1、1与极限相关的一些概念(一)、函数极限的分析定义(二)、保序性(三)、夹逼性(四)、函数极限的两个充要条件(五)、Heine 定理(六)、Cauchy 收敛原理(七)、复合函数极限(一)(a)、 (有限 )的分析定义：lim)xfA自变量变化过程 的 语言lixf 0x 00,|,x()|.fxA|0x0,x|()|.fx0|,X|.fAx,x|()|,|.fx(一)(b)、 (有限) 的分析定义：limxfA自变量变化过程 (有限)的否定陈述lixf0x0 0,.|,xstx0()|fA,.,|0x0 0xstx0|()|f,.|,XX|Ax0,x 0|()|f,|x2(一)(c)、 的分析
2、定义：lim(),xf自变量变化过程 极限为 极限为 极限为 0x 0,|,Gx|()|fxG()f()fxG,|0x,0,x|()|fx()f()fx,0,|GX|GGx,x|()|fx()f()fx,| (一)(d)、 的分析定义：lim(),)xfA自变量变化过程 AA0x0 0,|,Gx0|()|fxG0()f0()fxG|0x0 0,x 0|()|fx0()f0()fx|GX|GGx0,x 0|()|fx0()f0()fx|3(二) (a) 保序性: 已知 , 则lim()li()xxfAfB 自变量变化过程条件 保序性结论0x00li()li()xxfg,00|,x()fxgAB,
3、0x00()()fxgx0,x()fxg,0X|,x()()fAB, x()fxg, ,g(二) (b) 保序性 :若 .lim(),li()xxfAfB 自变量变化过程 条件 结论0x若 ,0,|,()xfxg则 AB若 , 则0x若 ,0,()xfx 则若 ,0,|,Xfg则 ABx若 ,()xx则若 ,0,fg则 注：当条件中 增强为 ,也不能导出()fxg()x.AB4(三) 夹逼性: 已知 (有限, )lim()li)xxghA ,自变量变化过程条件 结论0x若 00,|,()(),xgxfhx则 0lim().xfA若 则 00x若 000,()(),xxfx 则 0li().xf
4、若 |,Xgfh则 .Ax若 00,()()xx则 lim().xf若 00,gfh则 li.xf注: 不可为A.(四) 函数极限的两个充要条件自变量变化过程 可以是有限数，或A,0x0 00lim()()().xffxfA .(五) (a) Heine 定理： 以下 可取有限,A,.自变量变化过程 函数的极限形式 数列的极限形式0x()fx00,()nnnxxfAA0x()fx00,()nnnxxffAx()fxA,()nnxxf,nnf5(五) (b) Heine 定理： 自变量变化过程函数的极限形式 数列的极限形式1 0x存在有限0lim()xf收敛.00,()nnnxxf2 存在有限0
5、 收敛.3 0x存在有限0li()xf 收敛.00,()nnnxxf4 存在有限 收敛.f5 x存在有限lim()xf 收敛.,()nnxx6 存在有限lixf收敛.,nnf(五)(c) (有限)的数列描述形式lixfA自变量变化过程limxf 等价的数列形式1 00()000,.nnxxst0|()|nfA2 x0lixfA|3 00()000,.nnxxst0|()|nf4 xlimxf .t0|fA5 ()A0,nxs|()|nx6 xlixf .t0|f(五)(d) 的数列描述形式lim(),xf自变量变化过程li()xf 1 0x000,nnGx0|()|nfG0()nfx0()nf
6、xG2 x|63 0x000,nnGxx0|()|nfG0()nfx0()nfxG4 |5 x0,nx0|()|nfx0()nfx0()nfx6 G|GG(六)(a) 存在的 Cauchy 收敛原理lim()xf自变量x存在Cauchy 收敛原理的描述形式10x0li()xf存在000,|,|,|()|.xxfxf2 00lim()xf存在00,|()|.ff3 00li()xf存在000,|()|.xxfxf4 li()xf存在,|,|,()|.XXff5 lim()xf存在0,|()|.xfxf6 li()xf存在,|()|.XXff(六)(b) 存在的 Cauchy 收敛原理的否定形式l
