0,1)1 1100()d2xxAe图 4-3（4）选为 积分变量，如图 4-4 所示，所求面积为ylnlndbyybaaAe图 4-45-8 求由下列曲线所围的图形的面积。（1）求圆 所围图形的面积； 2cosra（2）求三叶线 围成的图形面积。in3解（1） 22 224d(1cos)dAaa（2） 233001cos(6)44a5-9 求下列旋转体的体积。（1）由曲线 和 所围成的图形绕 轴旋转后所得旋转体体积；2yx2yy（2）由 所围成的图形，绕 轴及 轴旋转所得的两个不同的旋转体3,0x的体积。解（1） 1220 3()()d10Vyy（2）如图 4-5 所示，绕 轴旋转所得的旋转体的体积为x2267200018dVxx绕 轴旋转所得的旋转体的体积为.y 28822300dy yy
