1、3 函数极限存在的条件重点难点1. 归结原则也称为海涅定理, 它的意义在于把函数极限归结为数列极限问题来处理, 从而我们可以利用归结原则和数列极限的有关性质来证明上一节中所述的函数极限所有性质.2. 单调有界定理是判定极限是否存在的一个重要原则, 同时也是求极限的一个有用的方法. 一般情形, 运用单调有界定理研究变量极限时, 需要首先利用单调收敛定理判定极限的存在性, 然后在运用运算法则求这个极限.3. 柯西准则是函数极限存在的充要条件. 函数极限的柯西准则是以数列的柯西准则为基础的. 该准则在数列极限、极限和广义积分理论中, 占据了重要的地位.因此应当认真理解柯西准则, 并能用柯西准则讨论某
2、些比较简单的问题.基本内容在讨论数列极限存在条件时，我们曾向大家介绍过判别数列极限存在的“单调有界定理”和“柯西收敛准则”. 我们说数列是特殊的函数，那么对于函数是否也有类似的结果呢？或者说能否从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性呢？本节的结论只对 这种类型的函数极限进行论述，但其结论对其它类型的函数0x极限也是成立的。首先介绍一个很主要的结果海涅(Heine)定理（归结原则） 。一、归结原则定理 3.8(归结原则) 设 在 内有定义. 存在的充要条件是: 对f;0xUxf0lim任何含于 且以 为极限的数列 , 极限 都存在且相等.;0xU0nn分析 充分性的证法:只须证明,若对任意数列
3、,且 , ,有x0lixn0n,则 .因为在已知条件中,具有这种性质的数列 是任意的AxfnlimAxf0li (当然有无限多个),所以从已知条件出发直接证明其结论是困难的.这时可以考虑应用反证法.也就是否定结论,假设 ,根据极限定义的否定叙述,只要能构造某一个数列fx0lim, , ,但是 ,与已知条件相矛盾 .于是充分性得到证明.nx0linnAxfnli注 1 归结原则也可简述为对任何 有Axf0li n0.limAxfn注 2 虽然数列极限与函数极限是分别独立定义的,但是两者是有联系的.海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系, 从而给数列极限与函数极限之间架起了
4、一座可以互相沟通的桥梁.它指出函数极限可化为数列极限,反之亦然.在极限论中海涅定理处于重要地位.有了海涅定理之后,有关函数极限的定理都可借助已知相应的数列极限的定理予以证明.例如若 , 则 .)0()lim,)(li00 BxgAxf )(lim)(li00xgfxf证 已知 ,根据海涅定理的必要性 ,对任意数列 ,fxxlili00与 nx且 , ,有 , .由数列极限的四则运算,对任lixnnAfnBxgnli意数列 ,且 , ,有 .再根据海涅定理的充分性,由n0limxn0nfnn)(lim.)(li)(li)(li 00 xgfBAgfxfnn注 3 海涅定理除上述重要的理论意义外,
5、 它还为证明某些函数极限不存在提供了行之有效的方法:若可找到一个以 为极限的数列 ,使 不存在,或找到两个都以0nnxflim为极限的数列 与 ,使 与 都存在而不相等,则 不0xnx)(linxf)( )(lim0xf存在.例 1 证明极限 不存在.xx1silm0函数 的图象如图 3-4 所示,由图象可见,当 时,yin 0x其函数值无限次地在-1 与 1 的范围内振荡,而不趋于任何确定的数.对于 和 为四种类型的单侧极xx,00 限,相应的归结原则可表示为更强的形式.现以 这种类型为例0x阐述如下：定理 3.9 设函数 在点 的某空心右邻域 有定义.f0x)(0U的充要条件是：对任何以
6、为极限的递减数列 ,有Axf)(lim0 )(0xn.n注 5 定理 3.9 充分性的证明可参照第二章第三节例 3 及定理 3.8 的证明.例如可取,以保证所找到的数列 能递减的趋于 .,i01xnnnx0x二、单调有界定理相应于数列极限的单调有界定理,关于上述四类单侧极限也有相应的定理.现以这种类型为例叙述如下：0x定理 3.10 设 为定义在 上的单调有界函数,则右极限 存在.f)(0xU )(lim0xf注 6 (1)设 为定义在 上的有界函数.若 递增,则 ;若f )(in0ffxU递减,则 .f )(sup)0(0xfxfUx(2) 设 为定义在 上的递增函数,则f, .)(s)(0
7、0fxU )(inf)00xxfUx三 函数极限的柯西收敛准则定理 3.11(柯西准则) 设函数 在 内有定义. 存在的充要条件是：f);(0 )(lim0xf任给 ,存在正数 ,使得对任何 有 .0)();(,0x 分析 充分性的证明可以利用数列极限的柯西准则和函数极限与数列极限的桥梁海涅定理来证.分两步：1)对任何以 为极限的数列 , 数列 的0x);(0Un)(nxf极限都存在; 2)证明对任何以 为极限的数列 ,数列 的极限都相xnf等.注 7 可以利用柯西准则证明函数极限 的不存在 :)(lim0fx设函数 在 内有定义. 不存在的充要条件是：存在 ,对f);(0xU 0 0任意正数
8、 ,存在 , 有 .);(,x 0)(xff如在例 1 中我们可取 ,对任何 ,设正整数 ,令2101n,2 xn则有 ,而 于是按柯西准则,极限 不存在.);0(,Ux 01siix xx1sinlm0小结1. 证明函数极限存在或求函数极限的方法.(1) 用定义证明函数极限的方法且 ,尤其是分段函数的分段点.Axf)(lim(2) 用柯西收敛准则证明函数极限存在.(3) 用迫敛性证明函数极限存在并求得极限值.(4) 用海涅归结原理证明函数极限存在并求得极限值.(5) 用四则运算法则及一些熟悉的极限求值.(6) 对于单侧极限,单调有界定理可证得极限存在.2. 证明函数极限不存在的主要方法:(1) 利用函数极限的定义证明函数极限不存在,(2) 利用函数极限与单侧极限的关系证明函数在某点不存在极限.特别对分段函数在分段点处的极限.(3) 利用海涅归结原理证明函数极限不存在.(4) 利用柯西收敛准则证明函数极限不存在.
