1、1第六章 理想流体动力学6-1 平面不可压缩流体速度分布为Vx=4x+1；Vy=-4y.(1)该流动满足连续性方程否? (2) 势函数 、流函数 存在否?（3）求 、 解：（1）由于 ，故该流动满足连续性方程04yVx（2）由 z= ( )= 0, 故流动有势，势函数 存在，由于该1)(21流动满足连续性方程， 流函数 存在，.（3）因 Vx =4x+1yxVy= =- =-4yd= dx+ dy=Vxdx+Vydy=(4x+1)dx+(-4y)dyxy= d= dx+ dy= Vxdx+Vydy= (4x+1)dx+(-4y)dy=2x2-2y2+xd= dx+ dy=-Vydx+Vxdy=
2、4ydx+(4x+1)dyxy= d= dx+ dy= -Vydx+Vxdy= 4ydx+(4x+1)dy=4xy+y6-2 平面不可压缩流体速度分布:Vx=x2-y2+x; Vy=-(2xy+y).(1) 流动满足连续性方程否? (2) 势函数 、流函数 存在否? (3)求 、 .解：（1）由于 + =2x1（2x1）0，故该流动满足连续性方程，流动存在.xVy(2）由 z= ( )= 0, 故流动有势，势函数 存在，2x)2(y由于该流动满足连续性方程，流函数 也存在.2（3）因 Vx= = = x2-y2+x, Vy= =- =-(2xy+y).yyxd= dx+ dy=Vxdx+Vyd
3、y=(x2-y2+x )dx+(-(2xy+y).)dyx= d= dx+ dy= Vxdx+Vydy = (x2-y2+x )dx+(- (2xy+y)dy = -y3xxy2+(x2-y2)/2d= dx+ dy=-Vydx+Vxdyxy= d= dx+ dy= -Vydx+Vxdy = (2xy+y)dx+ (x2-y2+x)dy =x2y+xy-y3/36-3 平面不可压缩流体速度势函数 =x 2-y2-x,求流场上 A(-1,-1),及 B(2,2)点处的速度值及流函数值解: 因 Vx= = =2x-1，V y ，由于 + 0，该流动xyxxVy满足连续性方程，流函数 存在d= dx
4、+ dy=-Vydx+Vxdyxy= d= dx+ dy= -Vydx+Vxdy= 2ydx+(2x-1)dy=2xy-yxy在点(-1,-1)处 Vx=-3; Vy=2; =3在点(2,2)处 Vx=3; Vy=-4; =66-4 已知平面流动流函数 =x+y,计算其速度、加速度、线变形率 xx, yy, 求出速度势函数 .解： 因 Vx= = = 1 xyVy= =- =-1d= dx+ dy=Vxdx+Vydyxy3= d= dx+ dy= Vxdx+Vydy= dx+(-1)dy=x-yxyvyx,ax= ；0yVxtVday= xty6-5 一平面定常流动的流函数为(,)3y试求速度
5、分布，写出通过 A（1，0），和 B（2， ）两点的流线方程.3解： , xvyyvx平面上任一点处的速度矢量大小都为 ，与 x 和正向夹角都是22()。0arctn(3/1)6A 点处流函数值为 ，通过 A 点的流线方程为 。同3013xy样可以求解出通过 B 点的流线方程也是 。3xy6-6 平面不可压缩流体速度势函数 =ax(x 2-3y2),a0,试确定流速及流函数,并求通过连接A(0,0)及 B(1,1)两点的连线的直线段的流体流量.解： 因 Vx= =a(3x2-3y2)xyVy= =- =-6axyd= dx+ dy=-Vydx+Vxdy=6axydx+a(3x2-3y2)dyx
6、y= d= dx+ dy= -Vydx+Vxdy= 6axydx+ (3x2-3y2)dy =3 x2y-ay3aa4在 A(0,0)点 A=0； B（ 1,1）点 B=2a，q= A- B=-2a.6-7 证明以下两流场是等同的，()=x 2+x-y2, ()=2xy+y.证明:对 ()=x 2+x-y2Vx= =2x+1xVy= =-2yy对 () =2xy+yVx =2x+1yVy=- =-2yx可见 与 代表同一流动.6-8 已知两个点源布置在 x 轴上相距为 a 的两点，第一个强度为 2q 的点源在原点，第二个强度为 q 的点源位于（a, 0）处，求流动的速度分布（q 0） 。解:
7、两个流动的势函数分别为 及 , 合成流动的势函2/12)ln(yq2/12)ln(yaxq数为 + , +2/12)ln(yx/ax(vx2/1)lnyxq)=2/12)laq22)(yqy( + )=yvy2/12)lnxq2/12lnax22)(yaxq6-9 如图所示，平面上有一对等强度为 的点涡，其方向相反，分别位于（0，h） ，)(（0，-h）两固定点处，同时平面上有一无穷远平行于 x 轴的来流 ，试求合成速度在原v点的值。解: 平面上无穷远平行于 x 轴的来流 , 上,下两点涡的势函数分别为 ，v xv5, , 因而平面流动的势函数为)/arctn(2xhy )/arctn(2xh
8、y xv+ , /t /t 22)(hyxvx , + ,将原点坐标(0,0)22)(hyxyv22)(hyx22)(代入后可得 , .x0y6-10 如图，将速度为 的平行于 x 轴的均匀流和在原点强度为 q 的点源叠加，求叠加后v流场中驻点位置。解: 均匀流和在原点强度为 q 的点的势函数分别为 及 , 因而平面流动xv2ln2yxq的势函数为 + , , xv2ln2y2xvy,令 , 得到 , . 2yxq0,yx vq0y6-11 如图，将速度为 的平行于 x 轴的均匀流和在原点强度为 q 的点源叠加，求叠加后流v场中驻点位置, 及经过驻点的流线方程.解: 先计算流场中驻点位置.均匀
9、流和在原点强度为 q 的点的势函数分别为 及 , 因而平面流动的势xv2ln2yxq6函数为 + , , ,xv2ln2yq2yxqvxv2yxq令 , 得到 , .此即流场中驻点位置. 0,yx v0均匀流和在原点强度为 q 的点的流函数分别为 , ,因而平面流动的流函数yv)arctn(2xyq为 + , 在驻点 , 因而经过驻点的流线方程为 +yv)arctn(2xy0yv=0)arct(xq6-12 一强度为 10 的点源与强度为-10 的点汇分别放置于（ 1，0）和（-1 ，0） ，并与速度为25 的沿 x 轴负向的均匀流合成，求流场中驻点位置。解: 均匀流, 点源与点汇的势函数分别为 - , , x255.2)ln(y, 因而平面流动的势函数为 + -5.02)1ln(20y x2)1(lnyx,2)1(205yxvx 2)1(0yxy2)(2)(令 , 得到 , .此即流场中驻点位置.0,yxv15/x0y
