1、习 题 六（A）2不计算积分，比较下列积分值的大小（1） 与 （2） 与xd20310 xd23131（2） 与 （4） 与ln43xd)(ln243 sin0xd20解：（1）由定积分的比较性可知在 范围内 ，所以前者大于后者1) ,(3（2）由定积分的比较性可知在 范围内 ，所以前者小于后者3 2x（3）由定积分的比较性可知在 范围内 ，所以前者小于后者4),( 2)(ln1a（4）由定积分的比较性可知在 范围 ，所以前者小于后者）2 ,0xsi3用定积分性质估计下列积分值（1） （2） （3） （4）xde2-0 xd)sin1(245 xd150xdsin20解：（1）因为 在 范围内
2、的最大值为 1，最小值为2xe1 ,0 1e所以由定积分的估值定理可知：dxedxl102010 1201dxe（2）因为 在 的最大值为 2，最小值为 1。x2sin1245 ,所以由定积分的估值定理可知：dxxdx)sin1(l 45245452)si(45dx（3）设 xf1)(5则 )1(290)( 44 xxxf 令 0 则 01 ,)91(4xx解得： 910x, 所以 在 上单调递增)(f) ,所以 在 的最小值为 0，最大值是x10 2所以由定积分的估值定理可知： dxxdx210501（4）易证： xtansi得到： xco1in1，从中20xsix由定积分性质有： dxxx
3、d1sincos202020i14利用定积分的几何意义计算下列积分（1） （2）dx2 dx)21(解：（1）该定积分的几何意义是以原点为圆心 为半径的一个圆面积的一半，且在 x 轴的上方所以原式 21R（2）该定积分的几何意义是以 为圆心，以 1 为半径的一个圆面积的四分之一加一个1) ,(边长为一的正方形的面积所以原式 24R5求下列函数的导数（1） （2）texfd)(212 dtxfxe)1ln()(2（3） （4）tfx3 tsi)(30tf解：（1） 4342 )( xxeef（2）设 xadtF)1ln()(2 )ln()l(e F 22xxef x（3）设 xatg2)(则 n
4、mxf x ,33令 enmgf 21 )( )( ) 6（4）提示： xxx tdtdtdt 030303 sinsisi6求下列极限（1） （2）txxdsin01lim23 txxdarcn01lim2（3） （4）ttx d)11(li 2 tx)1l(li（5） （6）txd)2sin1(lim0 21)(dlnlimxt（7） （8）20lixtxe tetxxd)(li20（9） xxtarcnsidlim20解：（1）原式 dtx230si1li 203sinlmx1（2） 原式 txarcli20 arctli0x2（3）原式 2031limx )1(3li 2220xx31
5、（4）原式 lim)1ln(i)1ln(i 20020 xxx（5）2sin2i101010 )s(lim)2sin(li)2sin(lim exxxdt xxx （6） 21)(lnlixdt21lnimx412li1lni2xx（7） eetxdtexx202li0li 12lim2li2linli 222222 00 xxxtxxtxtx eededede（8）原式 dtextx2)(lim021)(li2xex（9） 36lim31lili 20030et xxxx原7设 在 上连续，且)(xFb ,a0)(xf tftfFxbxad)(1)(求证：（1） ；2)( x（2） 在 内有
6、且仅有一个实根Fb ,a解：证明：（1） .2)()(11)( 2xfff(x)x（2）因为 上单调增加，又因为b ,aF()在 0)(1)(1detfdetfaFbab0)()(dtfba又因为 在区间 上连续Fx ,ba所以在区间 内只有一个实根 ,8设 为连续函数，且存在常数 满足)(xf adtfxa-)(e1求 及常数 )(xfa解：对等式两边求导，得： )(1xfex所以 .在 中令 x=a1)(xef dtfaxx-)(aln10所以 1a9设 ，说明 xdtfxcos1)(0 1)(20dxf提示：在 两边对 x 求导可得tfxcs)(0din10用牛顿-莱布尼茨公式计算下列积
