1、向量组的线性相关性1.1 向量组的线性相关性的概念与判定1.1.1 向量组的线性相关性概念定义 1： 给定向量组 ,如果存在不全为零的数 ,使12(,)mA 12,mk120kk则称向量组 是线性相关的, 否则称它是线性无关的.A定义 2：若向量组 中每一个向量 都可由向量组(1,2)it线性表示，则称 可由 线性表示。若两个向量组可互相线性表1,sB AB示，则称这两个向量组等价.性质：向量组的等价具有 1）反射性；2）对称性；3）传递性.定义 3： 向量组 称为线性无关，若它不线性相关，或：由s,，120skk则必 。即： 只有唯一零解.021sk 12sxx定义 6：一向量组的一个部分组
2、称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的,并且从这向量组中任意添一个向量（如果还有的话）.所得的部分向量组都线性相关.定义 7：一个向量组的极大线性无关组所含向量个数称为这个向量组的秩数.性质：1.向量组 线性无关 秩 .r,1 r,1 向量组 线性相关 秩 .r r 2.等价向量组的秩数相同. 中向量组的极大线性无关组的求法 .nP注意 1: 对于任一向量组而言, 不是线性无关的就是线性相关的.注意 2: 若 线性无关, 则只有当 时, 才有12m 120m120m成立.注意 3: 向量组只包含一个向量 时,若 则说 线性相关; 若 , 则0说 线性无关.注意 4: 包含零向量
3、的任何向量组是线性相关的.注意 5: 对于含有两个向量的向量组, 它线性相关的充要条件是两向量的分量对应成比例, 几何意义是两向量共线; 三个向量线性相关的几何意义是三向量共面.1.1.2 线性相关性的判定向量组 (当 时)线性相关的充分必要条件是 中12,m212,m至少有一个向量可由其余 个向量线性表示.1证明: 充分性. 设 中有一个向量(比如 )能由其余向量线性表示, 2,m m即有 121m也就是 因 ,(-1)这 个数不全()0mm121,m为 0,故 线性相关.12,必要性. 设 线性相关. 则有不全为 0 的数 ,使12,m 12,mkmkk不妨设 , 则有10k32111()
4、()().mkk即 能由其余向量线性表示. 证毕 11.2 向量组线性相关性的性质和应用 1.2.1 向量组线性相关性的性质：1.含零向量的向量组必线性相关，即 线性相关.s,1s0112.一个向量组若有部分向量线性相关，则此向量组线性相关。 （即：部分相关，整体相关）3.若一个向量组线性无关，则它的每个非空部分向量线也线性无关。 （即：整体无关，部分无关）4. 线性相关 ， （ 线性无关 ） 5. 线性相关 ，或 线性无关, )(P, )(P6. 中单位向量组线性无关.nP7.向量组 线性相（无）关 齐次线性方程组i ),(21inia ),21(s有（无）非零解。 0 21221snnsx
5、axa 8.若向量组 线性相关.则向量组 ,1 ),( 21siiii也线性相关. , 21inii1.2.2 线性相关性在线性方程组中的应用若方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时,这个方程就是多余的, 这时称方程组(各个方程)是线性相关的; 当方程组中没有多余方程, 就称该方程组(各个方程)线性无关或线性独立的.结论: 向量组 线性相关等价于齐次线性方程组A120mxx即 Ax=O 有非零解, 其中 .12(,)mA由此可得:定理 1： 向量组 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵12,m的秩小于向量个数 ; 向量组线性无关的充分必要条件是2(,)mA.)R下面举例说明定理 1 的应用
6、例 1. 已知 12302,4,57试讨论向量组 及 的线性相关性. 123,12,解: 分析 对矩阵( )作初等行变换变成行阶梯形矩阵, 可同时看出矩3阵( )及( )的秩 , 利用定理 1 即可得出结论 .123,12,1230(,)45713r025532r0可见, , 故向量组 线性相关 , 而 , 故向量123(,)R123,12(,)R组 线性无关.12例 2. 已知向量组 线性无关, 试证向量组 线123a1231b=a+, a,b=+性无关.证一: 设有 ,使123x123b+ x =0即 31(a)(a)(+) ,亦即 13122x因向量组 线性无关, 由于此方程组的系数行列
7、式123a1320x0 1,故方程组只有零解, 即只有 , 因此由定义得, 向量组 线性1230x 123,b无关.证二: 将 表示为矩阵1231b=a+, a,b=+等式 1231230(,)(,) 1,ba记为 , 并代入三元齐次线性方程组 , 得 , 即 ,由BAK0Bx()0AKx()0x于 线性无关, 即 , 从而 ,又因为 知, 齐次方程123a()3RA2组 只有零解.0x因此, 齐次方程组 只有零解. 故 .0Bx()3B因此由定理 1, 向量组 线性无关.123,b证三: 由证二得 因为 知 可逆,AK0K由矩阵秩的性质 4 得: 因此由定理 1, 向量组 线()(3RBRA123,b性无关.
