1、摘要该题是以天然肠衣为背景，对其搭配问题进行探讨和研究，建立数学模型，利用 lingo 编程，得到符合实际问题的最优方案。在给出了成品规格表和原料描述表等资料的基础上，采用整数线性规划，分别以最大捆数、最优方案、降级利用、时间限制四个方面为目标和约束条件建立最优模型，利用 lingo 编程，制作一套科学编程程序，整理合理的数据以及便利的搭配方案，从而达到提供生产效率的目的。首先，通过分析题目中成品捆数越多越好的要求，建立最大捆数最优模型。对给出的成品规格数据分类为 A、B、C 三类，对原料按长度分档，以 0.5 米为一档，共 46 档。考虑到选择最短长度最长的成品越多方案越好以及剩余材料可以降
2、级利用，我们采用“倒序（从大规格取到小规格） ”方法。其次，在上述建立的最优模型基础上，根据总长度允许有 0.5 米的误差，总根数允许比标准少 1 根这一约束条件，对不同规格建立约束条件函数并建立模型。最后，综合以上两个模型，把得出的 A 规格余料降级至 B 规格中，再建立B 规格模型，依次类推，利用 lingo 求解，最后得出如下结果：C 规格最大捆数总捆数 136，出 11 种分配方式，并且把剩余材料降级至13.5 米档使用。B 规格最大捆数总捆数 34，出 3 种分配方式，剩余根材料降级为 6.5 米档使用。A 规格最大捆数总捆数 17，出 2 种分配方式。剩余材料为下表最后，得出最终捆
3、数为 17+34+136=187（捆），该 lingo 程序能在 30 分钟内产生。关键字：整数规划 lingo 编程 搭配方案 最优模型一、问题重述天然肠衣（以下简称肠衣）制作加工是我国的一个传统产业，出口量占世界首位。肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段（原料） ，进入组装工序。传统的生产方式依靠人工，边丈量原料长度边心算，将原材料按指定根数和总长度组装出成品（捆） 。原料按长度分档，通常以 0.5 米为一档，如：3-3.4 米按 3 米计算，3.5 米-3.9 米按 3.5 米计算，其余的依此类推。表 1 是几种常见成品的规格，长度单位为米，表示没有上限，但实际长度小于 26 米。表
4、 1 成品规格表最短长度 最大长度 根数 总长度3 6.5 20 897 13.5 8 8914 5 89为了提高生产效率，公司计划改变组装工艺，先丈量所有原料，建立一个原料表。表 2 为某批次原料描述。表 2 原料描述表长度 3-3.4 3.5-3.9 4-4.4 4.5-4.9 5-5.4 5.5-5.9 6-6.4 6.5-6.9根数 43 59 39 41 27 28 34 21长度 7-7.4 7.5-7.9 8-8.4 8.5-8.9 9-9.4 9.5-9.9 10-10.4 10.5-10.9根数 24 24 20 25 21 23 21 18长度 11-11.4 11.5-1
5、1.9 12-12.4 12.5-12.9 13-13.4 13.5-13.9 14-14.4 14.5-14.9根数 31 23 22 59 18 25 35 29长度 15-15.4 15.5-15.9 16-16.4 16.5-16.9 17-17.4 17.5-17.9 18-18.4 18.5-18.9根数 30 42 28 42 45 49 50 64长度 19-19.4 19.5-19.9 20-20.4 20.5-20.9 21-21.4 21.5-21.9 22-22.4 22.5-22.9根数 52 63 49 35 27 16 12 2长度 23-23.4 23.5-23
6、.9 24-24.4 24.5-24.9 25-25.4 25.5-25.9根数 0 6 0 0 0 1根据以上成品和原料描述，设计一个原料搭配方案，工人根据这个方案“照方抓药”进行生产。公司对搭配方案有以下具体要求：(1) 对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好；(2) 对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好；(3) 为提高原料使用率，总长度允许有 0.5 米的误差，总根数允许比标准少 1 根；(4) 某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。如长度为 14 米的原料可以和长度介于 7-13.5 米的进行捆扎，成品属于 7-13.5 米的规格；(5) 为了食品保鲜,要
7、求在 30 分钟内产生方案。请建立上述问题的数学模型，给出求解方法，并对表 1、表 2 给出的实际数据进行求解，给出搭配方案。二、问题分析2.1 问题背景分析该题以肠衣制作加工为背景，由题意可知，目的为建立一种模型，通过计算，生成经过优化后满足成品规模要求的搭配方法，然后按照成品规格表，再根据“照方抓药”选择最优方案，以达到减少劳动强度、提高生产效率的目的。2.2 问题数据分析根据成品规格表，把成品规格分为三类，分别为 A、B 、C 三类。原料按长度分档，通常以 0.5 米为一档，如：3-3.4 米按 3 米计算，3.5 米-3.9 米按 3.5 米计算，其余的依此类推，共 46 个小档，在
