1、高考数学一轮复习（十一）排列组合一、排列组合的基本概念及计算1排列的概念：从 个不同元素中，任取 （ ）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺nmn序排成一列，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列 奎 屯王 新 敞新 疆2排列数的定义：从 个不同元素中，任取 （ ）个元素的所有排列的个数叫做从 个元素中取出n元素的排列数，用符号 表示 奎 屯王 新 敞新 疆mmnA3排列数公式： （ ）(1)2(1)n ,nNm4阶乘： 表示正整数 1 到 的连乘积，叫做 的阶乘 奎 屯王 新 敞新 疆 规定 !n 0!15排列数的另一个计算公式： = mnA!()6组合的概念：一般地，从 个不同
2、元素中取出 个元素并成一组，叫做从 个不同元素中取出nn个元素的一个组合 奎 屯王 新 敞新 疆m7组合数的概念：从 个不同元素中取出 个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取n出 个元素的组合数用符号 表示mC8组合数公式： 或 奎 屯王 新 敞新 疆 奎 屯王 新 敞新 疆(1)2(1)!nmAn )!(mnC),nN且9 奎 屯王 新 敞新 疆 组合数的性质 1： 规定： ；n0n10组合数的性质 2： + 奎 屯王 新 敞新 疆nC11m二、排列组合的常见题型及其解法（1）特殊元素（位置）用优先法把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置） ，对于这类问题一般采取特殊元素（位置
3、）优先安排的方法。例 1. 6 人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。解：因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有 种站法；第二步再让A41其余的 5 人站在其他 5 个位置上，有 种站法，故站法共有： 480（种）A5 A415（2）相邻问题用捆绑法对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”：即将这几个元素看作一个整体，视为一个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。例 2. 5 个男生和 3 个女生排成一排，3 个女生必须排在一起，有多少种不
4、同排法？解：把 3 个女生视为一个元素，与 5 个男生进行排列，共有 种，然后女生内部再进行排列，有 种，A6 A3所以排法共有： （种） 。A63420（3）相离问题用插空法元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。例 3. 7 人排成一排，甲、乙、丙 3 人互不相邻有多少种排法？解：先将其余 4 人排成一排，有 种，再往 4 人之间及两端的 5 个空位中让甲、乙、丙插入，有 种，A4 A53所以排法共有： （种）A5310（4）定序问题用除法对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。解题方法是：先将 n 个元素进行全排列有
5、 种，n个元素的全排列有 种，由于要求 m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除mn()m法起到调序的作用，即若 n 个元素排成一列，其中 m 个元素次序一定，则有 种排列方法。Anm例 4. 由数字 0、1、2、3、4、5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数有多少个？解：不考虑限制条件，组成的六位数有 种，其中个位与十位上的数字一定，所以所求的六位数有：A51（个）A51230（5）分排问题用直排法对于把几个元素分成若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一成一排的方法求解。例 5. 9 个人坐成三排，第一排 2 人，第二排 3 人，第三排 4
6、 人，则不同的坐法共有多少种？解：9 个人可以在三排中随意就坐，无其他限制条件，所以三排可以看作一排来处理，不同的坐标共有种。A（6）住店求幂法解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客” ，能重复的元素看作“店” ，再利用乘法原理直接求解.例 6.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有 7 种分依此类推,由分步计数原理共有 种不同的排法6（7） 排列、组合综合问题用先选后排的策略处理排列、组合综合性问题一般是先选元素，后排
7、列。例 7. 将 4 名教师分派到 3 所中学任教，每所中学至少 1 名教师，则不同的分派方案共有多少种？解：可分两步进行：第一步先将 4 名教师分为三组（1，1，2） ， （2，1，1） ， （1，2，1） ，共有：（种） ，第二步将这三组教师分派到 3 种中学任教有 种方法。由分步计数原理得不同的分派CA4216 A3方案共有： （种） 。因此共有 36 种方案。CA42136（8）隔板模型法常用于解决整数分解型排列、组合的问题。例 8. 有 10 个三好学生名额，分配到 6 个班，每班至少 1 个名额，共有多少种不同的分配方案？解：6 个班，可用 5 个隔板，将 10 个名额并排成一排，
