1、4 旋转曲面的面积(一) 教学目的：理解微元法的基本思想和方法，掌握旋转曲面的面积计算公式(二) 教学内容：旋转曲面的面积计算公式基本要求：掌握求旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的旋转曲面的面积；掌握平面曲线的曲率的计算公式(三) 教学建议：要求学生必须熟记旋转曲面面积的计算公式，掌握由参数方程定义的旋转曲面的面积一 微元法用定积分计算几何中的面积，体积，弧长，物理中的功，引力等等的量，关键在于把所求量通过定积分表达出来. 元素法就是寻找积分表达式的一种有效且常用的方法. 它的大致步骤是这样的：设所求量 是一个与某变量(设为 x)的变化区间 有关的量，且关于区间 具有可加性. 我
2、们就设想把 分成 n 个小区间，并把其中一个代表性的小区间记坐， 然后就寻求相应于这个小区间的部分量 的近似值（做这一步的时候，经常画出示意图帮助思考），如果能够找到 的形如 近似表达式（其中 为上的一个连续函数在点 x 处的值， 为小区间的长度),那么就把 称为量 的元素并记做 ，即 dxfU)(以量 的元素作为被积表达式在 上进行积分，就得到所求量 的积分表达式：badxf)(例如求由两条曲线 (其中 )及直线 所),)(21fyxfy,21baCfbxa,为成图形的面积 A.容易看出面积元素 于是得平面图形dxxfDA|(|的面积为bafxf ,)()(21 baff|)(|21采用微元
3、法应注意一下两点：1）所求量 关于分布区间 具有代数可加性.2） )()(xofU对于前面所讲过的平面图形的面积、立体体积、曲线弧长相应的微元分别为： xysSV21)(|二 旋转曲面的面积5 定积分在物理中的某些应用(一) 教学目的：掌握定积分在物理中的应用的基本方法(二) 教学内容：液体静压力；引力；功与平均功率基本要求：(1)要求学生掌握求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式(2) 较高要求：要求学生运用微元法导出求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式(三) 教学建议：要求学生必须理解和会用求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式1 变力沿直线所作的功 从物理学知道，如果物体在
4、做直线运动的过程中受到常力 F 作用，并且力 F 的方向与物体运动的方向一致，那么，当物体移动了距离 s 时,力 F 对物体所作的功是 SW如果物体在运动过程中所受到的力是变化的，那么就遇到变力对物体作功的问题，下面通过例 1 说明如何计算变力所作的功例 1 把一个带电量为 的点电荷放在 轴的原点 处，它产生一个电场，并对周围的电荷产生作用力，由物理学知道，如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点 为 的地方，那么电场对它的作用力的大小为 （ 是常数），如图，当这个单位正电荷在2rqkF电场中从 处沿 轴移动到 处时，计算电场力 对它所做得功.)(bar解 在上述移动过程中，电场对这个单位正
5、电荷的作用力是不断变化的，取 为积分变量，它的变化区间为 ，在 上任取一小区间 ，当单位正电荷从 移动到时，电场力对它所作的功近似于 ，从而得功元素为drkq2于是所求的为例 2 某水库的闸门形状为等腰梯形，它的两条底边各长 10m 和 6m,高为 20m,较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力。解 如图 3.9.2 以闸门的长底边的中点为原点且铅直向下作 轴,取 为积分变量，它的变化范围为 .在 上任取一个小区间 ,闸门上相应于该小区间的窄条各点处所受到水的压强近似于 ,这窄条的长度近似为 ,高度为 ,因而这一)/(2mkNxg510x窄条的一侧所受的水压力近似为这就是压力元素，于
6、是所求的压力为例 3 设有一根长度为 、线密度为 的均匀细直棒，在其中垂线上距棒 单位处有一质量为 的质点。试计算该棒对质点 的引力解 取坐标系如图 3.9.3 所示，使棒位于 轴上，质点 位于 轴上，棒的中点为原点 ，取 为积分变量，它的变化区间为 。在 上任取一小区间 ，把细直棒上相应于 的一段近似的看成质点，其质量为 ，与 相距，因此可以按照两质点间的引力计算公式求出这段细直棒对质点 的引力的大小为从而求出 在水平方向分力 的近似值，即细直棒对质点 的引力在水平方向分力的元素为 xF2/32)(yadmkdFx于是得到引力在水平方向的分力为上式中的负号表示 指向 轴的负向，又由对称性知，
