1、 1专题：函数的周期性对称性1、周期函数的定义一般地，对于函数 ，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一)(xfy个值时，都有 ，那么函数 就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这)(Txf)(xfy个函数的一个周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。显然，若 T 是函数的周期，则 也是 的周期。如无特别说明，我)0,(kzT)(xf们后面一般所说的周期是指函数的最小正周期。说明：1、周期函数定义域必是无界的。2、周期函数不一定都有最小正周期。推广：若 ，则 是周期函数， 是它的一个周期； )()(bxfaf)(xfab，则 周期为 T；2Tf
2、xff的周期为 的周期为 。()f )(xf2、常见周期函数的函数方程：（1）函数值之和定值型，即函数 )()()(baCxbfaf 对于定义域中任意 x满足 ，则有 )(2(xfaxf，xf故函数 )(f的周期是 )(2bT特例： ，则 是以 为周期的周期函数；xafxf2Ta（2）两个函数值之积定值型，即倒数或负倒数型若 ，则得)()()( 可 正 可 负， Cbxbff )2aax，所以函数 (xf的周期是 )(2abT2（3）分式型，即函数 )(xf满足 )(1)(baxfaf 由 )(1)(bfaxf 得 )2()(ff，进而得)2(f，由前面的结论得 x的周期是 )(4abT特例：
3、，则 是以 为周期的周期函数；1fxafxf2Ta，则 是以 为周期的周期函数.)(1)(ffxf3，则 是以 为周期的周期函数.)()(xfaxffaT，则 是以 为周期的周期函数.)(1)(fff3，则 是以 为周期的周期函数.()()xfxaff4Ta，则 是以 为周期的周期函数.1)(ff f，则 是以 为周期的周期函数.)(xfaf xfaT2，则 是以 为周期的周期函数.1()fff（4）递推型：（或 ） ，则 的周期 T= )()(axfaxf )2()()axffxf)(xf6a（联系数列）,则)234ffffa34ffffa的周期 T=5a；(其中 ，则 是以 为，满 足 )
4、0()(xfgxffy )(1xg)(xfy2周期的周期函数。33、函数的对称性与周期性之间的联系：双对称性函数的周期性具有多重对称性的函数必具有周期性。即，如果一个函数有两条对称轴（或一条对称轴和一个对称中心、或两个纵坐标相同的对称中心） ，则该函数必为周期函数。相关结论如下：结论 1：两线对称型：如果定义在 上的函数 有两条对称轴 、 ，即R()fxxab，且 ，那么 是周期函数，其中一个周期()()faxf()fbxf2Tb证明： 得ffa(2)fax得()()fx()x a 2fb函数 是周期函数，且 是一个周期。()yf2ba【注意：上述 不一定是最小正周期。若题目所给两条对称轴 、
5、 之间没a xab有其他对称轴，则 是最小正周期。具体可借助三角函数来进行分析。下同。 】结论 2：两点对称型：如果函数同时关于两点 、 （ ）成中心对称，即,ac,b和 ，那么 是周期函数，其中()()2faxfc()()2fbxf()()fx一个周期 T证明：由 ()()fxfac()fxaxc2b2b得 2b得 ()f函数 是以 为周期的函数。yxa结论 3：一线一点对称型：如果函数 的图像关于点 （ ）成中心对称，且()fx,ac0关于直线 （ ）成轴对称，那么 是周期函数，其中一个周期b 4Tab证明： ()()2()2)faxfcfxbx44a(2)()(2)fbf cfbax)(
6、cfcf2xx推论 1：如果偶函数 的图像关于直线 （ ）对称，那么 是周期函数，()f a0()fx4其中一个周期 2Ta推论 2：如果偶函数 的图像关于直线 （ ）对称，那么 是周期函数，()fx,ac0()fx其中一个周期 4推论 3：如果奇函数 的图像关于直线 （ ）对称，那么 是周期函数，fxf其中一个周期 Ta推论 4：如果奇函数 关于点 （ ）成中心对称，那么 是周期函数，其()fx,c0a()fx中一个周期 2【函数的奇偶性、对称性、周期性的代数特征有相仿之处，这三性都是有函数方程决定的，方程的不同特征决定了函数不同的性质，要注意其共性与个性。 】【函数的奇偶性是函数对称性中的
7、特殊情况，奇函数对称中心为（0,0） ，偶函数对称轴为y=0，带入结论 1-3，可得推论 1-4，所以学生在记忆时只需记住结论 1-3 即可，减少工作量】【同理，教师可示范性给出一个结论的证明过程，其余可让学生进行证明】典例精讲 一 利用周期性求值：例 1、（）函数 对于任意实数 满足条件 ，若 ，则)(xfx)(12(xff5)(f=_ _。5(f1-例 2、（）已知定义在 R 上的奇函数 满足 ， 则 的值为 ( )(xf )(2(xff)6(fB )A、 1 B、 0 C、 1 D、 2例 3、 （）已知奇函数 满足)(xf的值为 。)8(log,2,1),(2( 2fxfxf x则时且