8、名额之间有 9 个空，将 5 个隔板插入 9 个空，每一种插法，对应一种分配方案，故方案有： （种）C95126（9）平均分组问题除法策略例 9. 6 本不同的书平均分成 3 堆,每堆 2 本共有多少分法？解: 共有 种分法。24/CA（10）数字排序问题查字典策略例 10由 0，1，2，3，4，5 六个数字可以组成多少个没有重复的比 324105 大的数？解 : 297123N随堂简单练习1 从集合 0，1，2，3，5，7，11 中任取 3 个元素分别作为直线方程 Ax+By+C=0 中的 A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_条(用数值表示) 2 圆周上有 2n 个等分点(n 1)，以其
9、中三个点为顶点的直角三角形的个数为 _ 3 某人手中有 5 张扑克牌，其中 2 张为不同花色的 2，3 张为不同花色的 A，有 5 次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法？4 二次函数 y=ax2+bx+c 的系数 a、b、c，在集合3， 2，1，0，1，2，3，4 中选取 3 个不同的值，则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线多少条？5 有 3 名男生，4 名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数 (1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置 (2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边 (3)全体排成一行，其中男生必须排在一起 (4)全体排成
10、一行，男、女各不相邻 (5)全体排成一行，男生不能排在一起 (6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变 (7)排成前后二排，前排 3 人，后排 4 人 (8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有 3 人 6 20 个不加区别的小球放入编号为 1、2、3 的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，求不同的放法种数 7 用五种不同的颜色，给图中的(1)(2)(3)(4)的各部分涂色，每部分涂一色，相邻部分涂不同色，则涂色的方法共有几种？8 甲、乙、丙三人值周一至周六的班，每人值两天班，若甲不值周一、乙不值周六，则可排出不同的值班表数为多少？(4)(3)(2)(1)参考答案解析
11、因为直线过原点，所以 C=0，从 1，2，3，5，7，11 这 6 个数中任取 2 个作为 A、B 两数的顺序不同，表示的直线不同，所以直线的条数为 A =30 6答案 302 解析 2n 个等分点可作出 n 条直径，从中任选一条直径共有 C 种方法；再从以下的(2n2) 个等分点中1任选一个点，共有 C 种方法，根据乘法原理 直角三角形的个数为 C C =2n(n1)个 1 12答案 2n(n1)3 解 出牌的方法可分为以下几类 (1)5 张牌全部分开出，有 A 种方法；5(2)2 张 2 一起出，3 张 A 一起出，有 A 种方法；25(3)2 张 2 一起出，3 张 A 一起出，有 A
12、种方法；4(4)2 张 2 一起出，3 张 A 分两次出，有 C A 种方法；235(5)2 张 2 分开出，3 张 A 一起出，有 A 种方法；(6)2 张 2 分开出，3 张 A 分两次出，有 C A 种方法 2345因此，共有不同的出牌方法 A +A +A +A A +A +C A =860 种 532454 解 由图形特征分析，a 0,开口向上，坐标原点在内部 f(0)=c0;a0,开口向下，原点在内部 f(0)=c 0,所以对于抛物线 y=ax2+bx+c 来讲，原点在其内部 af(0)=ac0,则确定抛物线时，可先定一正一负的 a和 c，再确定 b,故满足题设的抛物线共有 C C
13、A A =144 条 1342165 解 (1)利用元素分析法，甲为特殊元素，故先安排甲左、右、中共三个位置可供甲选择 有 A 种，其13余 6 人全排列，有 A 种 由乘法原理得 A A =2160 种 6136(2)位置分析法 先排最右边，除去甲外，有 A 种，余下的 6 个位置全排有 A 种，但应剔除乙在最右边的16 6排法数 A A 种 则符合条件的排法共有 A A A A =3720 种 15 165(3)捆绑法 将男生看成一个整体，进行全排列 再与其他元素进行全排列 共有 A A =720 种 35(4)插空法 先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有 A A =144 种
14、34(5)插空法 先排女生，然后在空位中插入男生，共有 A A =1440 种 45(6)定序排列 第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为 N，第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为七个人的全排列，因此 A =NA ，N= = 840 种 7337(7)与无任何限制的排列相同，有 A =5040 种 7(8)从除甲、乙以外的 5 人中选 3 人排在甲、乙中间的排法有 A 种，甲、乙和其余 2 人排成一排且甲、乙相35邻的排法有 A A 最后再把选出的 3 人的排列插入到甲、乙之间即可 共有 A A A =720 种 23 3536 解 首先按每个盒子的编号放入 1 个、2 个、3 个小