7、i()xf自变量limxf不存在Cauchy 收敛原理的否定形式100li()xf不存在0 00,|,|,.|().xxstfxf2 00li()xf不存在0 00,.|()|.tff73 0x0lim()xf不存在0 00,.|()|.xxstfxf4 不li()xf存在00,|,.|().XXtff5 不li()xf存在00,.|()|.xstff6 存lim()xf在00,.|()|.XXtfxf(六)(c) 存在的 Cauchy 收敛原理的否定形式li()xf自变量li()xf不存在Cauchy 收敛原理否定形式的数列形式10x0lim()xf不存在0 000,.,|()|.nnnnx
8、stxxff2 00li()xf不存在0 000,.,|()|.nnnnxstxxff3 0x0lim()xf不存在0 000,.,|()|.nnnntxxffx4 li()xf不存在0 0,.|()|.nnnnstfx 5 xli()xf不存在0 0,.|()|.nnnnxtff6 lim()xf不存在0 0,.|()|.nnnnstfxf (七)(a) 复合函数的求极限法则: 结论 1自变量 条件 结论10x(有限), 在0lim)xgA()fuA连续0lim()(lim().x uAfgff82 0x(有限), 在0lim)xgA()fuA连续0lim()(lim().x uAfgff3
9、 0(有限)， 在0lix ()f连续0li()(li().x uAfff4 (有限)， 在lixgA()fuA连续li()(li().x uAfgff5 (有限)， 在limx ()f连续lim()(lim().x uAfff6 (有限)， 在lixgA()fuA连续li()(li().x uAfgff以 3 为例加以证明：因为 在 连续, 故()f(1)0,|,()|.uAfuA又因为 (有限), 对于如上的0lim)xgA0(2),|()|.xgx由(1)与(2)得： 0,0|()|ffA 即 证毕.0li()(li()x uAfgff(七)(b) 复合函数的求极限法则: 结论 2自变量
10、 条件 结论10x( )，0lim)xg,(有限, )uAfB0lim()li().xuAfgBf2 0( )，0li)x ,(有限, )uAf0li()li().xuAff3 0x( )，0lim)xg,(有限, )uAfB0lim()li().xuAfgBf94 x( )，lim)xgA,(有限, )ufBlim()li().xuAfgBf5 x( )，li)x ,(有限, )uAfli()li().xuAff6 x( )，lim)xg,(有限, )uAfBlim()li().xuAfgBf以 3( )中 有限为例加以证明:0,因为 (有限),故liuf(1)0,|,|()|.GufB 又
11、因为 对(1)中的0lim(),xg(2)0,|()|.xgxG由(1)与(2)有： ,0|fB 所以 证毕.0li()li()xuAfgBf(七)(c) 复合函数的求极限法则: 结论 3自变量 条件 结论10x(有限)，当 时，0limxg0x ， (有限,()AliufB),0lim()li().xuAfgBf2 0x(有限)，当 时，0lixg0x， (有限, )()AlimufB,0li()li().xuAfgBf3 0x(有限)，当 时，0lix 0x， (有限, )()gliuAf,0lim()li().xuAff10以 1(即 )中 为例证明:0xB因为 lim(,uAf(1)0
12、,|,().GuAfG又因为 (有限)，对于如上的0lixg0,|,()|,xgx结合当 时, ，上式即: (2)0x()gxA0|()|.gxA于是由(1)与(2)得： 0,|,().GxfG所以 证毕.0lim()()lim()x uAfBf(七)(d) 复合函数的求极限法则: 结论 4自变量 条件 结论1x(有限)， ，lixg,x()g(有限, )muAfB0lim()li().xuAfgBf2 x(有限)， ，lix ,x(A(有限, )uAf0li()li().xuAff3 x(有限)， lixg,x，()(有限, )limuAfB,0lim()li().xuAfgBf以 1(即 )中 为例证明:因为 li(,uAf(1)0,|,().GuAfG又因为 (有限),对于如上的lim)xg0|,|()|.XxgA结合 ，上式即: (2),(A,|,|()|.Xxg由(1)(2)可得: 0,|(.GfG