7、引力在铅直方向分力为 平均值内容概述：本节介绍函数的平均值求法学习时数：2学习目标：了解平均值的求法学习要点：函数的算术平均值、函数的加权平均值、函数的均方平均值学习基础：微积分基本定理函数的算术平均值在实际问题中，常常用一组数据的算术平均值来描述这组数据的概貌。例如，对某一零件的长度进行次 测量，测得的值为 。这时，可以用 的算术平均值作为这一零件的长度的近似值。但是，在工程技术与自然科学中，有时还要考虑一个连续函数在区间 上所取得“一切值”的平均值。例如求交流电在一个周期上的平均功率就是这样的例子。下面就来讨论如何规定即计算连续函数 在区间 上的平均值。先把区间 分成 等分，设分点为每个小
8、区间的长度为 ，设在这些分点处 的函数值依)1,2(ninabxi 次为 ，那么可以用 的平均值ny,21 y,1来近似表达函数 在 上所取的“一切值“的平均值 ,如果 取的比较大,那么上述平均值就能比较确切地表达函数 在 上所取的“一切值 “的平均值.因此自然地,我们就称极限为函数 在区间 上的算术平均值(简称平均值). 现在因此得连续函数 在区间 上的平均值 等于函数 在区间 上的定积分除以区间 的长度 , 即(3.10.2)请读者注意我们是怎样从有限多个数值的算术平均值的概念出发,演化出连续函数在一个区间上的平均值的定义的,其中关键之举是使用了极限方法.函数的加权平均值我们以商业中的一个
9、问题为例来讨论函数的加权平均.假设某商店销售某种商品,以每单位商品售价 元,销售了 各单位商品,调整价格后以每单位商品售价 元, 销售了 个单位商品. 那么,在整个销售过程中 , 这种上平的平均售价为(元)21qp这种平均成为加权平均. 一般地设 为实数, ,称ny,2 nk,21为 关于 的加权平均值,其中 称为资料数据ny,21 nk,21 ny,21称为权数. 当 时, 加权平均就是算术平均。k )(ii现在我们讨论连续变量的情形. 假设某商店销售某种商品, 在时间段 内, 该商品的售价与单位时间内的销售量都与时间有关. 如果已知在时刻 时, 售价 , 单位时间内的销售量 , 那么如何计
10、算这种商品在时间段 上的平均售价呢? 下面我们用元素法分析, 并且给出他的计算方法.在区间 上任取一小区间 . 在这短暂的时间间隔内, 这种商品的售价近似于 , 销售的数量近似于 , 因此, 在这段短暂的时间间隔内 , 销售这种商品所得到的收益近似于 ，这就是在 这段时间内销售这种商品所得收益的元素 于是, 在 这段时间内销售这种商品的总收益与销售总量分别为与 21)(TdtqpR21)(TdtqQ从而这段时间内这种商品的平均售价为一般地,如果 , , 且 那么成为函数 关于权数 在区间 上的加权平均值.若令 , 加权平均就变成了算术平均定积分问题1:曲边梯形的面积问题2:变速直线运动的路程存
11、在定理 广义积分定积分的性质 定积分的计算法牛顿-莱布尼茨公式 )()(aFbdxfba定积分小结积分学的背景 积分学的工作由求面积开始.早在古希腊时期，阿基米德就求过抛物线下的方形面积.我国刘徽的割圆术,也是同一思想.18 世纪英国伟大的物理学家、数学家牛顿从运动学的角度出发创立了微积分学.他认为线是点连续运动的结果,运动质点的轨迹是一条曲线;变量就是量的连续运动,变量的无穷小增量为“瞬“,他给出了求一个变量关于时间的瞬时变化率的普遍方法,并且证明了面积可以由求变化率的逆过程得到.与牛顿几乎是同时创立微积分的德国数学家莱布尼兹是从几何学的角度来考虑问题的.他很早就意识到,求曲线的切线的斜率依
12、赖于纵坐标的差值与横坐标的差值之比，而求面积则依赖于在横坐标上无穷小区间的纵坐标之和或无限窄矩形之和.并且这种求差与求和的运算是互逆的.由此可知,莱布尼兹是将微分看承变量相邻无限小的差,而积分则是由变量分成无穷多微分之和.他引进了记号“ “,“ “表示微分，“ “表示积分， 和 是互逆的运莱布尼兹刘 辉算.莱布尼兹是历史上最伟大的符号数学家之一,他所创立的微积分符号对飞机粉的传播和发展产生了很大的影响，并且一直沿用至今.下面我们来看看微积分名称的由来.牛顿称微积分为流数法(fluxious),这个名称后来逐渐被淘汰了.莱布尼兹使用“差的计算“(Calculus differentialis)与
