1、必修 1第一章、集合定义 1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素 x在集合 A 中，称 x属于 A，记为 x，否则称 x不属于 A，记作 x。例如，通常用 N， Z， Q， B， Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用 来表示。集合分有限集和无限集两种。集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如1，2，3；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如有理数， 0x分别表示有理数集和正实
2、数集。定义 2 子集：对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素，则 A 叫做 B 的子集，记为 ，例如 ZN。规定空集是任何集合的子集，如果 A 是 B的子集， B 也是 A 的子集，则称 A 与 B 相等。如果 A 是 B 的子集，而且 B 中存在元素不属于 A，则 A 叫 B 的真子集。便于理解： 包含两个意思： A 与 B 相等 、 A 是 B 的真子集定义 3 交集， .x且定义 4 并集， 或定义 5 补集，若 ,1AxIACI且则 称为 A 在 I 中的补集。定义 6 集合 ,baRxa记作开区间 ),(ba，集合,bxa记作闭区间 ,，R 记
3、作 .定义 7 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。补充知识点 对集合中元素三大性质的理解（1）确定性集合中的元素，必须是确定的对于集合 A和元素 a，要么 A，要么 a，二者必居其一比如：“所有大于 100 的数”组成一个集合，集合中的元素是确定的而“较大的整数”就不能构成一个集合，因为它的对象是不确定的再如，“较大的树”、“较高的人”等都不能构成集合（2）互异性对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的任何两个相同的对象在同一集合中时，只能算作这个集合中的一个元素如：由 a， 2组成一个集合，则 a的取值不能是0或 1（3）无序性集合中的元素的次序无先后之分如：由 123上组成
4、一个集合，也可以写成 132上组成一个集合，它们都表示同一个集合学习集合表示方法时应注意的问题（1）注意 a与 的区别 a是集合 的一个元素，而 a是含有一个元素 a的集合，二者的关系是 （2）注意 与 0的区别 是不含任何元素的集合，而 0是含有元素 0的集合（3）在用列举法表示集合时，一定不能犯用实数集或 R来表示实数集 这一类错误，因为这里“大括号”已包含了“所有”的意思用特征性质描述法表示集合时，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应具备哪些特征性质，从而准确地理解集合的意义例如：集合 ()xy上中的元素是 ()xy上，这个集合表示二元方程 yx的解集，或者理解为曲线 上的点组成的点集
5、；集合 中的元素是 ，这个集合表示函数 yx中自变量 的取值范围；集合 yx中的元素是 y，这个集合表示函数 中函数值 y的取值范围；集合 中的元素只有一个（方程 yx），它是用列举法表示的单元素集合（4）常见题型方法：当集合中有 n 个元素时，有 2n个子集，有 2n-1 个真子集，有 2n-2个非空真子集。第二章、函数定义 1 映射，对于任意两个集合 A， B，依对应法则 f，若对 A 中的任意一个元素 x，在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称 f: A B 为一个映射。定义 2 函数，映射 f: A B 中，若 A， B 都是非空数集，则这个映射为函数。 A 称为它的定义域，若 x A
6、, y B，且 f(x)=y（即 x 对应 B 中的 y），则 y 叫做 x 的象， x 叫 y 的原象。集合 f(x)|x A叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数 y=3 -1 的定义域为 x|x0, xR.定义 3 反函数，若函数 f: A B（通常记作 y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射 f-1: A B 叫原函数的反函数，通常写作 y=f-1(x). 这里求反函数的过程是：在解析式 y=f(x)中反解 x 得 x=f-1(y)，然后将 x, y 互换得 y=f-1(x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数 y=
7、 1的反函数是 y=1- 1(x0).补充知识点：定理 1 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称。定理 2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。定义 4 函数的性质。（1）单调性：设函数 f(x)在区间 I 上满足对任意的 x1, x2 I 并且 x1f(x2)，则称 f(x)在区间 I 上是增（减）函数，区间 I 称为单调增（减）区间。（2）奇偶性：设函数 y=f(x)的定义域为 D，且 D 是关于原点对称的数集，若对于任意的xD，都有 f(-x)=-f(x)，则称 f(x)是奇函数；若对任意的 xD，都有 f(-x)=f(x)，则称 f(x)是偶函数。奇函
8、数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称。（3）周期性：对于函数 f(x)，如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x 取定义域内每一个数时， f(x+T)=f(x)总成立，则称 f(x)为周期函数， T 称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数 T0，则这个正数叫做函数 f(x)的最小正周期。定义 5 如果实数 aa记作开区间（ a, +），集合 x|x a记作半开半闭区间（-, a.定义 6 函数的图象，点集( x,y)|y=f(x), xD称为函数 y=f(x)的图象，其中 D 为 f(x)的定义域。通过画图不难得出函数 y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系( a,b0