15、球，然后将剩余的 14 个小球排成一排，如图，|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|，有 15 个空档，其中“O”表示小球，“|”表示空档 将求小球装入盒中的方案数，可转化为将三个小盒插入 15 个空档的排列数 对应关系是 以插入两个空档的小盒之间的“O”个数，表示右侧空档上的小盒所装有小球数 最左侧的空档可以同时插入两个小盒 而其余空档只可插入一个小盒，最右侧空档必插入小盒，于是，若有两个小盒插入最左侧空档，有 C 种；若恰有一个小盒插入最左侧空档，有23种；若没有小盒插入最左侧空档，有 C 种 由加法原理，有 N= =120 种排列方案，即有13C213 2133C12
16、0 种放法 7 解 按排列中相邻问题处理 (1)(4)或(2)(4) 可以涂相同的颜色 分类 若(1)(4) 同色，有 A 种，若(2)35(4)同色，有 A 种，若(1)(2)(3)(4) 均不同色，有 A 种 由加法原理，共有 N=2A +A =240 种 35 45 3548 解 每人随意值两天，共有 C C C 个；甲必值周一，有 C C C 个；乙必值周六，有 C C C 个；264 1524 1524甲必值周一且乙必值周六，有 C C C 个 所以每人值两天，且甲必不值周一、乙必不值周六的值班表数，有1432N=C C C 2C C C + C C C =90256+12=42 个
17、 2641524练习题1、选择题1某台小型晚会由 6 个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（A）36 种 （B）42 种 (C)48 种 （D）54 种2、某校开设 A 类选修课 3 门， B 类选择课 4 门，一位同学从中共选 3 门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(A) 30 种 (B)35 种 (C)42 种 (D)48 种3如图，用四种不同颜色给图中的 A、B、C、D、E、F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色 ，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色。则不同的涂色方法共有（A）
18、 288 种 （B）264 种 （C） 24 0 种 （D）168 种4、现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是A 152 B. 126 C. 90 D. 545、由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是（A）72 （B）96 （C） 108 （D）144 w_w_w. k*s 5*u.c o*m6、8 名学生和 2 位第师站成一排合影，2 位老师不相邻的排法种数为（
19、A） （B） （C） （D ） 9829A827A827AC7、将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中若每个信封放 2 张，其中标号为 1， 2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A）12 种 （B）18 种 （C）36 种 （D）54 种8. 某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班，每天安排 1 人，每人值班 1 天，若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在 10 月 1 日，丁不排在 10 月 7 日，则不同的安排方案共有（A） 504 种 （B） 960 种 （C） 1008 种 （D） 1108 种9现有名同学支听同时进行的
20、个课外知识讲座，名每同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是A B. C. D.4556564326543210将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中，若每个信封放 2 张，其中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A） 12 种 (B) 18 种 (C) 36 种 (D) 54 种11由 1、2、3、4、5 组成没有重复数字且 1、2 都不与 5 相邻的五位数的个数是（A）36 （B）32 （C）28 （D）24二、填空题 12、7 名志愿者中安排 6 人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排 3 人，则不同的安排方案共有_种（用
21、数字作答）。13、.用数字 0，1，2，3，4，5，6 组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个（用数字作答）14、甲、乙、丙 人站到共有 7级的台阶上，若每级台阶最多站 2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）15、某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段，传递活动分别由 6 名火炬手完成如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种（用数字作答）16、某人有 4 种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（16）图所示的 6 个点A、B、C 、A1、B1 、C
