高二 定积分及其简单应用.doc

1、 定积分及其简单应用定积分 f(x)g(x )dx(f(x)g(x)的几何意义是什么？ ba提示：由直线 xa，x b 和曲线 yf(x)，yg(x) 所围成的曲边梯形的面积一般情况下，定积分 f(x)dx 的几何意义是介于 x 轴、曲线 f(x)以及直线 xa，xb 之 ba间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示) ，其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在 x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数3直线 x0，x 2，y 0 与曲线 yx 2 所围成的曲边梯形的面积为_解析： x2dx x3Error! . 答案： 2013 20 83 834 dx_. 101 x2解析：由

2、定积分的几何意义可知， dx 表示单位圆 x2y 21 在第一象限内部 101 x2分的面积，所以dx . 答案： 101 x214 14例 1、利用微积分基本定理求下列定积分：(1) (x22x1)dx ； (2) (sin xcos x)dx； (3) x(x1)d x； 21 0 20(4) dx； (5) sin2 dx. 21(e2x 1x) 0x解答 (1) (x22x1)dx x2dx 2xdx 1dx Error! x 2Error! xError! 21 21 21 21x33 21 21 21.193(2) (sin xcos x )dx sin xdx cos xdx(

3、cos x)Error! sin xError! 2. 0 0 0 0 0(3) x(x1)dx (x2x)d x x2dx xdx x3Error! x2Error! 20 20 20 2013 20 12 20 (1323 0) .(1222 0) 143(4) dx e2xdx dx e2xError! ln xError! e4 e2ln 2ln 1 e4 21(e2x 1x) 21 211x 12 21 21 12 12 12e2ln 2.12(5) sin2 dx dx dx cos xdx x sin x .0x2 0(12 12cos x) 2012 12 012 012 04

4、 12 24变式练习1求下列定积分：(1) |x1|d x；(2) dx. 20 201 sin 2x解：(1)|x1| Error!故 |x1|d x (1x )dx (x1)dx 20 10 21 Error! Error! 1.(x x22) 10 (x22 x) 21 12 12(2) dx |sin xcos x|d x (cos xsin x)dx (sin xcos x)dx01 sin 2x 04024(sin xcos x) ( cos xsin x) 1( 1 )2 2.40242 2 2例 2、 dx_. 10 x2 2x解答 dx 表示 y 与 x0，x1 及 y0 所

5、围成的图形的面积 10 x2 2x x2 2x由 y 得(x 1) 2y 21(y0)，又0x1，y 与 x0，x 1 及 x2 2x x2 2xy0 所围成的图形为 个圆，其面积为 . dx .14 4 10 x2 2x 4在本例中，改变积分上限，求 dx 的值 20 x2 2x解： dx 表示圆(x1) 2y 21 在第一象限内部分的面积，即半圆的面积，所 20 x2 2x以dx . 20 x2 2x2变式练习2(2013福建模拟)已知函数 f(x) (cos tsin t)dt (x0)，则 f(x)的最大值为_ x0解析：因为 f(x) sin dt cos Error! cos co

6、s sin x02 (4 t) 2 (4 t) x0 2 (4 x) 2 4xcos x 1sin 1 1，当且仅当 sin 1 时，等号成立答案： 12 (x 4) 2 (x 4) 2归纳 1、利用几何意义求定积分的方法(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分(2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小4、拓展延伸 能力升华利用定积分求平面图形的面积例 1、 (2012山东高考)由曲线 y ，直线 yx2 及 y 轴所围成的图形的面积x为( )A. B4 C. D6103 163解答 由 y 及 yx2 可得，x4，即两曲

7、线交于点(4,2) 由定积分的几何意义可x知，由 y 及 yx2 及 y 轴所围成的封闭图形面积为x( x2)dx Error! . 答案 C 40 x (23x32 12x2 2x) 40 163若将“yx2”改为“y x2” ，将“y 轴”改为“x 轴” ，如何求解？解：如图所示，由 y 及 yx2 可得 x1.由定积分的几何意义可知，由xy ， yx 2 及 x 轴所围成的封闭图形的面积为 f(x)dx dx (x2)dxx 20 10x 21x Error! Error! . 23 10 (2x x22) 21 76变式练习 3(2013郑州模拟) 如图，曲线 yx 2 和直线 x0，

8、x1，y 所围成14的图形(阴影部分)的面积为( )A. B. C. D.23 13 12 14解析：选 D 由Error!x 或 x (舍) ，所以阴影部分面积12 12S dx dx .120(14 x2) 12(x2 14) (14x 13x3) 20(13x3 14x) 214定积分在物理中的应用例 2、列车以 72 km/h 的速度行驶，当制动时列车获得加速度 a0.4 m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？解答 a0.4 m/s2，v 072 km/h20 m/s.设 t s 后的速度为 v，则 v200.4t.令 v0，即 200.4 t0 得 t50 (

9、s)设列车由开始制动到停止所走过的路程为 s，则 s vdt 50(200.4t)dt(20 t0.2t 2)Error! 50 5020500.250 2500(m)，即列车应在进站前 50 s 和进站前 500 m 处开始制动变式练习 4一物体在力 F(x)Error!( 单位：N)的作用下沿与力 F(x)相同的方向运动了 4 米，力 F(x)做功为( )A44 J B46 J C48 J D50 J解析：选 B 力 F(x)做功为 10dx (3x4)dx10xError! Error! 202646. 20 42 20 42例 3、(2012上海高考)已知函数 yf(x)的图象是折线段