8、 21 22229log8()499(log)(1)4log18(l)(log)8lffffff解 ： ，【提问：当所要求的值不在定义域中时，怎样通过变换将要求的函数值转化到已知解析式的这一段定义域中去？除了充分利用周期性外，还要注意题中的已知条件，如奇偶性、对5称性等。 】例 4、 （） 的定义域是 ，且 ,若()fxR(2)1()fxfxf028f求 f(2008)的值。 4)1(2)1() (8)(4)8(0)(08fffx fxfxff解 ：周 期 为 ，二 利用周期性求解析式：例5、 （）已知 是以2为周期的偶函数，且当 时， .()fx(0,1)x()1fx求 在 上的解析式。()
9、fx1,解法1：从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上 , 则 ()(,1) , ，是偶函数20x2T 3ffxx(1,)解法2：（从图象入手也可解决，且较直观） ()2)f如图： , .是偶函数(0)x1fx 时1(x又周期为2， 时,2,0) ()3f例 6、 （）已知函数 是定义在 上的周期函数，周期 ，函数(yfxR5T是奇函数.又知 在 上是一次函数，在 上是二次函()yfx1)()f,11,4数，且在 时函数取得最小值 .25（1）证明： ；(40f（2）求 的解析式；),（3）求 在 上的解析式.yx9解： 是以 为周期的周期函数，且在 上是奇
10、函数，(f51,， .1)(1)(4ff()40f当 时，由题意可设 ，,4 25 )xaa由 得 ， ，(0f25a2 .2)()x 是奇函数， ，1yx(0)f又知 在 上是一次函数，可设(f, (1)xk6而 ，2(1)53f ，当 时， ，3k01x()3fx从而 时， ，故 时， .(f 1x()3fx当 时，有 ， .46()5)15f 当 时， ，9x54 22()()7fx .231,679【由以上两例可以看出，已知周期函数某个周期内的解析式，求另一个周期内的解析式，只要当成是函数图象的平移来做即可。 】【由于函数的性质：奇偶性、对称性联系紧密，教师可引导学生在此回顾奇函数、偶
11、函数如何求解对称区间的解析式这类问题】三 函数的奇偶性、对称性、周期性的综合运用例 1、（）已知 是定义在 上的函数， 且()fxR(10)()fxf，则 （ C ）(20)20fxf是A. 周期为 20 的奇函数 B. 周期为 20 的偶函数C. 周期为 40 的奇函数 D. 周期为 40 的偶函数例 2、 （）定义域为 R的函数 fx满足 48fxf，且 8yfx为偶函数，则 （ C ）()fx（A）是周期为 4 的周期函数 （B）是周期为 8 的周期函数（C）是周期为12的周期函数 （D）不是周期函数【熟记双对称函数的周期判断方法，如果学生对函数的对称性有所忘记，可在此回顾一下。】例3、
12、 （）定义在 上的函数 ，给出下列四个命题：R()fx（1）若 是偶函数，则 的图象关于直线 对称()fx33x（2）若 则 的图象关于点 对称3(),fx(f(,0)（3）若 = ，且 ，则 的一个周期为2。()fx4)fxf（4） 与 的图象关于直线 对称。y(3yfx37其中正确命题的序号为 （2） 、 （3） 。【本题中学生容易错选（4） ，究其原因，是没有分清是一个函数自身的对称，还是两个函数之间的对称，审题不清】例 4、 （）定义在 上的函数 满足 ，且函数 为奇R()fx(3)(0ffx32fx函数给出以下 3 个命题：函数 的周期是 6；()fx函数 的图象关于点 对称；302
13、，函数 的图象关于 轴对称，其中，真命题的个数是（ A ） ()fxyA3 B2 C1 D0例 5、 （）设函数 在 上满足 ， ，()f,)(2)()fxf(7)fxf且在闭区间0，7上，只有 1(30f（）试判断函数 的奇偶性；yx（）试求方程 =0 在闭区间-2005 ，2005上的根的个数，并证明你的结论()f解：由 ， 得函数 的对称轴为2f(7)()ffx()yfx,7x和从而知函数 不是奇函数,()yfx由 ()4)()(14)1f fxfxf,从而知函数 的周期为)10)xyf0T又 ,故函数 是非奇非偶函数;(3(37)0ff而 ()yf(II)由 2(4(14)7)1xxx
