1、垂直于弦的直径（一）教学内容：人教版九年义务教育初级中学课本几何第三册 P61-63 页教学目标：1、使学生理解圆的轴对称性。2、使学生掌握垂径定理，并能应用它解决有关弦的计算和证明问题。3、激发学生探索和发现问题的欲望，培养学生观察、分析、归纳的能力。教学重点：垂径定理及其应用。教学难点：垂径定理的题设和结论以及垂径定理的证明。教学过程：一、复习提问叙述：前面学习了圆，你会画圆吗？(根据学生画图的情况，教师进行修正和说明)教师问：连结圆上任意两点的线段叫圆的_，圆上两点间的部分叫做_，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做_ 。二、动手实践，发现新知(教师拿出一张圆形纸片)同学们能不能找到这个
2、圆的圆心？动手试一试，有方法的同学请举手。(请一名学生到前面做演示，教师图示并有目的地引导，提问；)问题：在找圆心的过程中，把圆纸片折叠时，两个半圆_回忆一下，如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分互相重合，那么这个图形叫做_，这条直线叫做_问答式指出：刚才的实验说明圆是_，对称轴是经过圆心的每一条_。板书：“1.圆的轴对称性”说明：圆的对称轴有无数多条，圆的对称轴就是“直径所在的直线” ，但不能说成是圆的直径。三、创设情境，探索垂径定理在找圆心的过程中，折叠的两条相交直径可以是哪样一些位置关系呢？(斜交，垂直) 垂直是特殊情况，你能得出哪些等量关系？(AO=BO，CO=DO，AC=BC
3、，AD=BD)若把 AB 向下平移到任意位置，变成非直径的弦，观察一下，还有与刚才相类似的结论吗？(AE=BE，弧 AC=弧 BC，弧 AD=弧 BD) 要求学生在圆纸片上画出图形，并沿 CD 折叠,实验后提出猜想。猜想结论是否正确，要加以理论证ABCDOABCDO A BCDOA BCDOE明引导学生写出已知，求证。然后让学生阅读课本 61 面的证明，并回答下列问题：书中证明利用了圆的什么性质？若只证 AE=BE，还有什么方法？猜想得以证明，命题是真命题，我们把真命题叫做_板书：“定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧”指出：该定理反映了圆中垂直于弦的直径的性质，故名“垂径定理”板书
4、：“7.3 垂径定理”给出定理的推理格式CD 是直径 AE=BE 弧 AC=弧 BC CDAE 弧 AE=弧 BD 辨析题：下列各图，能否得到 AE=BE 的结论？为什么？垂径定理还可表达为：一条直线 过圆心 平分弦 若满足 平分弦所对的优弧 垂直于弦 平分弦所对的劣弧 强调两个条件缺一不可。四、定理的应用例 1、已知：在圆 O 中，弦 AB=8，O 到 AB 的距离等于 3，求圆 O 的半径。若 OA=10， OE=6，求弦 AB 的长。小结：辅助线：添半径和过圆心作弦的垂线段是两条常用的辅助线；若圆的半径为 r,圆心到弦的距离为 d，弦长为 a，则 r,a,d 间有什么关系？根据什么？(由
5、学生归纳出 r2 = d2 +(a/2)2 ，因此已知 r,a,d 中的两个量就可求出第三个量。)变式训练：问题 1：如图 1，AB 是两个以 O 为圆心的同心圆中大圆的直径，AB 交小圆交于 C、D 两点，求证：AC=BD 问题 2：把圆中直径 AB 向下平移，变成非直径的弦 AB，如图 2，是否仍有 AC=BD 呢？分析：从已知的图形观察，AB 是大圆的弦，若有一条直径垂直于它，则一定平分 AB 且又将 CD 垂直平分，从而得出AC=BD，要求学生自己写出证明过程，并指出该题就是书中的例 2，然后让学生对照课本的证明过程校对。问题 3：将图 2 变成图 3，则有EA=_，EC=_。试证明。
6、A BCDOE A BOE A BOECDA BOECD分析：将图 3 中的小圆隐去，等式的证明只与大圆、中圆有关，与小圆无关。问题转化为与图 2 情况一样。将图 3 中的中圆隐去，等式的证明只与大圆、小圆有关，与中圆无关。问题转化为与图 2 情况一样。问题 4：在圆 2 中连结 OC，OD，将小圆隐去，得图 4，设OC=OD，求证：AC=BD问题 5：在图 2 中，连结 OA、OB，将大圆隐，得图 5，设AO=BO，求证：AC=BD问题 6：在图 5 中，已知 AC=BD，求证：OA=OB指出：在圆中解有关弦的问题时，常要作一条辅助线，它是圆心到弦的垂线段。五、课堂小结师生共同小结本节课所学