8、C 类中只有 20 个可用数据。2.3 问题要求分析题目要求装出的成品捆数越多越好，建立 f(x)的函数，当时，即可以达到最优解，以捆数最大为目标方案进行优化。ixf)(ma综合考虑到(2)(4)中的要求，所以先从大规格开始分析并且优先选择最长肠衣充分搭配，使剩余原料长度接近下一档的最长肠衣长度。利用 lingo 软件编程，求出最大捆数和每一规格在最大捆数下使用的具体根数。如果出现了剩余原料，则考虑降级使用，如长度为 14 米的原料可以和长度介于 7-13.5 米的进行捆扎，成品属于 7-13.5 米的规格。在优化过程中考虑到提高原料利用率，约束条件为总长度允许有 0.5 米的误差，总根数允许
9、比标准少 1 根。运用线性规划，以捆数最大为目标方案进行优化。最后，在确定了最大捆数的具体根数情况下，就每规格的具体搭配建立通用搭配模型，分别就三种规格具体数据，利用 lingo 软件编程，求出三种规格成品各个搭配方案。三、模型假设(1) 假设在整理分配天然肠衣过程中不出现损坏情况。(2) 假设组装整理任何时候机器和工人都正常并且不间断工作(3) 假设不考虑时间、温度、湿度等外界因素对肠衣质量的影响(4) 假设接口处长度忽略不计(5) 降级使用的原料不出现分割错误等问题该模型建立在一起理想化条件上，忽略外界因素对模型的影响四、符号说明为某种搭配方式对应生产的肠衣捆数；iX为第几种搭配方式；表示
10、第几种搭配方式，i=1,2,3,N；i表示第几号材料,j=1,2,3,24 ；j表示第 i 种搭配方式中，第 j 号材料的长度；ijR表示 j 号种材料的长度；jL表示表示 j 号材料的总根数。如 S1=35，表示 14 米档的材料根数为jS35；五、模型建立 原料以 33.4 算为 3 米档，3.53.9 算为 3.5 米档，依此类推。长度 3 3.5 4 24.5 25 25.5根数 43 59 39 0 0 1根据公司对搭配方案的要求，将不同长度的肠衣分为三个规格，3-6.5 米为规格 A；7-13.5 米为规格 B；14-25.5 米为规格 C。某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使
11、用。因此先从大规格开始分析求解。例如：大规格 C 的材料有剩余，应降级算入规格 B 中，对材料降档处理。5.1 规格 C：规格 C 类的材料为 14-25.5 米,所取根数范围为4,5，并且所取总长度范围88.5 ，89.5，将材料进行编号：编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12档类 14 14.515 15.516 16.517 17.518 18.519 19.5数量 35 29 30 42 28 42 45 49 50 64 52 63编号 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24档类 20 20.521 21.522 22.523 23
12、.524 24.525 25.5数量 49 35 27 16 12 2 0 6 0 0 0 11、根据条件 1 对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好，可建立相应的目标函数： （i=1,2,3,4,N）ixf)(maXi 为某种搭配方式对应生产的肠衣捆数，i 为第几种搭配方式；2、根据条件 3：为提高原料使用率，总长度允许有 0.5 米的误差，总根数允许比标准少 1 根，建立相应的约束条件： jiij jijijjijsxrlrsr 5.895.8540式表示 i 种搭配方式中，各档材料的根数小于该材料的总根数；式表示 i 种搭配方式中，各档材料的根数之和为 4 或 5 根；式表示 i 种
13、搭配方式中，各档材料的长度和的范围是 88.5，89.5；式表示以 i 种搭配方式生产 X 捆成品，所需的各档材料数小于该材料的总数；用 LINGGO 软件进行优化求解（附录 1） ，求得局部最优解，得到结果：总捆数 136 捆。11 种分配方式，其分配方案如下：1414.51515.51616.51717.51818.51919.52020.52121.52222.523.525.5捆数1 1 1 1 1 1 422 1 1 1 1 1 353 1 1 2 1 274 1 1 1 2 85 2 3 96 1 2 1 67 1 1 1 1 48 1 1 1 1 1 29 1 1 1 1 1 1