14、ff(10fxI3,2,7),4,730(,205,01()5,82f fx函 数 周 期 为 ， 关 于 对 称 的 区 间 为 ，在 只 有 两 根 和 ， 无 根 ， 无 根 ，在 一 个 周 期 内 只 有 两 根 ；共 有 个 周 期 ， 在 共 有 个 根 。.【本题的关键是要说明在一个周期内函数只有两个根，也就是函数在7，10 内是无根的】例6 、 （）若函数 在 上是奇函数，且在 上是增函数，且)(xfR01，.)()2(xfxf求 的周期；证明 的图象关于点 中心对称;关于直线 轴对称, ;(2,0)k2xk()kZ讨论 在 上的单调性；)(f1,解: 由已知 ，故周期 .(
15、)()(4)xffxf4T设 是图象上任意一点,则 ,且 关于点 对称的点为()PyyP(,0)k8.P关于直线 对称的点为1(4,)kxy21xk2(4,)Pkxy ,点 在图象上,图象关于点 对称.()fffy1(2,0k又 是奇函数, ()fx (2)点 在图象上,图象关于直线 对称.2k设 ，则 ，12x1210x 在 上递增, (*)()f0)()()fxf又 , .()f12()(ffx所以： ， 在 上是减函数.21ff,2例7、 （）已知函数 对任意实数 均有()fx,xy，且存在非零常数()2,(0)2yfxyff,()0.cf使（1）求 的值； 0f（2）判断 的奇偶性并证
16、明；()x（3）求证 是周期函数，并求出 的一个周期. f ()fx20,(0)20(),0()(),()12 ()(),()2()2(0)2()=,()abfffffx xxyxfffffxycfcf 解 ： （ ） 取 ， 得是 偶 函 数 。证 明 ： 原 式 中 ， 不 变 ， 取 得即（ 3） 令 ， 则 ()2()(0()(2)(202(, 4)4ccffxcff xxfxffxc 将 换 成 ， ，再 将 换 成 ， 得的 一 个 周 期 为【本题第 3 问关键是如何利用 这个条件，在等式右边凑出 】()0f()fc课堂检测1、 （）已知函数 是以 为周期的偶函数，且当 时， ，
17、则()fx20,1x()21xf的值为（ ）2(log0)f.A35.B8.C3.D59222223log104,log10,()ll)(4l),13(,)(,6,053log10.5xfxfffA解 ：函 数 是 以 为 周 期 的 偶 函 数 ，当 是 ，即 故 选2、 （）设偶函数 对任意 ，都有 ，且当 时，()fxR(3)()fxfx3,2，则 （ D ）()fx.A7B2C15.3、 （）设函数 是定义在 上的奇函数，对于任意的 ，都有()fxRxR，当 时， ，则 （ A ）1()fx01()2fx(1.5)f.A.B.C2.D4、 （）已知函数 为 上的奇函数，且满足 ，当 时
18、，)(xfR(2)(fxfx01，则 等于( B ) ()fx7.5.A050.C15.155、 （）设 是定义在 上的奇函数， 且 5，则f (4)()fxfx 3f_， _(21)f (2)f答：5，56、 （）设 是定义在 上的偶函数，且满足 ，当 0x1，()fxR(2)(ffx2x，则 _()fx7.5答：17、 （）设 是定义在 上的奇函数，且 ， 2，则()f ()()fxf(1)f_(2)f答：28、 （）设 是定义域为 R 的函数，且 ，又fx21ffxfx，则 =f206(答： )29、 （）设 f(x) ，又记 f1(x)f (x)，f k1 (x)ff k(x)，k1,
19、2，则 f2009(x)( 1 x1 xD )A Bx C. D.1x x 1x 1 1 x1 x10【本题属于迭代周期型，也是常出现的题】10、 （）已知定义在 R 上的奇函数 f(x)，满足 f(x4)f(x) ，且在区间0,2上是增函数，若方程 f(x)m(m0)在区间 8,8上有四个不同的根 x1，x 2，x 3，x 4，则x1x 2x 3x 4_-8_.11、 （）已知函数 f(x)的定义域为 R，且满足 f(x2)f(x) (1)求证：f(x) 是周期函数；(2)若 f(x)为奇函数，且当 0x1 时，f(x) x，求使 f(x) 在0,2009上的所有 x 的12 12个数解析：
20、(1)证明 f (x2)f(x)，f(x 4)f(x 2)f(x)f(x)，f(x)是以 4 为周期的周期函数(2)当 0x1 时，f(x ) x，设1x 0，则 0x1，12f(x ) (x) x.12 12f(x)是奇函数，f(x )f(x)f(x ) x，即 f(x) x(1x0)故 f(x) x(1x1)12 12 12又设 1x3，则1x 21，f (x2) (x2)，12又f(x 2)f(2x )f(x)2) f (x )f(x )，f(x ) (x2)，f(x ) (x2)(1x3)12 12 f(x)Error!. 由 f(x) ，解得 x1.12f(x)是以 4 为周期的周期函数故 f(x) 的所有 x4n1 (nZ)12令 04n12009，则 n .14 10052又nZ，1n502 (nZ)，