7、分（1） （2） （3） （4）38dxxed)(1dxe21)(ln xd1arcsin22（5） （6） （7） （8）cos01 24x0x（9） （10） （11） （12）xedln21xdtan36 d36tanx241（13） （14） （15） （16）xdsin20 xd2sin10 xxd)sin(co224 ,1max3解：（3） 1)(ln3)(lln)(ln22121 exdxdxee （4） xddxarcsinri1arcsin212 )361(2arcsi21x（5） 2sin0icoscos cos2200 xdx（6） 51012012 xxddx（7） 3
8、arcsin421（8） 800xtgxd（9） xdexddeee ln21ln21l121 )3(21)(ln2)1( exe（10） 3l6coslnta36xxd（11） dxdxxd)1(seclcos1tan236236236 )63()(632（12） dxdxxdx )112)1( 4141241 12ln（13） )2(sin)sin(sin266020 62)1cos(06)cs21( xx 12314. dxdxdxdx )cos(in)sin(cocosin2sin1 44000 （15） 24sin 1)si()sin (1)sin(co224224 xxdxdx（1
9、6） 3210l ,1ma23123 xdxdx11设 ，问 取何值时， 取极大值或极小值ttxfde)l()(20x)(xf解： xxef 22)1()1() 因为 在 ， 上大于 0，在 内小于 0 xf,0 ,- ,1) ,(所以 在 上单调递增，在 内单调递增)()(1( ,所以当 时， 取极大值， 时， 取极小值。f1xf(x)12设 xxIIxId)cos(sin)(idcos1in52322比较 的大小321 ，II解：利用奇函数的性质可知 ,01I.0coscossin222 xdxdI523(sicos)Ixx2csx20d2o0d312I13用换元积分法计算下列各定积分（1
10、） （2） （3）xdcosin20 xe1d3ln0 xeln1d2（4） （5） （6）320)1(xxd21ad20（7） （8） （9）21dx xde0 xd)costan(l40（10） （11） （12）dln36e xxln)1(e xsi920（13） （14）12x d5231解：（1）令 , 原式tcost21 .21arctn（2）令 ，则 . ，时 ； ，时tex1)1ln(2tx3lnx2t0xtdt2原 2l（3）= xdeln121l2e3（4）令 ta404032cossetdt原 2（5）令 xc dtttt )1(secansean230230230 原
11、3（6）令 ti 20420420242024 sinsi)si1(icos tdtattdta原441631a（7）令 ，则积分区域为 到 txan433434234 cotslncsset)(c tdt 原（）令 tex 21lnln11221110 eetdtt dttxeex（9）令 则xtcoslnxa2l0t原（10）令 则xtle 146)23(9233616 tdtde（11）令 ,则积分上下限变为 与1.txln 1241212 )()(l)1( tdtdde令 积分上下限为:xtsec2a3rcos.32lntelnetan1 333 aaa xxd原（12） 0sisi9
12、920xd（13）令 则tec .23costans13423422 tdx（14）令 t412ln)04(2ln10arct2ln142ln1 )(5320 22020 dtt dtttdtxx14用分部积分法计算下列各定积分（1） （2） （3）xed20 xexd)(1 xed)1ln(0（4） （5） （6）)(ln31 eln1 si20（7） （8） （9）xdarct0xed)(l22 xexd)34(210（10） （11） （12）xe23ln0 xsin0 x)sin(l2e1（13） （14）darcsin12 xdl21e解： （2） dxedxe)()(1001 xe210（3）= 20ln dxln(（4） xex1l31)(l2（7） 20arctn2xd )10arctn(2dxx)1(4120 01arctn424（8） )(ln2xde原 2)()(lexdx原（9） xe210)34(2 4013412e（10）令 得，t.2ln0dt原（11） xdxdsisin20 )cos2cos()cscos(0 xdxxx