7、知识点，常用辅助线方法，蕴含的数学思想。六、作业：课本 P68 11、12、13(注：此课在不借助多媒体手段的情况下，需两课时。变式训练的 4，5，6 都可进行一题多解，教案中直角符号、半边大括号及少数图圆心未标记。教学时学生兴趣很高，教学效果很好。)垂直于弦的直径（二）教学内容：人教版九年义务教育初级中学课本几何第三册 P61-63 页教学目标：1、使学生理解圆的轴对称性。2、使学生掌握垂径定理，并能应用它解决有关弦的计算和证明问题。3、激发学生探索和发现问题的欲望，培养学生观察、分析、归纳的能力。教学重点：垂径定理及其应用。教学难点：垂径定理的题设和结论以及垂径定理的证明。教学过程：七、复
8、习提问叙述：前面学习了圆，你会画圆吗？(根据学生画图的情况，教师进行修正和说明)教师问：连结圆上任意两点的线段叫圆的_，圆上两点间的部分叫做_，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做_ 。八、动手实践，发现新知(教师拿出一张圆形纸片)同学们能不能找到这个圆的圆心？动手试一试，有方法的同学请举手。(请一名学生到前面做演示，教师图示并有目的地引导，提问；)问题：在找圆心的过程中，把圆纸片折叠时，两个半圆_回忆一下，如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分互相 ABCDO重合，那么这个图形叫做_，这条直线叫做_问答式指出：刚才的实验说明圆是_，对称轴是经过圆心的每一条_。板书：“1.圆的轴对称性”
9、说明：圆的对称轴有无数多条，圆的对称轴就是“直径所在的直线” ，但不能说成是圆的直径。九、创设情境，探索垂径定理在找圆心的过程中，折叠的两条相交直径可以是哪样一些位置关系呢？(斜交，垂直) 垂直是特殊情况，你能得出哪些等量关系？(AO=BO，CO=DO，AC=BC，AD=BD)若把 AB 向下平移到任意位置，变成非直径的弦，观察一下，还有与刚才相类似的结论吗？(AE=BE，弧 AC=弧 BC，弧 AD=弧 BD) 要求学生在圆纸片上画出图形，并沿 CD 折叠,实验后提出猜想。猜想结论是否正确，要加以理论证明引导学生写出已知，求证。然后让学生阅读课本 61 面的证明，并回答下列问题：书中证明利用
10、了圆的什么性质？若只证 AE=BE，还有什么方法？猜想得以证明，命题是真命题，我们把真命题叫做_板书：“定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧”指出：该定理反映了圆中垂直于弦的直径的性质，故名“垂径定理”板书：“7.3 垂径定理”给出定理的推理格式CD 是直径 AE=BE 弧 AC=弧 BC CDAE 弧 AE=弧 BD 辨析题：下列各图，能否得到 AE=BE 的结论？为什么？垂径定理还可表达为：一条直线 过圆心 平分弦 若满足 平分弦所对的优弧 ABCDO A BCDOA BCDOA BCDOEE A BOE A BOECDA BOECD 垂直于弦 平分弦所对的劣弧 强调两个条件缺一
11、不可。十、定理的应用例 1、已知：在圆 O 中，弦 AB=8，O 到 AB 的距离等于 3，求圆 O 的半径。若 OA=10， OE=6，求弦 AB 的长。小结：辅助线：添半径和过圆心作弦的垂线段是两条常用的辅助线；若圆的半径为 r,圆心到弦的距离为 d，弦长为 a，则 r,a,d 间有什么关系？根据什么？(由学生归纳出 r2 = d2 +(a/2)2 ，因此已知 r,a,d 中的两个量就可求出第三个量。)变式训练：问题 1：如图 1，AB 是两个以 O 为圆心的同心圆中大圆的直径，AB 交小圆交于 C、D 两点，求证：AC=BD 问题 2：把圆中直径 AB 向下平移，变成非直径的弦 AB，如
12、图 2，是否仍有 AC=BD 呢？分析：从已知的图形观察，AB 是大圆的弦，若有一条直径垂直于它，则一定平分 AB 且又将 CD 垂直平分，从而得出AC=BD，要求学生自己写出证明过程，并指出该题就是书中的例 2，然后让学生对照课本的证明过程校对。问题 3：将图 2 变成图 3，则有EA=_，EC=_。试证明。分析：将图 3 中的小圆隐去，等式的证明只与大圆、中圆有关，与小圆无关。问题转化为与图 2 情况一样。将图 3 中的中圆隐去，等式的证明只与大圆、小圆有关，与中圆无关。问题转化为与图 2 情况一样。问题 4：在圆 2 中连结 OC，OD，将小圆隐去，得图 4，设OC=OD，求证：AC=BD问题 5：在图 2 中，连结 OA、OB，将大圆隐，得图 5，设AO=BO，求证：AC=BD问题 6：在图 5 中，已知 AC=BD，求证：OA=OB指出：在圆中解有关弦的问题时，常要作一条辅助线，它是圆心到弦的垂线段。十一、 课堂小结师生共同小结本节课所学知识点，常用辅助线方法，蕴含的数学思想。十二、 作业：课本 P68 11、12、13(注：此课在不借助多媒体手段的情况下，需两课时。变式训练的 4，5，6 都可进行一题多解，教案中直角符号、半边大括号及少数图圆心未标记。教学时学生兴趣很高，教学效果很好。)