10、 ABC，其中 A(0,0)，B，C (1,0)函数 yxf (x)(0x1)的图象与 x 轴围成的图形的面积为 _(12，5)解析 由题意可得f(x)Error!所以 yxf (x)Error!与 x 轴围成图形的面积为 10x2dx (10x10x 2)dx x3 .答案 101103 2(5x2 103x3) 25454变式练习1由曲线 yx 2，y x 3 围成的封闭图形面积为( )A. B. C. D.112 14 13 712解析：选 A 由Error!得 x0 或 x1，由图易知封闭图形的面积 (x2x 3)dx 1013 14.1122(2012山东高考)设 a0.若曲线 y

11、与直线 xa，y 0 所围成封闭图形的面积为 a2，x则 a_.解析：由题意 dxa 2.又 ，即 x Error! a 2，即 a a 2.所以 a . a0x (23x) x 23 a0 23 495、课后作业 巩固提高1. dx( ) e11 ln xxAln x ln2x B. 1 C. D.12 2e 32 12解析：选 C dx . e11 ln xx (ln x ln2 x2 )e1 322(2012湖北高考)已知二次函数 yf(x)的图象如图所示，则它与 x 轴所围图形的面积为( )A. B. C. D.25 43 32 2解析：选 B 由题中图象易知 f(x)x 21，则所求

12、面积为 2 (x 21)dx2 10 .( x33 x)10 433设 f(x)Error!则 f(x)dx( ) 20A. B. C. D不存在34 45 56解析：选 C 如图f(x)dx x2dx (2x )dx x3Error! Error! . 20 10 2113 10 (2x 12x2) 21 13 (4 2 2 12) 564以初速度 40 m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度 v4010t 2，则此物体达到最高时的高度为( )A. m B. m C. m D. m1603 803 403 203解析：选 A v4010t 20，t2， (4010t 2) 20dt Er

13、ror! 402 8 (m)(40t 103t3) 20 103 16035(2013青岛模拟)由直线 x ，x ，y0 与曲线 ycos x 所围成的封闭图形的面积3 3为( )A. B1 C. D.12 32 3解析：选 D 结合函数图象可得所求的面积是定积分 cos xdx3sin x .332 ( 32) 36设 a sin xdx，则曲线 yf(x)xa xax2 在点(1，f(1)处的切线的斜率为 0_解析：a sin xdx(cos x)Error! 2，y x2 x2x2.y2 xx2 xln 22. 0 0曲线在点(1，f(1)处的切线的斜率 ky| x1 42ln 2.答案

14、：42ln 27在等比数列a n中，首项 a1 ，a 4 (12x)dx，则该数列的前 5 项之和 S5 等于23 41_解析：a 4 (12x)dx ( x x2)Error! 18，因为数列a n是等比数列，故 18 q3，解得 41 4123q3，所以 S5 .答案：231 351 3 2423 24238(2013孝感模拟)已知 a ，则当 (cos xsin x)dx 取最大值时，a_.0，2 a0解析： (cos xsin x )dx(sin xcos x)Error! sin acos a1 sin 1， a0 a0 2 (a 4)a ，当 a 时， sin 1 取最大值答案：0

15、，2 4 2 (a 4) 49计算下列定积分：(1) sin2xdx； (2) 2dx； (3) e2xdx.0 32( x 1x) 10解：(1) sin2xdx dx 0 .0201 cos 2x2 (12x 14sin 2x) 0(4 14sin ) 4(2) 2dx dx Error! (24ln 2) 32(x 1x) 32(x 1x 2) (12x2 2x ln x) 32 (92 6 ln 3) ln 3ln 2 ln .92 92 32(3) e2xdx e2x e .1012 012 1210如图所示，直线 ykx 分抛物线 yx x 2 与 x 轴所围图形为面积相等的两部分

16、，求 k的值解：抛物线 yx x 2 与 x 轴两交点的横坐标为 x10，x 2 1，所以，抛物线与 x 轴所围图形的面积S (xx 2)dx Error! .又Error! 10 (x22 13x3) 10 16由此可得，抛物线 yx x 2 与 ykx 两交点的横坐标为x30，x 41k ，所以， (xx 2kx)dx Error! (1k) 3.又知 S ，所以(1k )3S2 1 k0 (1 k2 x2 13x3) 1 k0 16 16，12于是 k1 1 .312 34211如图，设点 P 从原点沿曲线 yx 2 向点 A(2,4)移动，直线 OP 与曲线 yx 2 围成图形的面积为

17、 S1，直线 OP 与曲线 yx 2 及直线 x2 围成图形的面积为 S2，若 S1S 2，求点 P 的坐标解：设直线 OP 的方程为 ykx，点 P 的坐标为( x，y)，则 (kxx 2)dx (x2kx)dx， x0 2x即 Error! Error! ，(12kx2 13x3) x0 (13x3 12kx2) 2x解得 kx2 x3 2k ，12 13 83 (13x3 12kx2)解得 k ，即直线 OP 的方程为 y x，所以点 P 的坐标为 .43 43 (43，169)12求曲线 y ，y 2x，y x 所围成图形的面积x13解：由Error!得交点 A(1,1)；由Error!得交点 B(3，1) 故所求面积S dx dx Error! Error! . 10(x 13x) 31(2 x 13x) (23x 16x2) 10 (2x 13x2) 31 23 16 43 136