13、“求和运算“(Calculus summatorius)的术语.莱布尼兹的朋友瑞士数学家约翰 伯努利主张把“求和运算“改为“求整运算“,它就成为专门术语“积分学“(integral calcullus)的来源.两者合起来叫做微积分,英文里简称“Calculus“,在本章和下一章里，我们分别来学习不定积分(Indefinite integral calculus)和定积分(Definite integral calculus)牛 顿（I.Newton 1642.12.251727.3.3）英国数学家和物理学家出生在一个农民家庭，出生前父亲就去世了，三岁时母亲改嫁，由外祖母抚养。1661 年入剑桥
14、大学，1665 年获学士学位，1668 年获硕士学位。由于他出色的成就，1669 年巴鲁（Barrow）把数学教授的职位让给年仅 26 岁的牛顿。1703 年被选为英国皇家学会会长。牛顿一生成就辉煌，堪称科学巨匠。最突出的有四项重大贡献：创立微积分，为近代数学奠定了基础，推 动了整个科学技术的发展。他发现了力学三大定律，为经典力学奠 定了基础；他发现了万有引力为近代天文学奠定了基础；他对光谱分析的实验，为近代光学奠定了基础 。他的巨著自然哲学的数学原理影响深远，他被公认为历史上伟大的科学家。可惜他晚年研究神学，走了弯路。黎 曼（B.Riemann 1826.9.17-1866.7.20）德国数
15、学家，出生在德国一个乡村牧师家庭，在哥廷根大学和柏林大学学习，1851 年获博士学位 1859 年任教授，1886 年因肺结核去世。他四十年的生涯中，在数学许多分支，都作出了划时代贡献。他在1851 年的博士论文“复变函数论的基础”给出了保角影射的基本定理，是几何函数论的基础，1854 年定义了黎曼积分，又提出了关于三角级数收敛 的黎曼条件。同年在他的另一篇论文中引入 n 维流形和黎曼空间的概念，并定义了黎曼空间的曲率，开辟了几何学的新领域。1857 年他在关于阿贝尔函数的论文中，引入了黎曼面概念，奠定了复变函数的几何理论基础，1858 年他关于素数分布的论文，用黎曼函数论述了素数的分布，开辟
16、了解吸函数论。在此论文中还提出了柯西函数零点分布的牛 顿黎 曼黎曼猜想，至尽还未解决。他在非欧几何、偏微分方程、理论物理、椭圆函数论等方面都有杰出贡献，不愧是一位具有开拓精神的伟大数学家。小知识：中国古代数学对微积分创立的贡献微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积分与微分的互逆关系 。最后一步是由牛顿、莱布尼兹完成的。前两阶段的工作，欧洲的大批数学家一直追朔到古希腊的阿基米德都作出了各自的贡献。对于这方面的工作，古代中国毫不逊色于西方，微积分思想在古代中国早有萌芽，甚至是古希腊数学不能比拟的。公元前 7 世纪老庄哲学中就有无限可分性和极限思想；公元前 4 世纪墨经中有了有
17、穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念。刘徽公元 263 年首创的割圆术求圆面积和方锥体积，求得 圆周率约等于 3 .1416，他的极限思想和无穷小方法，是世界古代极限思想的深刻体现。微积分思想虽然可追朔古希腊，但它的概念和法则却是 16 世纪下半叶，开普勒、卡瓦列利等求积的不可分量思想和方法基础上产生和发展起来的。而这些思想和方法从刘徽对圆锥、圆台、圆柱的体积公式的证明到公元 5 世纪祖恒求球体积的方法中都可找到。北宋大科学家沈括的梦溪笔谈独创了“隙积术”、“会圆术”和“棋局都数术”开创了对高阶等差级数求和的研究。特别是 13 世纪 40 年代到 14 世纪
18、初，在主要领域都达到了中国古代数学的高峰，出现了现通称贾宪三角形的“开方作法本源图”和增乘开方法、“正负开方术”、“大衍求一术”、“大衍总数术”（一次同余式组解法）、“垛积术”（高阶等差级数求和）、“招差术”（高次差内差法）、“天元术”（数字高次方程一般解法）、“四元术”（四元高次方程组解法）、勾股数学、弧矢割圆术、组合数学、计算技术改革和珠算等都是在世界数学史上有重要地位的杰出成果，中国古代数学有了微积分前两阶段的出色工作，其中许多都是微积分得以创立的关键。 中国已具备了 17 世纪发明微积分前夕的全部内在条件，已经接近了微积分的大门。可惜中国元朝以后，八股取士制造成了学术上的大倒退，封建统治的文化专制和盲目排外致使包括数学在内的科学日渐衰落，在微积分创立的最关键一步落伍了。