9、)；（1）向右平移 a 个单位得到 y=f(x-a)的图象；（2）向左平移 a 个单位得到 y=f(x+a)的图象；（3）向下平移 b 个单位得到 y=f(x)-b 的图象；（4）与函数 y=f(-x)的图象关于 y 轴对称；（5）与函数 y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称；（6）与函数 y=f-1(x)的图象关于直线 y=x 对称；（7）与函数 y=-f(x)的图象关于 x 轴对称。定理 3 复合函数 y=fg(x)的单调性，记住四个字：“同增异减”。例如 y= 21, u=2-x 在（-,2）上是减函数， y= u1在（0，+）上是减函数，所以 y= x在（-,2）上是增函数。注：复
10、合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。附：初中知识基础知识1二次函数：当 a0 时， y=ax2+bx+c 或 f(x)=ax2+bx+c 称为关于 x 的二次函数，其对称轴为直线 x=- b2，另外配方可得 f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中 x0=- ab2，下同。2二次函数的性质：当 a0 时， f(x)的图象开口向上，在区间（-， x0上随自变量 x增大函数值减小（简称递减），在 x0, -）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。当 a0 时，方程 f(x)=0 即 ax2+bx+c=0和不等式 ax2+bx+c0及ax2+bx+c0 时，方程
11、有两个不等实根，设 x1,x2(x1x2和 x|x10，当 x=x0时， f(x)取最小值 f(x0)= abc42,若 a0)，当 x0m, n时， f(x)在m, n上的最小值为 f(x0); 当 x0n 时， f(x)在m, n上的最小值为 f(n)（以上结论由二次函数图象即可得出）。定义 1 能判断真假的语句叫命题，如“35”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。一定注意： “ p 或 q”复合命题只有当 p， q 同为假命题时为假，否则为真命题；“ p 且q”复合命题只有当 p， q 同时为真
12、命题时为真，否则为假命题； p 与“非 p”即“ p”恰好一真一假。定义 2 原命题：若 p 则 q（ p 为条件， q 为结论）；逆命题：若 q 则 p；否命题：若非 p则 q；逆否命题：若非 q 则非 p。一定注意： 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。一定注意： 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。定义 3 如果命题“若 p 则 q”为真，则记为 pq 否则记作 pq.在命题“若 p 则 q”中，如果已知 pq,则 p 是 q 的充分条件；如果 q p，则称 p 是 q 的必要条件；如果 pq但 q 不 p，则称 p 是 q 的充分非必要条
13、件；如果 p 不 q 但 p q，则 p 称为 q 的必要非充分条件；若 p q 且 q p，则 p 是 q 的充要条件。第三章、基本初等函数1指数函数及其性质：形如 y=ax(a0, a1)的函数叫做指数函数，其定义域为 R，值域为（0，+），当 01 时， y=ax为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。2分数指数幂： nmnnmn 1,1 。3对数函数及其性质：形如 y=logax(a0, a1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+），值域为 R，图象过定点（1，0）。当 01 时，y=logax 为增函数。4对数的性质（M0, N0）；1） ax=Mx=logaM(a0, a1)；2）
14、 loga(MN)= loga M+ loga N；3） loga（ M）= loga M- loga N；4） loga Mn=n loga M（万能恒等式）5） loga n= 1loga M；6） aloga M=M; 7) loga b= clog(a,b,c0, a, c1).5. 函数 y=x+ （ a0）的单调递增区间是 ,和 ,，单调递减区间为0,a和 ,。（请同学自己用定义证明）6连续函数的性质：若 ab, f(x)在 a, b上连续，且 f(a)f(b)0，则 f(x)=0 在（ a,b）上至少有一个实根。必修二一一一 立体几何初步（一）空间几何体的结构特征（1）多面体由若
15、干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。旋转体把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。（2）柱，锥，台，球的结构特征1.棱柱1.1 棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。1.2 相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系： 底 面 是 正 多 形棱 垂 直 于 底 面斜 棱 柱棱 柱 正 棱 柱直 棱 柱 其 他 棱 柱 四棱柱 底面为平行四边形 平行六面体 侧棱垂直
16、于底面 直平行六面体 底面为矩形 长方体 底面为正方形 正四棱柱 侧棱与底面边长相等 正方体1.3 棱柱的性质：侧棱都相等，侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。补充知识点 长方体的性质：长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】 2211ACBDA （了解）长方体的一条对角线 C与过顶点 A 的三条棱所成的角分别是 ， ， ，那么 222coscos1，222sinisin；（了解）长方体的一条对角线 1与过顶点 A 的相邻三个面所成的角分别是 ， ， ，则 222co
17、co， 222sinisin1.1.4 侧面展开图：正 n 棱柱的侧面展开图是由 n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.1.5 面积、体积公式： 2SchSh直 棱 柱 侧直 棱 柱 全 底 棱 柱 底 ， V（其中 c 为底面周长，h 为棱柱的高）l上 上上 上上 上EBDCAFBDEAF CC1D1B1 CDA BA1注意:大多数省市在高考试卷会给出面积体积公式，因此考生可以不用刻意地去记2.圆柱2.1 圆柱以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2.2 圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形.