14、101 1 1 1 1111 2 1 1 1剩余材料表如下，并把剩余材料降级至 13.5 米使用：规格 C 的余料20 米档 1 根21.5 米档 2 根22.5 米档 1 根5.2 规格 B：规格 B 类的材料为 713.5 米，所取根数范围为7,8，所取总长度范围88.5， 89.5，并 考虑降级使用的材料，将材料进行归于 13.5 档。对材料进行编号并制成下表：编号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14档类7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.512 12.5 13 13.5数量24 24 20 25 21 23 21 18 31 23
15、 22 59 18 35+4=391、根据条件 1 对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好，可建立相应的目标函数： （i=1,2,3,4,N）ixf)(maXi 为某种搭配方式对应生产的肠衣捆数，i 为第几种搭配方式；2、根据条件 3：为提高原料使用率，总长度允许有 0.5 米的误差，总根数允许比标准少 1 根，建立相应的约束条件： jiij jijijjijsxrlrsr 5.895.870用 LINGGO 求解得（附录）：总捆数 34 捆。3 种分配方式，其分配方案如下：7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.512 12.5 13 13.5 捆数1 1 1 1
16、 1 1 2 1 222 1 1 2 1 1 2 93 1 2 1 2 2 3剩余材料表如下，并把剩余材料降级至 6.5 米使用：规格 B 及规格 C 降级使用的余料7 米档 2 9.5 米档 237.5 米档 24 10 米档 98 米档 11 11.5 米档 19 米档 15 13.5 米档 15.3 规格 A：规格 A 类的材料为 3-6.5 米，所取根数范围为19,20，所取总长度范围88.5， 89.5，并 考虑降级使用的材料，将材料进行归于 6.5 档，考虑降级使用的材料，对材料进行编号并制成下表。：编号 1 2 3 4 5 6 7 8档类 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
17、6.5数量 43 59 39 41 27 28 34 1071、根据条件 1 对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好，可建立相应的目标函数： （i=1,2,3,4,N）ixf)(maXi 为某种搭配方式对应生产的肠衣捆数，i 为第几种搭配方式；2、根据条件 3：为提高原料使用率，总长度允许有 0.5 米的误差，总根数允许比标准少 1 根，建立相应的约束条件： jiij jijijjijsxrlrsr 5.895.820190使用 LINGGO 软件求解得：总捆数 17 捆。2 种分配方式，其分配方案如下：3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 捆数1 3 4 2 1 1 2 2 4
18、 142 0 1 3 9 3 0 2 1 3最终剩余材料：最终剩余材料：3 米档 1 根4 米档 2 根5 米档 4 根6.5 米档 48 根综上，整理最终得出总捆数为 17+34+136=187六、模型优缺点优点：（1）该方案，形式简单，通俗易懂易，所有的数据已表格形式呈现，易于操作和查看。（2）方案数直观显示各种配方的类型和所需数目，完全达到了“照方抓药”的目的，也可以准确得出剩余数目，方便工人对所需要加工的肠衣种类做好准备。（3）提高了生产的速度，降低成本。缺点：（1）忽略原料损坏而使整个生产方案失效的情况。（2）对软件掌握不熟练，导致无法得出正确答案七、模型推广该模型不仅应用于原料优化
19、搭配，而且还在其他的优化系统中有着很广泛的应用，由于线性规划的问题涉及的因素很多，因此我们建立约束条件来满足所有的因素。因此 我们在解答线性规划的优化问题时，首先建立目标函数，其次依据所有的因素建立目标 函数的约束条件，最后借助数学软件来求解，得到我们满意的方案。因此，对于生活中的实际问题，我们依据模型中的方法，我们可以为决策者提供一定经验，让决策者采用 更合理的方案。对决策者有一定的指导意义。模型的推广：模型还可运用到项目投资，证券交易等。附录：LINGGO 程序：规格 C：model:sets:liao/1.20/:l,c,s;pai/1/:y;pei(pai,liao):x;endsetsdata:l=35 29 30 42 28 42 45 49 50 64 52 63 49 35 27 16 12 2 6 1;c=14 14.5 15 15.5 16 16.5 17 17.5 18 18.5 19 19.5 20 20.5 21 21.5 22 22.5 23.5 25.5;enddatamax=sum(pai:y);for(liao(j):sum(pai(i):y(i)*x(i,j)=88.5);for(pai(i):sum(liao(j):x(i,j)=4);for(pai:gin(y);for(pei:gin(x);for(pei:bnd(0,x,5);end