22、1 上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 种（用数字作答）.17、电视台连续播放 6 个广告，其中含 4 个不同的商业广告和 2 个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有 种不同的播放方式（结果用数值表示）.18、用数字 0，1，2，3，4 组成没有重复数字的五位数，则其中数字 1，2 相邻的偶数有 个（用数字作答）19、某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教(每地 1 人) ，其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有 种 20、某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教(每地 1 人),
23、 其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有 种7、参考答案一、选择题1、B 【解析】分两类：第一类：甲排在第一位，共有 种排法；第二类：甲排在第二位，共有 种4A=2 13A=8排法，所以共有编排方案 种，故选 B。24182.A 【解析】:可分以下 2 种情况:(1)A 类选修课选 1 门,B 类选修课选 2 门,有 种不同的选法;(2)A 类选修课选 2 门,B 类选1234C修课选 1 门,有 种不同的选法.所以不同的选法共有 + 种.134C234C1803、B 【解析】分三类：（1）B、D、E、F 用四种颜色，则有 种方法；A（2）B、D、E、F 用三种颜色，则
24、有 种方法；342A34129（3）B、D、E、F 用二种颜色，则有 ，所以共有不同的涂色方法 共 24+192+48=264 种。84、B【解析】分类讨论：若有 2 人从事司机工作，则方案有 ；若有 1 人从事司机工作，则方案有238CA种，所以共有 18+108=126 种，故 B 正确. 来源 :1233408CA5、C 【解析】先选一个偶数字排个位，有 3 种选法 w_w_w.k*s 5*u.c o*m若 5 在十位或十万位，则 1、3 有三个位置可排，3 24 个23若 5 排在百位、千位或万位，则 1、3 只有两个位置可排，共 3 12 个2A算上个位偶数字的排法，共计 3(241
25、2)108 个6、A【解析】基本的插空法解决的排列组合问题，将所有学生先排列，有 种排法，然后将两位老师插入 9 个空中，共有 种8 29A排法，因此一共有 种排法。829A8、C 解析：分两类：甲乙排 1、2 号或 6、7 号 共有 种方法412A甲乙排中间,丙排 7 号或不排 7 号，共有 种方法)(342故共有 1008 种不同的排法9.A10. B 【解析】先从 3 个信封中选一个放 1，2 有 3 种不同的选法，再从剩下的 4 个数中选两个放一个信封有 ，余下放246C入最后一个信封，共有248C11、A w_.解析：如果 5 在两端，则 1、2 有三个位置可选，排法为 2 24 种
26、23A如果 5 不在两端，则 1、2 只有两个位置可选，3 12 种 共计 122436 种22、填空题12.140 解析： 3740C，13.解析：个位、十位和百位上的数字为 3 个偶数的有： 90131432CA种；个位、十位和百位上的数字为 1 个偶数 2个奇数的有： 41213432CA种，所以共有 24个。14.答案：336 【解析】对于 7 个台阶上每一个只站一人，则有 37种；若有一个台阶有 2 人，另一个是 1 人，则共有 1237CA种，因此共有不同的站法种数是 336 种 15、答案 9616、答案 21617、解：分二步：首尾必须播放公益广告的有 A22 种；中间 4 个
27、为不同的商业广告有 A44 种，从而应当填 A22A4448. 从而应填 4818、解析：可以分情况讨论： 若末位数字为 0，则 1，2，为一组，且可以交换位置，3，4，各为 1 个数字，共可以组成321A个五位数； 若末位数字为 2，则 1 与它相邻，其余 3 个数字排列，且 0 不是首位数字，则有 24A个五位数； 若末位数字为 4，则 1，2，为一组，且可以交换位置，3，0，各为 1 个数字，且 0 不是首位数字，则有 ()=8 个五位数，所以全部合理的五位数共有 24 个。19、解析：可以分情况讨论， 甲去，则乙不去，有 346CA=480 种选法；甲不去，乙去，有 346C=480 种选法；甲、乙都不去，有 46A=360 种选法；共有 1320 种不同的选派方案20、解析：某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教(每地 1 人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，可以分情况讨论， 甲、丙同去，则乙不去，有 25=240 种选法；甲、丙同不去，乙去，有 345A=240 种选法；甲、乙、丙都不去，有 45120种选法，共有 600 种不同的选派方案