18、2.3 侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形.2.4 面积、体积公式：S 圆柱侧= 2rh；S 圆柱全 = 2rh，V 圆柱=S 底 h= 2rh（其中 r 为底面半径，h 为圆柱高）3.棱锥3.1 棱锥有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。正棱锥 如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。3.2 棱锥的性质：平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧
19、棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形。）（如上图： ,SOBHSOBAA为直角三角形）3.3 侧面展开图：正 n 棱锥的侧面展开图是有 n 个全等的等腰三角形组成的。3.4 面积、体积公式：S 正棱锥侧 = 12ch，S 正棱锥全= 12chS底 ，V 棱锥= 13Sh底 .（其中c 为底面周长， h侧面斜高， h 棱锥的高）4.圆锥4.1 圆锥以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。4.2 圆锥的性质：平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；轴截面是等腰三角形；如
20、右图： SAB如右图： 22lhr.上 上 上上 上 上 上上上 上CAA O COBB 上 上 上 上上 上上上 上上 上O CDA B HSrl h上 上 上上 上上 上上 上 上上 上AO BS4.3 圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形。4.4 面积、体积公式：S 圆锥侧= rl，S 圆锥全= ()rl，V 圆锥= 213rh（其中r 为底面半径，h 为圆锥的高，l 为母线长）5.棱台5.1 棱台用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台.5.2 正棱台的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；正棱台的两个底面以及平行于底面
21、的截面是正多边形； 如右图：四边形 ,OMNB都是直角梯形棱台经常补成棱锥研究.如右图： SOAA上N,B上SO，注意考虑相似比.5.3 棱台的表面积、体积公式： 上上侧， 1)3VSh上 ，（其中,S是上，下底面面积，h 为棱台的高）6.圆台6.1 圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 6.2 圆台的性质：圆台的上下底面，与底面平行的截面都是圆；圆台的轴截面是等腰梯形；圆台经常补成圆锥来研究。如右图： SOAB上，注意相似比的应用.6.3 圆台的侧面展开图是一个扇环；6.4 圆台的表面积、体积公式： 2()SrRrl上 ，V 圆台 11S)33hh上 ，（其中r
22、，R 为上下底面半径，h 为高）7.球7.1 球以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.或空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球；7.2 球的性质：球心与截面圆心的连线垂直于截面； 2rRd（其中，球心到截面的距离为 d、上 上 上上 上上 上上 上上 上上上 上 上NMA CBDO CDABSOl 上 上 上rRh上 上 上上 上 上上 上上上 上 DOBOACSr dR上 上上上 上上 上AOO1 B球的半径为 R、截面的半径为 r）7.3 球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长方体，球与正方体等的内接与外切.注：
23、球的有关问题转化为圆的问题解决.7.4 球面积、体积公式： 234,SRV球 球 （其中 R 为球的半径）（二）空间几何体的三视图与直观图根据最近几年高考形式上看，三视图的考察已经淡化，所以同学只需了解即可1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。2.三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；正视图光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图；侧视图光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图；正视图光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图；注：（1）俯视图画在正视图的下方，“长度”与正视图相等；侧视图画在正视图的右边，“高度”与正视图相等，“宽度”
24、与俯视图。（简记为“正、侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样宽”.（2）正视图，侧视图，俯视图都是平面图形，而不是直观图。3.直观图：3.1 直观图是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。3.2 斜二测法：step1：在已知图形中取互相垂直的轴 Ox、Oy，（即取 90xoy ）；step2：画直观图时，把它画成对应的轴 ,oxy，取 45(13)r，它们确定的平面表示水平平面；step3：在坐标系 xoy中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变，平行于 x 轴（或在 x 轴上）的线段保持长度不变，平行于 y 轴（或在 y 轴上）的
25、线段长度减半。结论：一般地，采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的 24倍.解决两种常见的题型时应注意：（1）由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图”.（2）由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线ACD BCDOA BOCAA c和棱画成虚线。二 点、直线、平面之间的位置关系（一）平面的基本性质1.平面无限延展，无边界1.1 三个定理与三个推论公理 1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。用途：常用于证明直线在平面内.图形语言： 符号语言：公理 2：不共线的三点确定一个平面. 图形语言：推论 1：直线与直线外的一点确定一个平面. 图形语言：推论 2：两条相交直线确定一个平面. 图形语言：推论 3：两条平行直线确定一个平面. 图形语言：用途：用于确定平面。公理 3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线（两个平面的交线）.用途：常用于证明线在面内，证明点在线上.图形语言： 符号语言：形语言，文字语言，符号语言的转化：
